8 (Лекции Лунева PDF)

Семестр 4. Лекции 8.Лекции 8. Квантовая теория атома.Ядерная модель атома. Постулаты Н. Бора. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Волновые функции и квантовые числа. Спинэлектрона. Спектр атома водорода. Правила отбора для квантовых чисел.Ширина спектральных линий.Модель атома Томсона.Джозеф Джон Томсон, открывший в 1897 г. электрон, предложил рассматривать атомкак положительный однородно заряженный шар, внутри которого движутся отрицательно заряженные электроны.Найдём собственную частоту колебаний одиночного электрона в такой модели атома.Уравнение движения электрона: ma  eE .

Напряжённость электрического поля можно найтипо теореме Гаусса:1dV .S E,dS  0 VСчитая, что электрический заряд равномерно распределён по объёму, можно найти плотностьqqзаряда:   . Выбирая в качестве поверхности S концентрическую сферу радиуса r<R,4V3R3получаем:1 q 4 3E 4r 2 r .0 4 R 3 331 q1 qeОткуда E r , поэтому уравнение движения примет вид: ma  r . Цикличе340 R40 R 3ская частота колебаний равна  1 qe.

Указанная величина по порядку совпадает с ча40 mR3стотами излучения атомов.Модель атома Резерфорда.В 1911 г. Эрнест Резерфорд провел опыты по рассеянию -частиц (ядер атомов гелия)на атомах золота. Результаты распределения частиц по углам рассеяния показали, что положительно заряженная область занимает небольшую часть объёма атома. На основании чего Резерфорд предложил планетарную модель атома, в которой атом состоит из положительнозаряженного тяжёлого ядра очень малых размеров (  1015 м) , размер ядра много меньшеразмера атома (  1010 м) . Вокруг тяжёлого ядра вращаются лёгкие отрицательно заряженные электроны, подобно планетам солнечной системы. Поэтому такую модель называют планетарной моделью атома.Эта модель не может существовать с точки зрения классической электродинамики.

Привращательном движении электрон движется с (центростремительным) ускорением, поэтомуатом должен непрерывно излучать энергию, что должно привести к потере энергии атомом. Т.е.с классической точки зрения атом является нестабильной системой, т.к. после исчерпания энергии электрон должен упасть на ядро.Теория БораПопытку снять это противоречие предпринял Нильс Бор в 1913 г. Для этого он предположил, что существуют состояния атома, в которых электрон движется по определённым орбитам, не излучая электромагнитные волны. Такие состояния он назвал стацио1Семестр 4.

Лекции 8.нарными. При переходе из одного стационарного состояния в другое атом излучает илипоглощает квант энергии:  Ek  En .Эти предположения получили название постулаты Бора.В теории Бора возможны только такие орбиты, для которых момент импульсаэлектрона кратен постоянной ħ: L  n  .Учитывая, что в этой модели орбиты являются круговыми, поэтому для момента импульса электрона можно записать выражение: L  m  R  p  R , получаем, что условие p  R  n h 2Rэквивалентно p  2 R  n  2 , т.е.

 B  - на орбите укладывается целое числоpnдлин волн де Бройля для электрона.Спектр излучения атома водорода к тому времени уже был достаточно хорошо изучен. Дляциклической частоты излучения опытные данные давали (обобщённую) формулу Бальмера: 1 1   R  2  2  ,n k где R – постоянная Ридберга, n, k – натуральные числа, k  n .К достоинствам модели атома Бора можно отнести тот факт, что эта модель позволилаобъяснить, в частности, эту формулу.Рассмотрим модель атома, в котором лёгкий электрон движется по круговой орбите радиуса R вокруг тяжёлого положительно заряженного ядра (Z – зарядовое число): v2 21 Ze21 Ze 2Ze 2mmvRman 2или40 R 240 . R 40 R ,mvR  nmvR  nmvR  n2ZeОткуда для скорости электрона получаем: v , и радиус орбиты:40 n40  n n.mvmZe2Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий:mv 21 Ze2.E240 R2RТ.к.

из уравнения движения следует равенство: mv 2 E1 Ze2, то40 R1 1 Ze21mZ 2e42 40 R2  40 2  n2.Следовательно, энергия электрона в атоме определяется выражением:mZ 2e41En   2.2 2n2  40 Число n определяет значение энергии электрона и называется главным квантовым числом.me411Для атома водорода Z = 1, поэтому En   2  21,7  2 1019 Дж или2 2nn2  40 1эВ. Следовательно, для отрыва электрона от атома (ионизации атома) водородаn2необходима энергия En  13,6 эВ.En  13,6 2Семестр 4. Лекции 8.Первый Боровский радиус:40 2 0,53 1010 м2me– радиус самой «низкой» орбиты электрона по порядку величины совпадает со средним размером атома, полученным экспериментально.

Первый Боровский радиус соответствует невозбуждённому (основному) состоянию атома.Состояниям с большей энергией соответствуют большие радиусы орбит.При переходе из одного стационарного состояния в другое энергия кванта излученияравна, k  n :me4 1 1   Ek  En  2 .2 2  2n k 2  40 R1  1 1 Для круговой частоты получаем обобщённую формулу Бальмера:   R   2  2  ,n k 4meгде постоянная Ридберга R .

Стоит отметить, что её значение хорошо согласуется2(4 0 ) 2 2с экспериментальным значением: R  2,06 1016 с-1.Замечание. При излучении или поглощении кванта энергии изменяется энергия атома, следовательно, изменяется главное квантовое число n. При изменении главного квантового числа изменяется момент импульса атома, следовательно, в соответствии с законом сохранения моментаимпульса, фотон должен иметь момент импульса целочисленно кратный постоянной ħ.Теория Бора, несмотря на успехи в моделировании атома водорода, не помогла построить модель многоэлектронных атомов.

Кроме того, она не давала объяснения и другим явлениям, например, тонкой структуре энергетических уровней.Однако теория Бора уже не была классической теорией строения атома. Одним из важнейших результатов этой теории является демонстрация того факта, что для объяснения явлений микромира необходимы подходы, отличные от подходов классической физики.Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода.Рассмотрим квантовую систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze (Z – целое число) и электрона.

Такая система при Z>1 описывает водородоподобный ион, а при Z=1 –атом водорода. Считая энергию системы постоянной, запишем уравнение Шрёдингера для стационарного состояния:2m 1 Ze2   2  E z  0 .40 r rЗапишем это уравнение в сферической системе координат,x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos  .yЗапишем оператор Лапласа в сферической системе координат:x2 2  1 212cos  , 2  2 2 2 2 22rr r r  r sin   r sin  тогда уравнение Шрёдингера принимает вид: 2 2  1  21 2 cos   2m 1 Ze2  2 E  0 .r 2 r r r 2 2 r 2 sin2  2 r 2 sin  40 r Перепишем уравнение в виде 2 2  2m 1 Ze2 1   21  2 cos    2 E.   2  2  2r 2 r r40 r r  sin  2 sin   Для дальнейшего анализа удобно ввести обозначение угловой части оператора Лапласа:3Семестр 4.

Лекции 8. 21  2 cos  .2 sin2  2 sin  Для поиска собственных функций этого оператора необходимо решить уравнение: ,      .Исследование этого уравнения показывает, что оно обладает непрерывным решением,если собственные числа имеют специальный вид:   l   l  1 , где l - целое неотрицательное число: l  0,1, 2,... .Введём оператор квадрата момента импульса: Lˆ2  Lˆ2  Lˆ2  Lˆ2 . ,    xyzВ сферической системе координат этот оператор принимает вид: 21  2  cos   2L̂2      2  2  2 или L̂     2sin  sin    2  ,    .Поиск собственных значений этого оператора: L̂2     L2   приводит к уже известномууравнению:   ,    L22  0 , откуда следует равенство:   L22илиL22 l   l  1 для не-отрицательных целых чисел l.

Поэтому величина момента импульса для электрона в атомепринимает значения:L  l   l  1 .Т.к. проекция вектора на ось Z не может быть больше длины вектора, то из соотношенияLz  L и равенств Lz  m , L l   l  1 получаем: m l   l  1 или m2  l   l  1 .С учётом того, что числа m и l - целые, это соотношение эквивалентно тому, что значения mнаходятся в диапазоне: m  l,...,0,...,l .Исходное уравнение Шрёдингера:  2m 1 Ze2 E   0 , в сферической системе2 4r0координат: 2 2  2m 1 Ze2 1E    2   ,    ,22 rr r40 r rа с учётом выражения для квадрата момента импульса: L̂2      2   ,    , может быть записано в форме, учитывающей квадрат момента импульса: 22  2m 1 Ze 2   ˆ 22 2  r  2  2 E    L   .r r40 r   rСледовательно, решение этого уравнения должно зависеть от величины момента импульса.Это уравнение имеет непрерывные решения при любых положительных значениях энергии E  0 .

Этому случаю соответствуют решения, описывающие электрон, пролетающий мимоядра.Для отрицательных значений энергии E  0 непрерывные решения существуют для значений Е в уже знакомом нам виде:mZ 2e41En   2,2 2n2  40 где n  1, 2,3,... . В этом случае электрон связан с ядром. При этом число l меняется в диапазоне l  0,1,..., n  1 .Замечание.

Выражение для энергии совпадает с выражением, полученным в теории атома Бора.4Семестр 4. Лекции 8.В итоге, можно сказать, что решение уравнения Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме определяется тремя целыми числами: n , l, m, что условно обозначают следующим образом:    n,l ,m  r,, .Число n определяет значение энергии электрона в атоме и называется главным квантовым числом.Число l определяет величину момента импульса электрона, поэтому его называют орбитальным (азимутальным) квантовым числом.

Оно принимает значения из диапазонаl  0,1,..., n  1 .Число m называется магнитным квантовым числом. Оно определяет проекцию моментаимпульса на ось вращения. Принимает значения из диапазона: m  l,...,0,...,l .Следовательно, одному значению энергии, задаваемому главным квантовым числом nможет соответствовать несколько разных функций  n,l ,m .Для заданного значения l число возможных значений m равно 2l  1 .

Но для заданного числаn число возможных значений l равно n. Поэтому общее количество наборов троек чисел n,l,m равно:n 1  2l  1  n2. Т.е. кратность вырождения уровня энергии для главного кван-l 0тового числа n равна n2. Проиллюстрируем это заключение таблицей:nn,l,m12 2 ,0 ,0 ,  2 ,1,0  2 ,1,1 ,  2 ,1,11,0 ,0Кратность1вырождения433,0 ,0 ,  3,1,1 , 3,1,0 ,  3,1,1 , 3,2 ,2 , 3,2 ,1 , 3,2 ,0 , 3,2 ,1 , 3,2 ,29Для обозначения квантовых состояний вводятся спектроскопические символы:Значениечисла lОбозначениесостояния012345spdfghНапример, электрон, находящийся в состоянии с l  0 , называют s-электроном, а само состояние – s-состоянием.Значение главного квантового числа указывают перед спектроскопическим символом.Например, символ 3p обозначает состояние, в котором n=3, l=1.

Символ 2s обозначает состояние, в котором, n=2, l=0, и т.д.В теории Бора изменение состояния электрона соответствует его переходу с одной орбиты на другую. В квантовой механике изменение состояния атома не связано с пространственным перемещением электрона, т.к. понятие орбиты движения электрона становится неприменимым. Например, s-состояние электрона в классической механике является невозможным, ибов этом случае орбитальный момент импульса электрона равен нулю – т.е. электрон при своёмдвижении с классической точки зрения проходит через ядро.Правило отбора.Испускание и поглощение света происходит при переходе атомов из одного состояния вдругое.