Диссертация (Оценки вероятностных характеристик некоторых нестационарных систем массового обслуживания), страница 3

. , N } íàçûâàåòñÿïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû S . ×åðåç X(t) îáîçíà÷èì ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t è ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñëè X(t) = i, òî ïðèh > 0 X(t + h) = j ñ âåðîÿòíîñòüþqij (t)h + oij (h), j 6= i,1 − P q (t)h + o (h), j = i,ik6=i ik(1.4.7)ãäå âñå oi (h) ðàâíîìåðíû ïî i, òî åñòü supi |oi (h)| = o(h).Äàííîå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ æåñòêèì. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òå ïðîöåññû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ. Äàííûå ïðîöåññû áóäåì íàçûâàòü ìàðêîâñêèìè öåïÿìè ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì è ñ÷åòíûì ïðîñòðàíñòâîìñîñòîÿíèé. Ôóíêöèÿ qij (t) - èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ i â ñîñòîÿíèå j .

Ìàðêîâñêàÿ öåïü X(t) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé (ñòàöèîíàðíîé), åñëè âñåqij (t) = qij è íåîäíîðîäíîé (íåñòàöèîíàðíîé) - â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû "ñòàöèîíàðíûé"è "íåñòàöèîíàðíûé".Ïîëîæèì qii (t) = −Pk6=i qik (t)è íàçîâåì ìàòðèöó Q(t) = (qij (t))∞i,j=0ìàòðèöåé èíòåíñèâíîñòåé äëÿ ìàðêîâñêîé öåïè X(t). Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè pij (t, s) = P r(X(t) = j|X(s) = i), âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé pi (t) = P r(X(t) = i) è âåêòîð-ñòîëáåö âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé p(t) = (p0 (t), p1 (t) . . .)T . Ïîëîæèì aij (t) = qji (t) è ðàññìîòðèì ìàòðèöóTA(t) = (aij (t))∞i,j=0 = Q (t). Òîãäà ïîëó÷èìp(t + h) = p(t) + Ahp(t) + o(h),(1.4.8)16îòêóäà âûòåêàåò ïðÿìàÿ ñèñòåìà Êîëìîãîðîâà â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:dp= A(t)p.dt(1.4.9)Ïóñòü U (t, s) - îïåðàòîð Êîøè äàííîãî ÄÓ, òîãäà P (s, t) = U T (t, s) =(pij (s, t))∞i,j=0 íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà X(t).

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ìíîæåñòâî âñåõ ñòîõàñòè÷åñêèõ âåêòîðîâ x = (x0 , x1 . . .)T ∈ Ω, òî åñòü x ≥ 0 è kxk = 1.Òåîðåìà 7.(i) Ïðè êàæäîì s ≥ 0, t ≥ s è ëþáîì p ∈ l1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå p(t)òàêîå, ÷òî p(s) = p. Ïðè ýòîì p(t) = U (t, s)p(s);(ii) åñëè p(s) ∈ Ω, òî è p(t) ∈ Ω ïðè t ≥ s;(iii) óðàâíåíèå 1.4.9 óñòîé÷èâî, à kp1(t) − p2(t)k ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåòïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ãäå p1(t), p2(t) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûì óñëîâèÿì p1(s), p2(s).Ìàòðèöà H = (hij )∞0 ñòîõàñòè÷åñêàÿ, åñëè âñå åå ýëåìåíòûíåîòðèöàòåëüíû, à ñóììà ýëåìåíòîâ êàæäîãî ñòîëáöà ðàâíà åäèíèöå.Äëÿ ëþáûõ s ≥ 0, t ≥ s ìàòðèöà Êîøè U (t, s) ÿâëÿåòñÿñòîõàñòè÷åñêîé.Ìàðêîâñêàÿ öåïü X(t) íàçûâàåòñÿ ñëàáî ýðãîäè÷íîé, åñëèkp∗ (t) − p∗∗ (t)k → 0 ïðè t → ∞ äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p∗ (s), p∗∗ (s) èëþáîì s ≥ 0.Ìàðêîâñêóþ öåïü X(t) íàçîâåì ýðãîäè÷íîé (ñèëüíî ýðãîäè÷íîé), åñëè ñóùåñòâóåò âåêòîð π ∈ Ω òàêîé, ÷òî limt→∞ kp(t) − πk = 0 ïðèëþáîì p(0) = p ∈ Ω.

Ïðè ýòîì âåêòîð π íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàðêîâñêîé öåïè X(t).Îïðåäåëåíèå 2.Îïðåäåëåíèå 3.Îïðåäåëåíèå 4.Îïðåäåëåíèå 5.Îáîçíà÷èì ÷åðåç E(t, k) = E{X(t)|X(s) = k} ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåïðîöåññà (ñðåäíåå ÷èñëî òðåáîâàíèé) â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò s îí íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè k . Êðîìå òîãî, ââåäåì áîëåå îáùåå îáîçíà÷åíèåEp (t) - ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîöåññà â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè íà÷àëüíîì17ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé p(0) = p. Êðîìå òîãî, åñëè ïîëîæèìEk (t) = E {X(t) |X(0) = k }, òîãäà ñîîòâåòñòâóþùåå íà÷àëüíîå óñëîâèå ñèñòåìû (1.4.9) - ýòî k -é åäèíè÷íûé âåêòîð ek .Ïóñòü X(t) - ìàðêîâñêèé ïðîöåññ.

Òîãäà ϕ(t) - ïðåäåëüíîåñðåäíåå ïðîöåññà X(t), åñëèÎïðåäåëåíèå 6.lim (ϕ(t) − Ek (t)) = 0,t→∞äëÿ ëþáîãî k.Îïðåäåëåíèå 7.Åñëè ïðåäåë1E = limt→∞ tZtE{X(u)|X(0) = k}du(1.4.10)0ñóùåñòâóåò è íå çàâèñèò îò k, òî E - äâîéíîå ñðåäíåå äëÿ öåïè X(t).Ïðåäåëüíîå ñðåäíåå ïðîöåññà ïîêàçûâàåò ñðåäíåå êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé â ìîìåíò âðåìåíè (ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ t). Ïðè ýòîì íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íå îêàçûâàåò âëèÿíèå íà ïðåäåëüíîå ñðåäíåå. Äâîéíîå ñðåäíåå - íåêîòîðàÿñðåäíÿÿ õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû íà âñåì ïðîìåæóòêå åå ñóùåñòâîâàíèÿ.1.4.2Ïðîöåññû ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ êàòàñòðîôàìèÏðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè (ÏÐÃ) ñ êàòàñòðîôàìè - ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àéìàðêîâñêîé öåïè ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì.Ðàññìîòðèì ïîïóëÿöèþ, ðàçìåð êîòîðîé X(t).

Èíòåíñèâíîñòè ðîæäåíèÿ,ãèáåëè è êàòàñòðîôû îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç λn (t), µn (t) è ξ(t).Òàêæå ðàññìîòðèì ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòèpij (t, s) = P r(X(t) = j|X(s) = i),âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèépi (t, s) = P r(X(t) = i)è âåêòîð-ñòîëáåö âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé18p(t) = (p0 (t), p1 (t), . . .)T .Ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ïðÿìîé ñèñòåìîé Êîëìîãîðîâà äëÿ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿdp= A(t)p + g(t),dtt≥0(1.4.11)â ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé l1 , ãäå g(t) = (ξ(t), 0, 0, . . .)T , p(t) =(p0 (t), p1 (t), . .

.)T - âåêòîð-ñòîëáåö âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé, à A(t) - ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé ïðîöåññà, â êîòîðîé èíòåíñèâíîñòè êàòàñòðîô íå çàâèñÿò îò ÷èñëà òðåáîâàíèé â ñèñòåìå.1.4.3Âîçìóùåííûå ïðîöåññûÌàðêîâñêàÿ öåïü X(t) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîé, åñëè äëÿ ëþáîãî > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî èç óñëîâèÿ supt≥0 kA(t) − Ā(t)k < δñëåäóåò íåðàâåíñòâî kp(t) − p̄(t)k < äëÿ âñåõ p(0) = p̄(0) = p ∈ Ω (áóêâàìèñ ÷åðòîé ñâåðõó ñäåëàíû îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî âîçìóùåííîãîïðîöåññà).Åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû b > 0, c > 1, ÷òîÎïðåäåëåíèå 8.Òåîðåìà 8.kp1 (t) − p2 (t)k ≤ ce−b(t−s) ,òî äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p(s),p̄(s)(1.4.12)ñïðàâåäëèâà îöåíêàkp(t) − p̄(t)k ≤kp(s) − p̄(s)k + kA − Āk(t − s), 0 < t − s ≤ b−1 ln c2(1.4.13)kp(s) − p̄(s)kβ(t, s) + kA − Ākb−1 (ln c + 1 − c e−b(t−s) ) t − s ≥ b−1 ln c .222Òàêæålim sup kp(t) − p̄(t)k ≤ b−1 (lnt→∞Ïîäðîáíåå ñì.

[23].c+ 1)kA − Āk.2(1.4.14)19Ãëàâà 2Îöåíêè âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèêäëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé ìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿ2.1Ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì è ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé2.1.1ÂâåäåíèåÑòàöèîíàðíàÿ è íåñòàöèîíàðíàÿ ìîäåëè Ýðëàíãà äëÿ ñèñòåìû ñ ïîòåðÿìè èçó÷àëèñü âî ìíîãèõ ðàáîòàõ, ñì. [60][76],[12, 15, 78].  áîëüøîé ñòåïåíèýòî ñâÿçàíî ñî ñðàâíèòåëüíîé ïðîñòîòîé èññëåäîâàíèÿ è óäîáñòâîì ïðèìåíåíèÿ ýòîé ìîäåëè.  äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ ìîäåëåé, â êîòîðûõäîïóñêàåòñÿ ãðóïïîâîå ïîñòóïëåíèå è ãðóïïîâîå îáñëóæèâàíèå òðåáîâàíèé. Îáùàÿ ìîäåëü òàêîãî òèïà áûëà ââåäåíà â [27] è èññëåäîâàíà â [17, 85].Çäåñü ïîäðîáíåå èçó÷àåòñÿ áîëåå êîíêðåòíàÿ ñèòóàöèÿ: äîïóñêàåòñÿ ãðóïïîâîå ïîñòóïëåíèå òðåáîâàíèé, óñòàíîâëåí êðèòåðèé ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè, ïîëó÷åíû îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè è óñòîé÷èâîñòè. Èññëåäîâàíèå îïèðàåòñÿíà îáùèé ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé â ïðåäûäóùèõ ðàáîòàõ äëÿ íåêîòîðûõ êëàññîâíåîäíîðîäíûõ ìàðêîâñêèõ ñèñòåì ñ ãðóïïîâûì ïîñòóïëåíèåì è îáñëóæèâàíèåìòðåáîâàíèé, ñì.

[16, 87, 88].Ðàññìîòðèì ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ, â êîòîðîé îáùåå êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé íå ïðåâîñõîäèò S , ìàêñèìàëüíûé ðàçìåð ãðóïïû ïîñòóïàþùèõ òðåáîâà-20íèé ðàâåí N ≤ S , èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ ãðóïïû k ≤ N òðåáîâàíèé åñòüλk (t) =λ(t)k .Èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ ãðóïïû k ≤ S èìåþùèõñÿ â ñèñòåìåòðåáîâàíèé åñòü µk (t) =µ(t)k .Ïóñòü X = X(t), t ≥ 0, - ÷èñëî òðåáîâàíèé âñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ, ýòî íåîäíîðîäíàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì è ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé E = {0, 1, . . . , S}. ¾Áàçîâûå¿ èíòåíñèâíîñòèïîñòóïëåíèÿ è îáñëóæèâàíèÿ λ(t) è µ(t) ïðåäïîëàãàþòñÿ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìûìè íà [0, ∞) ôóíêöèÿìè âðåìåíè t.Äëÿ îïèñàíèÿ âåðîÿòíîñòíîé äèíàìèêè ïðîöåññà çàïèøåì ïðÿìóþ ñèñòåìó Êîëìîãîðîâà:dp= A(t)p(t),dt(2.1.1)ãäåa00 (t) µ1 (t)µ2 (t)µ3 (t) · · · µS (t) λ1 (t) a11 (t)µ(t)µ(t)···µ(t)12S−1A(t) =  λ2 (t) λ1 (t)a22 (t)µ1 (t) · · · µS−2 (t)  , ···λS (t) λS−1 (t) λS−2 (t) λS−3 (t) · · · aSS (t)PiPS−iïðè÷åì aii (t) = − k=1 µk (t) − k=1 λk (t), è λk (t) = 0 ïðè k > N .2.1.2(2.1.2)Ñëàáàÿ ýðãîäè÷íîñòü è ñêîðîñòü ñõîäèìîñòèÏðîöåññ X(t), îïèñûâàþùèé ÷èñëî òðåáîâàíèé â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå, ñëàáî ýðãîäè÷åí ïðè ëþáîì N (1 ≤ N ≤ S ) òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå:Òåîðåìà 9.Z∞(λ(t) + µ(t)) dt = +∞.(2.1.3)0Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî åñëè (2.1.3) íå âûïîëíåíî, òîkA(t)k = 2 max |aii (t)| ≤ 2 (λ(t) + µ(t)) ·SX1k=1k≤ 2 (1 + ln S) (λ(t) + µ(t)) ,è çíà÷èò,R∞21kA(t)k dt < +∞.

À òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.3 èç [13] X(t)0ñëàáî ýðãîäè÷íûì áûòü íå ìîæåò.Ïóñòü (2.1.3) âûïîëíÿåòñÿ. Ïîëüçóÿñü ñòàíäàðòíûì ïðèåìîì è ïîëàãàÿp0 = 1 −P1≤i≤Spi , ïîëó÷àåìdz= B(t)z(t) + f (t),dt(2.1.4)Tãäå f (t) = (λ1 , λ2 , · · · , λS ) ,a11 − λ1µ1 − λ1µ2 − λ1······µS−1 − λ1 λ1 − λ2a22 − λ2 µ1 − λ2······µS−2 − λ2B(t) =  λ2 − λ3λ1 − λ3 a33 − λ3······µS−3 − λ3···λS−1 − λS λS−2 − λS···λ2 − λS λ1 − λS aSS − λS.(2.1.5)Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíóþ ìàòðèöód d d · · · d1 1 1 1 0 d d ··· d 222 D= ···0 0 · · · 0 dS(2.1.6)ñ ïîëîæèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè di è ñîîòâåòñòâóþùóþ íîðìó kzkD = kDzk1 .Òîãäà ïîëó÷èì ðàâåíñòâîDB(t)D−1µ2 ) dd21a11 − λS(µ1 − (λ1 − λS ) d2a22 − λS−1d1=  (λ2 − λS ) dd3(λ1 − λS−1 ) dd231···(λS−1 − λS ) ddS1 (λS−2 − λS−1 ) ddS2· · · (µS−1 −· · · (µS−2 −· · · (µS−3 −···µS ) ddS1µS ) ddS2µS ) ddS3aSS − λ1 , (2.1.7)22äàþùåå ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìû B(t), ñì.ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå â [51, 83, 84]:γ (B(t))1D = γ DB(t)D−1 =Pdkmax1≤i≤S aii (t) − λS+1−i (t) + i−1k=1 (µi−k (t) − µi (t)) di +PS−idk+i.k=1 (λk (t) − λS+1−i ) diÏóñòü âíà÷àëå(2.1.8)+∞Z(2.1.9)µ(t)dt = +∞.0Ïîëîæèì âñå di = 1.

Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:γ (B(t))1D ≤ max1≤i≤S−iXµi (t) +i−1Xk=1!(µi−k (t) − µi (t))=k=1− min (kµk (t)) = −µ(t).1≤i≤SÈìååì ïðè ýòîì kDk =PSi=1 di= S , kD−1 k = 2 max1≤k≤S1dk(2.1.10)= 2, à çíà÷èò,kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 2kz∗ (t) − z∗∗ (t)k = 2kD (z∗ (t) − z∗∗ (t)) D−1 k ≤∗∗∗4kz (t) − z (t)k1D ≤ 4e−Rtsµ(u)du4Se−4Se−RtsRtskz∗ (s) − z∗∗ (s)k1D ≤µ(u)duµ(u)dukz∗ (s) − z∗∗ (s)k ≤kp∗ (s) − p∗∗ (s)k ≤8Seäëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p∗ (s), p∗∗ (s) è ëþáûõ s, t,−Rtsµ(u)du, (2.1.11)0 ≤ s ≤ t. Îòñþäàâûòåêàåò ñëàáàÿ ýðãîäè÷íîñòü X(t).Ïóñòü òåïåðüZ∞λ(t) dt = +∞.0(2.1.12)23Ïîëîæèì dk =1k.Òîãäà èç (2.1.8) ïîëó÷àåì òàêóþ îöåíêó ëîãàðèôìè÷å-ñêîé íîðìû B(t):γ (B(t))1DÒåïåðü kDk =1λ(t)≤ − min µi (t) + λ1 (t) ≤ −.1≤i≤SiSPSi=1 di(2.1.13)≤ 1 + ln S è kD−1 k = 2 max d1k = 2S .Çíà÷èò, ïîëó÷àåì ñëàáóþ ýðãîäè÷íîñòü ïðîöåññà è ñëåäóþùóþ îöåíêó:kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 2kD−1 D (z∗ (t) − z∗∗ (t)) k ≤18S (1 + ln S) e− SRtsλ(τ ) dτ(2.1.14),ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ p∗ (s) , p∗∗ (s) è ëþáûõ s, t, 0 ≤ s ≤ t.Åñëè (2.1.3) ñïðàâåäëèâî, òî ïðîöåññ X(t) ñëàáî ýðãîäè÷åí, èìååò ïðåäåëüíîå ñðåäíåå φ(t) è ñïðàâåäëèâû îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè:Ñëåäñòâèå 2.∗−Rt2 −Rt∗∗kp (t) − p (t)k ≤ 8Se0,(2.1.15),(2.1.16)µ(u)duïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ,|E(t, k) − φ(t)| ≤ 8S e0µ(u)duïðè ëþáîì k, åñëè âûïîëíåíî (2.1.9), à ïðè âûïîëíåíèè (2.1.12), ñîîòâåòñòâåííî:Rkp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 8S (1 + ln S) e− S1t01Rt|E(t, k) − φ(t)| ≤ 8S 2 (1 + ln S) e− S0λ(τ ) dτ,(2.1.17)λ(τ ) dτ.(2.1.18)Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû òåîðåìû 9 è ñëåäñòâèÿ 2, à òàêæå îáùèé ïîäõîä,îïèñàííûé â ðàáîòàõ [16, 87, 88], ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêèóñòîé÷èâîñòè ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå.

Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü îäíîé èç âîçìîæíûõ ôîðìóëèðîâîê. Ïóñòü X̄ = X̄(t) ÷èñëî òðåáîâàíèé äëÿ ¾âîçìóùåííîé¿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå åãî õàðàêòåðèñòèêè áóäåì îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè ñ ÷åðòîé ñâåðõó. Ïðåäïîëîæèì,24÷òî åãî èíôèíèòåçèìàëüíàÿ ìàòðèöà èìååò ïðîèçâîëüíóþ ñòðóêòóðó (òî åñòüèíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ è îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé ïðîèçâîëüíû), è ïðèýòîì ïðè âñåõ t ≥ 0 âûïîëíåíî óñëîâèå ìàëîñòè kA(t) − Ā(t)k ≤ ε. Ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç òåîðåìû 1 è îöåíîê (32), (33) èç [87].Ïóñòü âûïîëíåíî (2.1.9), è âäîáàâîê, ïðè íåêîòîðûõ ïîëîæèα è âñåõ 0 ≤ s ≤ t ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîÑëåäñòâèå 3.òåëüíûõ M,e−Rtsµ(u)du≤ M e−α(t−s) .(2.1.19)Òîãäà ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ p(0) è p̄(0) ñîîòâåòñòâåííî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâàε(1 + ln 4SM ),α(2.1.20)εS(1 + ln 4SM ).α(2.1.21)lim sup kp(t) − p̄(t)k ≤t→∞lim sup |Ep (t) − Ēp̄(t) | ≤t→∞Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (2.1.19) çàâåäîìî âûïîëíåíî, åñëè èíòåíñèâíîñòüîáñëóæèâàíèÿ 1−ïåðèîäè÷íà, ïðè ýòîì α =2.1.3R10µ(t) dt, à M = emax|t−s|≤1Rtsµ(u)du.ÏðèìåðûÐàññìîòðèì òåïåðü íåñêîëüêî ìîäåëåé îïèñûâàåìîé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ ïåðèîäè÷åñêèìè èíôèíèòåçèìàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, è äëÿ ïðîñòîòû âû÷èñëåíèé, ÷òîáû íå áûëî íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü óñå÷åííûå ïðîöåññû, êàê ýòî äåëàåòñÿ îáû÷íî (ñì.