Автореферат (Исследование инфляционных моделей посредством уравнения Абеля первого рода)

На правах рукописиЯпарова Анна ВалентиновнаИсследование инфляционных моделей посредствомуравнения Абеля первого рода01.04.02 — Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 20172Диссертационная работа выполнена на кафедре физики физико-технического института в составе объединенного института физико-математических наук и информационных технологий Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта».Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессорЮров Артем Валериановичдиректор институтафизико-математических наук иинформационных технологий ФГАОУВО «Балтийский федеральныйуниверситет имени И.

Канта»Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессорОдинцов Сергей Дмитриевичглавный научный сотрудник отдела исследований и разработок ФГБОУ ВО«Томский государственный педагогический университет»доктор физико-математических наук,профессорЧервон Сергей Викторовичпрофессор кафедры физики итехнических дисциплин факультетафизико-математического итехнологического образования ФГБОУВО «Ульяновский государственныйпедагогический университет имениИ.Н. Ульянова»Ведущая организация:Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшегообразования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».Защита состоится «11» мая 2017 года в 15 час.

30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при ФГАОУ ВО «Российский университет дружбынародов» по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.3, ауд. №110.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» (РУДН) и на официальном сайте диссертационных советов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ruАвтореферат разослан «»Ученый секретарь диссертационного советаД 212.203.34кандидат физико-математических наук2017 г.Попова Вера Анатольевна3ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы. Первые модели, описывающие экспоненциально быстроерасширение вселенной, заполненной сверхплотной материей, были предложеныеще в шестидесятых годах прошлого столетия, однако и сейчас ранняя космологическая инфляция является активно развиваемой идей в современной космологии,поскольку предположение о протекании инфляции в ранней вселенной позволяет разрешить многие затруднения, возникающие в теории горячей вселенной, такие как проблемы сингулярности, плоскостности, горизонта и другие.

Изобилиеисследований по данной теме привело в конечном итоге к созданию различныхинфляционных сценариев [2, 22, 27, 17, 23, 10, 4, 6, 18, 24], в частности, новогоинфляционного сценария [20, 28] и сценария хаотической инфляции [21], которыйна сегодняшний день разработан наиболее глубоко и полно.Одна из простейших моделей хаотической инфляции — это инфляция во вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем φ , минимально связанным с гравитацией, которое, в принципе, не должно быть однородным на больших масштабах. Достаточно лишь, чтобы оно было практически однородным в некоторой малой области порядка планковской длины lP ∼ 10−33 см .Тогда эту область можно рассматривать как локально однородную и изотропную,с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРУ)[]dr22222222ds = dt − a (t)+ r (dθ + sin θ dφ ) ,1 − kr2где t — временная координата, r , θ и φ — пространственные координаты, a(t)— масштабный фактор, k = 0, +1, −1 для плоского, замкнутого или открытогопространства соответственно.

Тогда выражающее закон сохранения энергии уравнениеρ̇ + 3H(ρ + p) = 0,следующее из уравнений Эйнштейна–Фридманаkȧ28π=ρ−,a23M2Pa2ä4π= − 2 (ρ + 3p) ,a4MP(1)в этой области может быть записано в видеφ̈ + 3H φ̇ + V ′ (φ) = 0,(2)где точка обозначает производную d/dt , штрих — производную d/dφ , H = ȧ/a— параметр Хаббла, ρ = 1/2φ̇2 + V (φ) — плотность энергии поля, p = 1/2φ̇2 −V (φ) — давление поля, а V (φ) — его потенциал. Здесь и далее везде полагаемc = ~ = 1 . Таким образом, первое из уравнений (1) и уравнение (2) составляютсистему двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциямиa = a(t) и φ = φ(t) .4Сложность решения такой системы, очевидно, зависит от выбора потенциалаV (φ) , который, как правило, берется из какой-либо теории элементарных частиц.Для большей части даже самых простых полиномиальных потенциалов найти аналитические решения невозможно.

Помимо этого, часть из потенциалов, для которых аналитические решения существуют, являются нереалистичными. Ситуацияусложняется еще и нелинейностью уравнений и наличием в них вторых производных от неизвестных функций. Таким образом, анализ поведения инфляционнойвселенной оказывается нетривиальной задачей, вследствие чего становится особенно важным развитие методов анализа и численной оценки ее поведения.Существует несколько распространенных подходов к исследованию системы.Первый их них заключается в поиске решения для поля с заданным потенциаломV (φ) . Второй — в определении так называемого суперпотенциала как функцииполя, зачастую приравниваемого к плотности энергии поля [16, 5, 7, 25].

Ещеодин подход состоит в том, что скорость изменения поля φ̇ вводят как заданнуюфункцию самого поля φ̇ ≡ U (φ) («метод U (φ) ») [25, 14, 13]. Каждый подход позволяет отыскать (хотя бы численно) функции зависимости масштабного фактора искалярного поля от времени.К счастью, существует весьма удобный инструмент для работы, значительноупрощающий изучение динамики вселенной по сравнению с непосредственныминтегрированием исходных уравнений. Это – уравнение Абеля первого рода вида()′()V(x)1y(x) , σ = ±1,y ′ (x) = − y(x)2 − 1 σ −2V (x)где независимая безразмерная переменная x прямо пропорциональна скалярномуполю. Несмотря на то что изредка оно используется для некоторых частных задач,например, в работах [24, 29], оказывается, что возможности его применения гораздо шире.

Хотя оно также нелинейно и имеет аналитические решения для весьмаограниченного числа случаев [12], анализ одного дифференциального уравненияпервого порядка выполнить проще, чем анализ системы (1) из двух уравнений.Свести уравнения Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля можно как с использованием суперпотенциала (см. [29]), так и комбинируя метод суперпотенциала иметод U (φ) , причем оба метода дают абсолютно идентичные уравнения.В различных инфляционных моделях одной из главных проблем остается проблема естественного выхода из инфляции без «тонкой настройки» для реалистичных потенциалов.

Как показано, в частности, в работе [1], естественное завершение инфляции без «тонкой настройки» возможно, однако не ясно, следуют липотенциалы, соответствующие этим решениям, из некоторой теории элементарныхчастиц, например, какой-либо теории поля или теории струн.Часто предполагается, что инфляция завершается, после того как перестаетвыполнятся условие медленного скатывания (потенциальный член плотности энергии поля перестает намного превышать кинетический). Однако имеется множествопримеров инфляции, протекающей без медленного скатывания [3, 11, 1].

В целом,значение медленного скатывания для инфляции оказывается не совсем прозрачным. В то же время даже численные или приближенные решения соответствующих5уравнений Абеля предоставляют ценную информацию о существовании инфляциии ее протекании, а также позволяют выяснить связь между инфляцией и медленным скатыванием и определить, происходит ли выход из инфляции для заданногопотенциала. Таким образом, изучение и развитие предлагаемой методики анализадинамики вселенной с помощью уравнения Абеля является весьма актуальным.Помимо оценки поведения вселенной для уже известных потенциалов скалярных полей также стоит задача конструирования новых потенциалов, которые быопределяли эволюции вселенной в соответствии с данными наблюдений. Одним измощных инструментов для этих целей оказывается преобразование Дарбу [8, 9].Некоторые уравнения космологии вполне естественно приводятся к линейномустационарному уравнению Шредингера, например, одно из уравнений Эйнштейна–Фридмана в формеä4π= − 2 (ρ + 3p)a3MPили уравнение, связывающее спектральный индекс спектра возмущений плотностис параметром Хаббла и его производными в приближении медленного скатывания:H ′′H ′28π4− 8 2 = − 2 (1 − ns ).HHMP(3)В частности, уравнение (3) заменой H(φ) = 1/ψ(φ) приводится к видуd2 ψ2π2π− 2 − 2 ns ψ = − 2 ψ,dφMPMPгде роль потенциала уравнения Шредингера играет член −2πns /M2P , а спектральные параметр задан как −2π/M2P .

Применение преобразования Дарбу к решениямуравнения Шредингера позволяет генерировать новые решения космологическихуравнений, и, в случае уравнения (3), получать также инфляционные потенциалы исоответствующие им спектральные индексы. При должном выборе начальных решений в преобразовании Дарбу может оказаться возможным получать вселенныес желаемыми характеристиками.Итак, как развитие методик анализа уже имеющихся решений космологическихуравнений, так и поиска новых решений является достаточно серьезной и важнойзадачей.Основные задачи. Диссертационная работа направлена на развитие метода изучения динамики вселенной, заполненной скалярным полем, с помощью сведениясистемы уравнения движения поля и уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Аблея первого рода.

Помимо этого предлагается и используется новый способпостроения инфляционных потенциалов с помощью преобразования Дарбу. Основные задачи состоят в следующем:– изучение инфляционной динамики пространственно-плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с потенциаламивида m2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 посредством сведения уравнений6Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля первого рода, а именно, определение начальных условий, необходимых для реализации режима медленногоскатывания, оценка значения условия медленного скатывания для протеканияинфляции, определение условий, при которых происходит естественный выходиз инфляции и переход к фазе осцилляций поля;– применение аналитических решений уравнения Абеля для анализа динамикивселенной, заполненной скалярным полем с экспоненциальным потенциалом;проверка полученных решений на устойчивость скалярных возмущений метрики и поля в окрестности точек, в которых расходится производная давленияполя по его плотности энергии;– исследование соответствия между уравнением, связывающем спектральныйиндекс спектра возмущений плотности энергии и параметр Хаббла в приближении медленного скатывания, с уравнение Кортевега–де Фриза, раскрытогов [19], и развитие этого соответствия на всю иерархию уравнений Кортевега–де Фриза;– построение новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов путем сведения уравнения для спектрального индекса клинейному стационарному уравнению Шредингера.Основные результаты и положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:– в случае рассмотренных полиномиальных потенциалов установлено, что условие медленного скатывания неизменно возникает в ходе динамики вселенной,если в ней протекает так называемая «сильная» инфляция, и большая частьчисла е-расширений и времени инфляции приходится на период действия режима медленного скатывания, однако ускоренное расширение начинается довхода в указанный режим, и заканчивается после выхода из него;– аналитически показано, что естественный выход из инфляции обязателен дляполиномиальных потенциалов, и что за ним следует режим осцилляций поля;– с помощью уравнения Абеля получены аналитические общие решения уравнений Эйнштейна–Фридманад для вселенной, заполненной скалярным полем какс положительным, так и отрицательным экспоненциальным потенциалом; доказана устойчивость скалярных возмущений метрики и поля для полученныхрешений в окрестности точек, в которых расходится производная давленияполя по его плотности энергии;– изучено соответствие между уравнением Кортевега–де Фриза и уравнением,связывающем спектральный индекс спектра возмущений плотности энергиискалярного поля в приближении медленного скатывания; соответствие расширено на всю иерархию уравнений Кортевега–де Фриза;– представлен метод сведения уравнения для спектрального индекса в приближении медленного скатывания к линейному стационарному уравнению Шре-7дингера; посредством преобразования Дарбу построены новые потенциалыскалярного поля и соответствующие им спектральные индексы, а также выражения для масштабного фактора и скалярного поля, в том числе, обеспечивающие естественный выход из инфляции.Научная новизна.