Автореферат (Численное решение задач волноводного распространения поляризованного света в интегрально-оптическом волноводе)

На правах рукописиДиваков Дмитрий ВалентиновичЧисленное решение задач волноводного распространенияполяризованного света в интегрально-оптическом волноводе05.13.18 – математическое моделирование, численные методыи комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2017Работа выполнена на кафедре прикладной информатики и теориивероятностей Российского университета дружбы народовНаучный руководитель:Профессор кафедры прикладной информатикии теории вероятностей РУДН, доктор физикоматематических наук, профессорСевастьянов Леонид АнтоновичОфициальные оппоненты: Ведущий научный сотрудник Лабораториитеоретической физики ОИЯИ, доктор физикоматематических наукМележик Владимир СтепановичДоцент кафедры математики физическогофакультета МГУ, кандидат физикоматематических наукМогилевский Илья ЕфимовичВедущая организация:Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшегообразования «Национальныйисследовательский ядерный университет«МИФИ»Защита состоится «02» июня 2017 г.

в 15 час. 30 мин. на заседаниидиссертационного совета Д 212.203.28 при Российском университете дружбынародов, по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 110.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российскогоуниверситета дружбы народов.Автореферат разослан «Ученый секретарьдиссертационного совета»2017 г.С.А. ВасильевОбщая характеристика работыВ диссертации предложен и численно реализован подход к исследованиюматематическихмоделей,описывающихволноводноераспространениеполяризованного света в интегрально-оптических волноводах.

В настоящеевремя имеется корректная математическая модель закрытого волновода,адекватно описывающая распространение электромагнитного излучения и егодифракцию на неоднородностях. Характерное отличие открытых волноводовот хорошо изученных закрытых состоит в том, что соответствующаяспектральная задача на сечении содержит непрерывный спектр, которыйнеобходимо учитывать, как при постановке парциальных условий излучения,так и при дискретизации.

Одна из возможностей такой дискретизации,указанная А.Г. Свешниковым, положена в основу модели интегральнооптических волноводов, используемой в диссертации. Оптический волноводпомещается в объемлющий его закрытый волновод («ящик», волновод сидеально-проводящими стенками). Это позволяет сформулировать корректнуюзадачу,описывающуюэволюциюволноводныхмодкаквполнойэлектромагнитной постановке, так и в скалярном приближении, и использоватьдля ее расчета методы, разработанные для анализа закрытых волноводов.Актуальность темыРазвитие векторной теории волноводного распространения света внерегулярномактуальныхинтегрально-оптическомзадачсовременнойволноводеинтегральнойявляетсяоптикииоднойизволноводнойоптоэлектроники.

Использование скалярной теории приближенно справедливотолько для слабо направляющих структур и не подходит для описанияволноводов, у которых сильно варьируется диэлектрическая проницаемость. Вразнообразных устройствах сопряжения, связывающих различные элементыединой оптической интегральной схемы, ключевую роль играет согласованиечастот и синхронизация фаз электромагнитного поля в сопрягаемых элементах.Эффективность сопряжения существенно зависит от согласования междуполями падающей волны и волноводной моды. Следовательно, чем точнее1известен вид согласуемых полей, тем успешнее будет решена задачаэффективной передачи энергии через устройство сопряжения.

Более того, припереходевсубмикронныйдиапазонлинейныхразмеровэлементовинтегральных оптических устройств необходимо рассматривать задачу ввекторнойпостановке.Требованиекточностирасчетапараметровволноводной линзы и подобных элементов интегральных оптических структурпри переходе в нанометровый диапазон сильно возрастает в связи ссуществованием ограничений, обусловленных дифракционными эффектами.В этой связи проблема создания адекватных моделей волноводнойдифракции поляризованного электромагнитного излучения в закрытых иоткрытых волоконно-оптических и интегрально-оптических нерегулярных инеоднородных волноводах является весьма востребованной проблемой. Аформулировка корректных математических задач волноводной дифракцииявляется необходимым условием реализации устойчивых численных методоврешения задач волноводной дифракции поляризованного электромагнитногоизлучения.Открытые и закрытые волноводные системы используются при решенииразличных практически важных задач весьма часто, но только для закрытыхбыла предложена универсальная модель, учитывающая сложный векторныйхарактер электромагнитного поля и парциальные условия излучения, ведущаяк математически корректным постановкам задач анализа и синтеза(проектирование), и по этой причине вызвали теоретический интерес успециалистовпоматематическойфизике.Этообусловленотемобстоятельством, что соответствующие спектральные задачи в закрытыхсистемах имеют чисто дискретный спектр, а в открытых системах к немудобавляет еще и непрерывная составляющая.

Открытые волноводные системывозникают на практике не менее часто, чем закрытые, более того, в некоторыхпредметных областях радиофизики и оптики им следовало бы отдатьпредпочтение, например, планарные волноводы используются только воптическом диапазоне и только открытые.

Практически реализованные2волноводы с компактным поперечным сечением бывают закрытыми (сметаллическими стенками) в радиодиапазоне (дециметровом, сантиметровым идр.) и открытыми в оптическом диапазоне.Постановка корректной задачи дифракции волн на неоднородности взакрытомволноводеиспользуетпарциальныеусловияизлучения,предложенные в работах А.Г. Свешникова, обоснованию существованиярешения у этой задачи в различных волноведущих системах посвящена серияработ А.Н.

Боголюбова, А.Л. Делицына и М.Д. Малых. Первый численныйметод решения задач прохождения и дифракции волн вдоль закрытыхнерегулярных волноводов был предложен в работах Б.З. Каценеленбаума иполучил название метода поперечных сечений, работам Каценеленбаумапредшествовали работы Краснушкина, Боровикова, Кисунько, Щелгунова,Стивенсона и др. Перечисленные модели не описывали деполяризациюнаправляемыхмоднанерегулярныхучасткахволноводов.МетодКаценеленбаума был модифицирован и осмыслен А.Г.

Свешниковым каксвоеобразная реализация метода Галеркина и назван неполным методомГалеркина. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при решении задачдифракции в волноведущих систем со сложной геометрией и не менее сложнымзаполнением, в том числе киральным, что было показано в серии работ,выполненных под руководством А.Г. Свешникова на физическом факультетеМГУ Боголюбовым А.Н., Быковым А.А., Ерохиным А.И., Делицыным А.Л.,Могилевским И.Е., Моденовым В.П. и др.Схожая конструкция, известная как метод Канторовича, используетсяпри решении задач рассеяния частиц в квантовой механике в работах,выполненных под руководством С.И. Винницкого в ОИЯИ в Дубне А.А.Гусевым, О.

Чулуунбаатаром и др. В скалярных задачах неполный методГалеркина можно считать вариантом метода Канторовича.Метод Б.З. Каценеленбаума был обобщен на открытые плавнонерегулярные волноводы В.В. Шевченко. Этот метод пока не получилматематического обоснования из-за наличия непрерывных частей спектра,3которые необходимо дискретизировать, прежде чем получить задачу,пригодную для численного решения. В работах В.С. Мележика и др.квантовомеханическаямногоканальнаязадачарассеяния(вобластинепрерывного спектра на полуоси) численно решалась методом сведения кзадаче на собственные значения.Поэтому реализация идеи помещения открытой волноведущей системы взакрытую является весьма актуальной. Сформулированная нами на этой основематематическая модель реализует одну из таких дискретизаций и позволяетсформулировать корректную математическую задачу волноводной дифракциив плавно-нерегулярных интегрально-оптических волноводах.Объект моделированияОбъектом теоретического рассмотрения и численного моделированияявляется класс интегрально-оптических волноводов на планарной регулярнойдиэлектрической подложке.

Для определенности ограничимся рассмотрениемтонкопленочных волноводов с плавной нерегулярностью.Впредположении,монохроматическоечтоизлучениеполяризованноераспространяетсяэлектромагнитноевпродольномгоризонтальном направлении оси Oz декартовой системы координат, связаннойсгеометриейподложки,вбольшинствепримеровпредполагаемнерегулярность волноводных слоев в вертикальном направлении Ox ирегулярность в поперечном горизонтальном направлении Oy. В качестве4отступления будет рассмотрен класс тонкопленочных волноводных линз снерегулярностью и в направлении Oy.Такого рода структуры изготавливают несколькими технологическимипроцессами.

Одни из них обеспечивают прочное удержание изготовленнойволноводной пленки на подложке, другие – нет, их закрепляют покровнымслоем для прочности изготовленной структуры.Способыизготовленияинтегрально-оптических элементов и устройств и возможные пути ихиспользования в оптико-технических процессах обработки информацииописаны в большом количестве источников во второй половине 20-го века. Рядтехнологий приводят к созданию интегрально-оптических структур сдиффузионнымиволноводнымислоями,ихназываютградиентнымиволноводными структурами. Методы, развиваемые здесь, довольно легкообобщаются и на них.Предметисследования–математическиемоделираспространенияполяризованного света в плавно-нерегулярных интегрально-оптическихволноводах.В классе интегрально-оптических волноводных структур нерегулярных ив направлении Oy, и в направлении Oz, то есть двумерно-нерегулярных,необходимо рассматривать систему уравнений Максвелла, описывающуювекторный характер распространяющегося света.

В случае «очень слабойнерегулярности по y» можно использовать пару слабосвязанных уравненийГельмгольца для описания слабо-гибридных волноводных мод со слабойдеполяризацией.Цель диссертационной работы исследование модели волноводной дифракции электромагнитногоизлученияв интегрально-оптическом волноводе, помещенном вобъемлющий закрытый волновод; реализациясимвольно-численныхалгоритмоврешениязадачволноводного распространения поляризованного света в рамках модели5волноводной дифракции электромагнитного излучения в интегральнооптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод; верификацияполученныхрезультатовпутемихсравнениясрезультатами, полученными в рамках более грубых моделей.Задачи диссертационной работы постановкакорректнойматематическойзадачирасчетаэлектромагнитного поля в рамках модели волноводной дифракцииэлектромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе,помещенном в объемлющий закрытый волновод; адаптациячисленныхметодовиалгоритмовкрешениюсформулированной задачи; программная реализация численных методов и алгоритмов решениясформулированной задачи и проведение численных экспериментов всистемах Maple, Sage; верификация результатов и оценка применимости исследуемой моделидля решения задач волноводного распространения поляризованногосвета в рамках исследуемой модели.Методы исследований неполный метод Галеркина решения задачи дифракции волноводноймоды, падающей на двумерный неоднородный или нерегулярныйзакрытый волновод или волноводный переход между двумя закрытымиволноводами; конечно-разностный метод решения третьей краевой задачи скомплекснымикоэффициентамидлясистемыобыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка; асимптотический метод решения дифференциальных уравнений смалым параметром, в приближении по которому векторная волноводнаязадача редуцируется к скалярной.6Научная новизнаПредложена новая постановка математической задачи, описывающейволноводное распространение поляризованного света в рамках моделиволноводной дифракции электромагнитного излучения в интегральнооптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод.В диссертационной работе результаты и методы, обоснованные в теориизакрытых волноводов, адаптируются к открытым волноведущим системам врамках исследуемой модели.Методы решения задач расчета электромагнитного поля реализованы всимвольно-численном виде.Практическая значимостьМодель, задачи дифракции, методы их решения и алгоритмыиспользуются в учебном процессе при подготовке магистров направлений«Прикладная математика и информатика» и «Фундаментальная информатика иинформационные технологии» в рамках курса «Вариационные методы вматематическом моделировании».