4 ДЗ (2) (МУ ко всем ДЗ)

Министерство образования Российской ФедерацииГосударственное образовательное учреждениеУральский государственный технический университет – УПИРАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙМетодические указания к выполнению контрольных заданийпо курсу «Сопротивление материалов»для студентов всех форм обучения всех специальностейЕкатеринбург 2001УДК 539.3Составители В.В. Чупин, Д.Е. ЧерногубовНаучный редактор доц., канд.

техн. наук А.А. ВознесенскийРАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ: Методические указания к выполнению контрольных заданий по курсу «Сопротивление материалов» / В.В.Чупин, Д.Е.Черногубов. Екатеринбург: ГОУ УГТУ–УПИ, 2001. 31 с.Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс “Сопротивление материалов”. Содержат сведения из теории, примеры расчета, таблицы сортамента.Библиогр.: 3 назв. Рис. 9. Табл. 1. Прил.

1.Подготовлено кафедрой “Строительная механика”.© ГОУ Уральский государственныйтехнический университет – УПИ, 200121. УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯИз теоретической механики известно, что равновесие абсолютно твердоготела может быть устойчивым, безразличным и неустойчивым. Например, шар,лежащий на вогнутой поверхности (рис. 1,а), находится в состоянии устойчивого равновесия. Если ему сообщить небольшое отклонение от этого положения иотпустить, то он снова возвратится в свое исходное положение. Шар, лежащийна горизонтальной поверхности (рис.1,б), находится в состоянии безразличногоравновесия.

Будучи отклоненным от этого положения, он в исходное положение не возвращается, но движение его прекращается. Наконец, шар, лежащийна выпуклой поверхности (рис.1,в), находится в состоянии неустойчивого равновесия. Будучи отклоненным от первоначального положения, oн продолжаетдвигаться дальше.Рис. 1Аналогичные примеры можно привести и из области равновесия деформирующихся тел.Так, длинный стержень при действии сравнительно небольшой осевойсжимающей силы (меньше некоторого критического значения) находится в состоянии устойчивого равновесия (рис.

2, а). Если незначительно изогнуть егоРис. 2какой-нибудь поперечной нагрузкой и затем эту нагрузку убрать, то стерженьвновь распрямится, примет первоначальную форму равновесия. При значениисжимающей силы P, равном критическому значению Pкр, стержень будет находиться в состоянии безразличного равновесия. Будучи незначительно отклоненным от первоначального прямолинейного положения и предоставленнымсамому себе, он останется в равновесии и в отклоненном положении (рис. 2, б).3И, наконец, если сила Р станет больше критической, то прямолинейная формаравновесия стержня окажется неустойчивой (рис. 2, в). При силе, большей критической, устойчива криволинейная форма равновесия, но при этом стерженьбудет работать уже не на центральное сжатие, а на сжатие и изгиб.

Даже незначительное превышение величины силы над ее критическим значением приводит к большим прогибам стержня и возникновению в нем высоких напряжений.Стержень либо разрушается, либо получает недопустимо большие деформации.В том и другом случае стержень практически выходит из строя, т. е.

с точкизрения инженерного расчета критическая сила должна рассматриваться какопасная (предельная) нагрузка.Таким образом, критическую силу можно определить как силу, при которой сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, другими словами, как силу, при которой возможна как прямолинейная форма равновесия стержня, так и близкая к ней криволинейная.Рассмотренная схема работы центрально сжатого стержня носит несколько теоретический характер.

На практике приходится считаться с тем, что сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стерженьможет иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. По этойпричине с самого начала продольного нагружения стержня, как правило, наблюдается его изгиб.Исследования показывают, что, пока сжимающая сила меньше критической, прогибы стержня будут небольшими, но при приближении значения силык критическому они начинают быстро возрастать. Этот критерий (большое увеличение прогибов при малом увеличении силы) и может быть принят за критерий потери устойчивости.Определив критическую силу, необходимо установить допускаемую нагрузку на сжатый стержень.

В целях безопасности допускаемая нагрузка должна быть меньше критической:Pкр[P] = ,(1)nyгде n y – коэффициент запаса устойчивости.Величина коэффициента запаса устойчивости принимается такой, чтобыбыла обеспечена надежная работа стержня, несмотря на то, что действительныеусловия его работы могут быть менее благоприятны, чем условия, принятыедля расчета (из-за неоднородности материалов, неточности в определении нагрузок и т.д.). При этом величина коэффициента запаса устойчивости принимается несколько большей величины коэффициента запаса прочности, так какучитываются дополнительные неблагоприятные обстоятельства: начальнаякривизна стержня, эксцентриситет действия нагрузки и др.Для стали величина нормативного коэффициента запаса устойчивости n yпринимается в пределах от 1,7 до 3, для чугуна – от 5 до 5,5 для дерева – от 2,8до 3,2.4Потеря устойчивости упругого равновесия возможна также при кручении,изгибе и при сложных деформациях.Исследования показывают, что потеря устойчивости была причиной многих катастроф и аварий конструкций.2.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА ДЛЯ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫРассмотрим стержень постоянного поперечного сечения в слегка изогнутом состоянии под действием сжимающей силы P несколько большей критической силы Pкр (рис. 3). При шарнирном опирании концов стержня продольныйизгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т.е. поперечные сечениястержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой моментинерции имеет минимальное значение Imin. В этом легко убедиться, сжимаягибкую линейку.Рис.

3Предположим, что деформации малые и критическая сила не вызывает встержне напряжений, превышающих предела пропорциональности σпц.В связи с этим используем для изучения продольного изгиба и определения критической силы приближенное дифференциальное уравнение изогнутойоси балки:EI min y" = M изг .(2)Изгибающий момент относительно центра тяжести сечения А в изогнутомсостоянии равенM изг = − Pкр y .(3)Знак минус берется потому, что стержень изгибается выпуклостью вверх,а ордината у положительна.

Если бы стержень изогнулся выпуклостью вниз, томомент был бы положительным, но ординаты у были бы отрицательными, и мы5снова получили бы тот же результат (3). С учетом (3) уравнение (2) принимаетвидEI min y" = − Pкр y .ОбозначаяPкрk2 =,EI minполучаемy"+ k 2 y = 0 .Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение имеет видy = A sin kz + B cos kz ,(4)где А и B – постоянные интегрирования, для определения которых используемизвестные условия закрепления концов стержня:1) при z = 0, у = 0;2) при z = l, у = 0.Из первого условия получим B = 0. Следовательно, стержень изгибаетсяпо синусоидеy = A sin kz .Из второго условия получимA sin kl = 0 .Это соотношение справедливо в двух случаях:1. A = 0. Но если A = 0 и B = 0, то, как следует из уравнения (4), прогибыстержня равны нулю, что противоречит исходной предпосылке.2.

sin kl = 0. Это условие выполняется, когда kl принимает следующийбесконечный ряд значений:kl = 0, π, 2π, 3π, ... , nπ,nπгде п – любое целое число. Отсюда k =, а так какlPкрk=,EI minтоπ 2 EI min 2Pкр =n .2lМы получаем, таким образом, бесчисленное множество значений критических сил, соответствующих различным формам искривления стержня.С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшеезначение критической силы, при котором происходит потеря устойчивостистержня.6Первый корень п = 0 не дает решения задачи. При п = 1 получаем наименьшеезначение критической силы:π 2 EI minPкр =.(5)2lЭто и есть формула Эйлера. Критической силе, определяемой по формуле (5),соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной:π y = A sin  z  .l Следующие корни дают большие значения критической силы, и мы ихрассматривать не будем. Им соответcтвует изгиб стержня по синусоиде с несколькими полуволнами, который получается в том случае, если изгиб по синусоиде с одной полуволной почему-либо невозможен, например из-за наличияпромежуточных связей.Следует обратить внимание на то, что постоянная A, а следовательно, иформа изогнутой оси стержня остались неопределенными.Если применить для исследования продольного изгиба не приближенное,а точное дифференциальное уравнение изогнутой оси, то оказывается возможным определить не только величину критической силы, но и зависимость между сжимающей силой и прогибом стержня.3.

ВЛИЯНИЕ СПОСОБА ЗАКРЕПЛЕНИЯ КОНЦОВ СТЕРЖНЯНА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫЧаще всего концы стержня закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис. 4.Первый способ – шарнирное закрепление обоих концов – рассмотрен нами при выводе формулы Эйлера.При других способах закрепления обобщенная формула Эйлера для определения критической силы имеет видπ 2 EI min,(6)Pкр =(µ ⋅ l )2где µ – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления концов стержня (см. рис. 4);l o = µl – приведенная длина стержня.Чем меньше µ, тем больше критическая, а следовательно, и допускаемаянагрузка стержня.

Например, нагрузка стержня, с двумя заделанными концами,может быть в 16 раз больше нагрузки стержня, с одним заделанным концом,поэтому там, где возможно, следует осуществлять жесткую заделку обоих концов стержня. Однако это не всегда можно осуществить на практике. Элементы,к которым прикрепляются концы рассматриваемого стержня, всегда более илименее упруго–податливы, что вносит некоторую неопределенность в расчет.Поэтому весьма часто даже при жестком соединении концов стержня с другими7элементами расчет в запас прочности ведут, предполагая шарнирное закрепление обоих концов.Рис. 44. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРАФормулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мыпользовались приближенным дифференциальным уравнением изогнутой осибалки, вывод которого основан на законе Гука.