7 (Лекции Лунева PDF), страница 2

Лекции 7. Lˆx  i  sin  ctg cos ,  Lˆ y  i  cos  ctg sin , .Lˆz  iОператор Lˆ z имеет дискретный спектр собственных значений:Lz  m ,где m  0,  1,  2, ... ,каждому собственному значению соответствует собственная функция:  m ( ) 1 ime .2Эти собственные функции ортонормированны, так что21, если n  m.0  m ( ) n ( )d  0, если n  m.Оператор квадрата момента импульса можно построить по правилу:Lˆ2  Lˆx Lˆx  Lˆ y Lˆ y  Lˆz Lˆz .В сферической системе координат оператор Лапласа:1   r  2  ,rможет быть записан с выделением его радиальной части:1    r  2  r 2 r r  r и угловой части:1   1 2. , sinsin     sin 2   2В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат преобразуется к виду:L̂2   2  , .Спектр собственных значений оператора L̂2 является дискретным:L2  2l (l  1), l  0, 1, 2, ...

,причём каждому собственному значению оператора квадрата момента импульса с заданнымзначением l соответствует (2l+1) собственных значений функции l ,m  Yl ,m ( ,  ) , отличающихся значениями целочисленного параметра m  0,  1,  2, ...,  l . Другими словами, каждоесобственное значение оператора L̂2 имеет кратность вырождения, равную (2l+1). Каждомузначению m соответствуют определённые значения проекции момента импульса Lz  m .Функции Yl ,m ( ,  ) называются шаровыми (или сферическими) функциями. Эти функции нормированы условием:200 YY sin  d d  1 .l ,m l ,mОператоры энергий.Оператор кинетической энергии.

Классическая формула связи кинетической энергии частиp2цы массой m0 и её квадрата импульса: Ek . Аналогичное соотношение связывает опера2m0торы в квантовой механике. Поэтому2pˆ 2Eˆ k .2m02m05Семестр 4. Лекции 7.Оператор потенциальной энергии. Если частица движется в стационарном силовом поле и еёпотенциальная энергия U  U ( x, y, z ) определена в любой точке пространства, то оператор потенциальной энергии Û определяется как оператор умножения на функцию U , т. е.или Û  U .Û   U  Оператор полной энергии. В классической механике полная энергия частицы есть сумма кинетической и потенциальной энергий, поэтому в квантовой механике оператор полной энергииĤ определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий:2Hˆ  Eˆ k  Uˆ    U ( x, y , z ) .2m0В классической механике полную энергию частицы, выраженную через её координаты и импульс, называют функцией Гамильтона.

Поэтому в квантовой механике оператор полнойэнергии Ĥ называют оператором функции Гамильтона или просто гамильтонианом.Гамильтониан Ĥ является основным оператором квантовой механики, так как, выбираяконкретный вид гамильтониана с учётом силового поля, действующего на частицу, мы формулируем на математическом языке все особенности квантовой системы.

Поэтому и основноеуравнение нерелятивистской квантовой механики – уравнение Шрёдингера – может быть записано в операторной форме, содержащей гамильтониан Ĥ : ˆi H .tСледует заметить, что записанная выше формула для Ĥ определяет гамильтониан квантовойсистемы и в том случае, когда силовое поле является нестационарным, т. е.U  U ( x, y, z, t ), a F   gradU . Однако эту формулу нельзя применить, если на частицу действует сила, зависящая от скорости частицы.

К такому типу сил относится, в частности, силаЛоренца, действующая на движущуюся в электромагнитном поле заряженную частицу.Физическое содержание операторного метода в квантовой механике накладывает определённые ограничения на возможный вид квантово-механических операторов. Пусть Ф̂ оператор физической величины f . Тогда для любых функций 1 и  2 и произвольных постоянных C1 и C2 должно выполняться равенство:Фˆ (C   C  )  C Фˆ   C Фˆ  .11221122Операторы, обладающие таким свойством, называются линейными операторами. Свойстволинейности операторов физических величин тесно связано с принципом суперпозиции квантовых состояний.

Использование в теории линейных операторов не нарушает этого принципа.Оператором физической величины может быть только линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор. Такому оператору соответствует действительная (не комплексная)физическая величина. Самосопряжённым называют оператор, который совпадает со своим сопряжённым оператором. В этом случае для произвольных функций 1 и  2 тождественновыполняется следующее интегральное равенство: 1 (Фˆ  2 )dV    2 (Фˆ 1 ) dV .RNRNТаким образом, каждой физической величине в квантовой механике ставится в соответствие определённый линейный самосопряжённый оператор.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что все определённые выше квантово-механические операторы обладают такими свойствами.6Семестр 4. Лекции 7.7.