Диссертация (Модель разделения ресурсов беспроводной сети как система массового обслуживания с требованиями случайного объема), страница 7

 rk  ресурсов, тогда система из состояния k , l1,..., lk  , r1,..., rk перейдет с вероятностью  lj (l1,..., lk ) в состояние k  1, l1,..., li1, l, li ,..., lk  , r1,..., ri1, r, ri ,...rk  .Рассмотрим распределение стационарных вероятностей СП Y (t ) :q0  lim P{ (t )  0},t (2.2)qlk1,...,lk (r1,..., rk )  lim P{ (t )  k ;1(t )  l1,...,k (t )  lk ; γ1(t )  r1,..., γ k (t )  rk }. (2.3)t Обозначим pl ,rl вероятности того, что заявка класса l занимает rl единицресурсов и pl(,krl ) вероятность того, что kl заявок класса l занимают rl ресурсов,lа pl(,krl ) представляет собой kl – кратную свертку вероятностей pl ,rllpl(,krl )   pl , j pl(,krl 1)j .lljrlРассмотрев все возможные переходы между состояния СП Y (t ) запишемсистему уравнений равновесия:Lq0  ll 1L pl ,r   l  ql1(rl ) ,rl Rll 1L L1  l  pl ,r  l  ql (rl )  l pl ,r q0   ( l  l )  ql2,l (rl , rl ) ,l11l1111 l 1 rl R rl 1 1l 1rl R rl11для 1  l1  L ;(2.4)rl R(2.5)45 L  l qlk...l (rl ,..., rl ) p(l...l)l ,rl1kk l 1 rl R (rl ...rl ) 1 k 11kk1  li  lii (l1,..., li 1, li 1,..., lk ) pli ,rl qlk1 ,...,li 1 ,li 1 ,...,lk (rl1 ,..., rli 1 , rli 1 ,..., rlk )  (2.6)ii 1L  ( l   (l1,..., lk ))l 1rl R (rl1 ...rlk )1qlk1 ,...,lk ,l (rl1 ,..., rlk , rl ),для 1  l1,..., lk  L , 1  k  N ;N l qlN,...,lii 11N(rl1 ,..., rlN ) (2.7)N1  li  lii (l1,..., li 1, li 1,..., lk ) pli ,rl qlN1 ,...,li 1 ,li 1 ,...,l N (rl1 ,..., rli 1 , rli 1 ,..., rl N ),ii 1для 1  l1,..., lN  L ;Nq0  k 1 rl1 ...rlk Rqlk1 ,...,lk (rl1 ,..., rlk )  1 .(2.8)Для дальнейших рассуждений рассмотрим такие СВ  1, 2 , , k ,которые можно разбить на L непустых групп, где L  k , таким образом, чтовсе СВ l–ой группы будут экспоненциально распределены с параметром  l .Обозначим f (i) номер группы, которой принадлежит СВ  i .

СВ 1,2 , ,kпорядковых номеров  i упорядочены таким образом, что  1   2   k .Пусть в l–ю группу входит kl СВ  i , тогда обозначим k (k1, , kL ) множествовсех целочисленных векторов  l1, l2 ,, lk  длины k  k1  k2 значение l элементы вектораl1, l2 ,, lk  kL , таких чтопринимают ровно kl для всехl  1,..., L [111].Лемма 2.2.l1, l2 ,, lk  ,Вероятность того, что найдутся такие векторачто ровно kl их элементов принимают значение l для всехl  1,..., L , определяется формулой (2.9).46 L k lP{ f (1 )  l1,..., f ( k )  lk }    kl !   k i . l 1  i 1 (2.9)ljj iДоказательство. Для любой перестановки s1, s2 ,..., sk чисел 1,2,...,k согласноформулы (2.1) леммы 2.1 справедливо равенствоkP{ 1   2  ...

  k }  i 1 f (si ),k f (s )jj iтогдаP{ f (1 )  l1,, f ( k )  lk } 1s1 , ,sk ksi  s j , i  jP{ s1   sk } f ( si )li ,i 1,2, ,kk1s1 , ,sk ksi  s j , i  ji 1f ( si )li ,i 1,2, ,kТак какki 1 lij iP( s1 ,, sk )f ( si )li ,i 1,2, ,kk f ( s )j i1s1 , ,sk ksi  s j , i  jj lik.k li 1j if ( si )li ,i 1,2, ,kjне зависит от индексов суммирования s1 , , sk , то пустьk l f ( si )j– количество перестановок чисел 1,2,,k при условии f (si )  liдля всех i  1, , k , тогда1s1 , ,sk ksi  s j , i  jf ( si )li ,i 1,2, ,kki 1 li P( s1 ,i lj 1 lik, sk ) f ( si )li ,i 1,2, ,k i 1j,i lj 1jТак как среди компонент вектора (l1, l2 , , lk ) число l встречается ровно kl раз,то количество перестановок таких элементов равно kl ! , следовательно длявсех l  1,2, , L количество перестановок P( s1 ,, sk )f ( si )li ,i 1,2, ,kL  kl !, тогдаl 147 li L kk!  l i l j  l 1  i1k1s1 , ,sk ksi  s j , i  ji 1j 1f ( si )li ,i 1,2, ,k li.□i lj 1jСледствие 2.1.

В условиях леммы 2.2 справедливо равенство lik(l1 , ,lk ) k ( k1 , ,k L ) i 1k lj 1j1L kl !.(2.10)l 1Доказательство. Просуммируем обе части (2.9) по всем векторам(l1, , lk ) k (k1, , kL ) :(l1 , ,lk ) k ( k1 , ,k L )P{ f (1 )  l1,, f ( k )  lk } (l1 , ,lk ) k ( k1 , L kk!  l ,k L )  l 1 i 1 li lj i1(l1 , ,lk ) k ( k1 ,,kj L k  lik!,  l  k,k L )  l 1 i 1 j iljLтак как kl ! не зависит от векторов (l1,..., lk ) , тоl 1k(l1 , ,lk ) k ( k1 , ,k L ) i 1 lik lj ij1L kl !. □l 1Утверждение 2.1.

Распределение стационарных вероятностей СП Y (t )задается формулой (2.11) с начальным условием (2.12).qlk1 , ,lk (rl1 ,…,rlk )  q0 pl1 ,rl1Nq0  1    pl1 ,rl1 k 1 rl ...rl R1kгде, l l, l  1,2,..., L .llikplk ,rlk  (l ,..., l ) ,i 11i1 ,plk ,rl k(l,...,l)1i i 1kli(2.11)(2.12)48Доказательство. Подставим (2.11) в СУР (2.4)–(2.7) и получим верныеравенства:Lq0  ll 1rl RLq0  ll 1Lpl ,rl   ll 1rl R q0 pl1,rl1rl Rl1,l1Lpl ,rl  q0  l1  pl1 ,rl ;l 11rl RL Ll2  l  pl ,r  l  q0 pl ,r l1  l pl ,r q0   ( l  l )q0 pl ,r pl ,r l1;l11 l11l111 l12 l2 l 1 rl R rll1llll 11121q0l1 Ll1 Lppq   p p ;l1 l 1 l rl Rrl l ,rl l1 ,rl1 0 l1 l 1 l rl Rrl l ,rl l1,rl111для 1  l1  L , L  l  q0 pl ,rp(l...l)1k1 l1 l 1 rl R (rl ...rl ) l ,rl1k  li  lii (l1,..., li 1, li 1,..., lk ) pli ,rl  q0 pl1 ,rli1i 1likplk ,rlk  (l ,..., l )  i 11ipli 1 ,rl pli 1 ,rl ...

plk ,rl i 1i 1k(l,...,l)1j j 1j il jkkklil  ( l   (l1,..., lk ))qp...pp,0 l1 ,rl1lk ,rlk l ,rl (l,...,l)(l,...,l,l)1i1il 1rl R (rl1 ...rlk ) i 1L Lq0   l p l 1 rl R (rl ...rl ) l1 ,rl11kplk ,rl pl ,rl k q0lk pl1 ,rl1l 1i 1 (l1,..., li )pli 1 ,rl pli ,rl pli 1 ,rl ... plk ,rli 1rl R (rl1 ...rlk )для 1  l1,..., lk  L , 1  k  N ;i 1i1kkli  (l ,..., l ) i 1kpl1 ,rl ... plk ,rl pl ,rl 1plk ,rl k(l,...,l)1i i 1k 1 lk pl1 ,rlk 1L q0  lliki 11lii (l1,..., li ),li49 l1  q0 pl1,rl1i 1plN ,rlNi 1  li  lii (l1,..., li 1, li 1,..., lk ) pli ,rl  q0 pl1 ,rli1i 11pli 1 ,rl pli 1,rl ...

plN ,rl ,i 1i 1N(l,...,l)1jj 1j i1N  (l ,..., l ) i 11i1i 1liNN q0  li pl1 ,rlpli 1 ,rl pli ,rl pli 1 ,rl ... plN ,rli 1l jliNplN ,rliNNq0  li pl1 ,rl  (l ,..., l )  Ni 1liNNi 1iN  (l ,..., l ) .i 11iДокажем теперь, что выражение (2.12) истинно, подставив (2.11) в (2.9):Nq0  k 11l1 ,...,lk  L rl1 ...rlk RN q0  qlk1 ,...,lk (rl1 ,..., rlk ) likk 11l1 ,...,lk  L rl1 ...rlk Rq0 pl1 ,rl1N q0 1    p k 11l1 ,...,lk  L rl ...rl R l1 ,rl11kplk ,rlk  (l ,..., l ) i 11i  (l ,..., l )   1.□k1ii 1likplk ,rlСгруппируем заявки по класса таким образом, что в системе окажется kl заявоккласса l, которые занимают rl ресурсов. Введем следующие обозначения:klkli 1i 1qk1 ,...,kL (r1,..., rL )  lim P{ (t )  k ; i (t )  l;  γ i (t )  rl , l  1,..., L} ,t qk (r1,..., rL ) k1 ... kL kqlk1,,lk (rl1 ,…,rlk ) .Теорема 2.1.

Распределение стационарных вероятностей СП Y (t )может быть найдено по формулам (2.13) и (2.14).qk1 ,...,kL (r1,..., rL )  q0 p1,( kr1 )1pL( k,rL )L1k1k1 !... LkLkL !,(2.12)1k1N LkL ( k1 )( k L ) 1q0  1   p1,r ... pL,r... .1L n1 k ...k n r ...k!k!1LrL R1L1(2.13)50Доказательство. Просуммируем обе части (2.11) по множеству всехцелочисленных векторовl1, l2 ,, lk k  k1  k2 длины kL , средикомпонент которых число l встречается ровно kl раз для каждого l  1,..., L .k1 ... kL kqlk1 ,,lk (rl1 ,…,rlk ) (l1 , ,lk ) k ( k1 , ,k L )qk (r1,..., rL )  q0 p1,( kr1 )1pL( k,rL )Llikq0 pl1 ,rlplk ,rl1ki 11ili lik  (l ,..., l ) ,  (l ,..., l ).(l1 , ,lk ) k ( k1 , ,kL )i 11iСогласно лемме 2.2( k1 )kq1,...,L (r1,..., rL )  q0 p1,r1Nq0  1    p k 11l1 ,...,lk  L rl ...rl R l1 ,rl11kpL( k,rL )L1k1k1 !... LkLkL !.1li plk ,rl k(l,...,l)1i i 1knNli 1    p1,( kr1 ) n1 k ...k n i 1  (l1,..., li ) r ...r R 11L1L( kL )pL,r L 1nNli li 1    p1,( kr1 ) n1 k ...k n i 1  (l1,..., li ) r ...r R 11L1LpL( k,rL ) L 1nNlik1kL 1    1 ... L p1,( kr1 )1 n1 k ...k ni 1  (l1,..., li ) r1 ...rL R1LN11 1    1k1 ... LkL ...p1,( kr1 ) n1 k ...k nk1 ! k L ! r1 ...rL R 11LN 1   p1,( kr1 ) n1 k ...k n r ...r R 11L1LpL( k,rL )L1k1k1 !...1pL( k,rL ) L .1pL( k,rL )  L  LkL 1 .□k L ! Для дальнейшего анализа вероятностных характеристик системы,таких как вероятность блокировки заявок B и средний объем занятых ресурсовb предлагается упростить исследуемую СМО без потери точности.

Как былодоказано в [53] стационарные вероятности и вероятностные характеристики51многолинейной СМО с несколькими классами заявок и суммарнымитребованиями к ресурсам эквиваленты стационарным вероятностям ихарактеристиками исследуемой СМО в предположении об пуассоновскомвходящем потоке и экспоненциальном времени обслуживания заявок.2.2 Метод анализа упрощенной СМО с суммарными требованиями кресурсамВ разделе 2.1 были получены стационарные вероятности дляэкспоненциальной системы массового обслуживания ограниченной емкости снесколькими классами заявок и случайными требованиями к ресурсамнескольких типов. Поведение системы описывает СП Y (t )  ( (t ), θ(t ), Γ(t )) ,согласно которому для каждой заявки системы в момент времени t  0необходимо знать все векторы γ i (t ) ресурсов, занимаемых каждой заявкойсистемы.

Предлагается продолжить анализ исследуемой СМО методом,предложенным в [115]. Упростим многолинейную СМО со случайнымитребованиями следующим образом.Рассмотрим в некоторый момент времени t  0 матрицу ресурсовΓ(t )   γ k (t ) k  (t ) . Пусть δ(t )  γ1(t )  ...  γ (t ) (t ) суммарный вектор занятыхресурсов всеми заявками системы в момент времени t  0 такой, что (t )δ(t )  1(t ),..., M (t )  и  m (t )    m,k (t ) .k 1СП Y  (t )  ( (t ), δ(t )) , где–  (t ) – число заявок в систем, а момент времени t  0 ,– δ(t ) , δ(t )  R – вектор занятых ресурсов системы,является упрощением СП Y (t ) и имеет эквивалентные исходной системыстационарные вероятности и вероятностные характеристики.52Множество состояний СП Y (t ) имеет вид Y Nk 0YkYk  , где {(k , r) :0  k  N , 0  r  R} .

Рассмотрим возможные переходы междусостояниями системы.Пусть в момент ti  0 в систему поступила заявка l–го класса, котораятребует rl  0 вектор ресурсов. Если в системе занято менее N приборов ивектор rl не превышает R  δ(ti ) , тогда суммарный объем занятых ресурсовδ(ti ) системы увеличится на rl  0 , где rl  {rl1,..., rlM }.Рассмотрим теперь как изменится суммарный объем занятых ресурсовδ(ti ) если в момент времени ti  0 одна из заявок завершит свое обслуживание.Пусть систему покинет заявка класса l, тогда объем занятых ресурсов δ(ti )уменьшится на вектор νl   l1,..., lM  случайных величин.

Вектор ν l приизвестном числе заявок k в системе и суммарном объеме занятого ресурса yне зависит от поведения системы в прошлом и согласно формуле Байеса имеетфункцию распределения Fk (x | y)  P( νl  x |  (ti )  k ; δ(ti )  y ) , 0  x  y .Обозначим распределение стационарных вероятностей СП Y  (t )q0  lim P{ (t )  0},(2.14)qk (r)  lim P{ (t )  k ; δ(t )  r}(2.15)t t Для дальнейших рассуждений введем функцию g k (r) , просуммировавправую часть выражения (2.13) по всем значениям векторов r1,..., rL таких, чтоr  r1  ...  rL :g k (r ) Теорема2.2L r1 ...rl r k1 ... k L k l 1Многолинейнаяpl(,krl )lСМОlklkl !,ограниченной(2.16)емкостиснесколькими классами заявок и случайными требованиями к ресурсам можетбытьсведенакСМОсагрегированнымвходящимпотокомсо53средневзвешенными требованиями к ресурсам.