7 (Лекции Лунева PDF)

Семестр 4. Лекции 7.Лекции 7. Представление физических величин операторами.Основные постулаты квантовой механики. Операторы координаты,импульса, момента импульса, потенциальной и кинетической энергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике. Вычислениесредних значений физических величин в квантовых системах.Квантовая механика принципиально отличается от классической механики в подходе квопросу о результатах измерения физических величин в квантовых системах. Прежде всего, вквантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектр значений, тогда как в классической механике все физические величины изменяются непрерывно.

Крометого, результаты измерения физических величин в квантовой системе имеют вероятностный характер. Это означает, что в общем случае в процессе измерения наблюдаемой физической величины в квантовой системе с определённой вероятностью может реализоватьсяодно из нескольких возможных значений этой величины. Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определённого значения. В таком случае, зная волновуюфункцию, описывающую квантовое состояние, мы должны уметь предсказывать среднее значение наблюдаемой физической величины, полученное из ряда измерений.Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физических величин вквантовой механике базируется на представлении физических величин операторами и разработке адекватного математического аппарата.Основные постулаты квантовой механики.1.

Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая функция( x, y, z, t ) , определяющая это состояние. Волновая функция находится из решения уравнения Шрёдингера.2. Каждой наблюдаемой физической величине f в квантовой механике ставится всоответствие некоторый линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор Ф̂ , действие которого на волновую функцию задаётся при его определении. Соотношения междуквантово - механическими операторами аналогичны соотношениям, связывающим в классической механике соответствующие физические величины3. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физическойвеличины f может быть только собственное значение f n соответствующего ей оператора Ф̂ .Собственные значения оператора Ф̂ находятся из решения уравнения:Фˆ  n  f n  n .Это уравнение имеет набор собственных функций  n и собственных значений f n . В случаедискретного спектра физической величины этот набор представляет собой счётное множество(n = 1,2,…).Система собственных функций оператора любой физической величины представляетсобой полную ортонормированную систему функций.

Поэтому любую волновую функцию всегда можно разложить в ряд по этим собственным функциям:   Cn  n ,nпричём коэффициенты этого разложения определяются по формуле:Cn   n dV .RN1Семестр 4. Лекции 7.Здесь интегрирование производится по всей области R N изменения пространственных переменных размерности N. При использовании декартовой системы координат в одномерных задачах dV  dx для N  1, в двумерных задачах dV  dxdy для N  2 и в трёхмерных задачах dV  dxdydz для N  3 .Если для некоторого квантового состояния волновая функция  не является собственной функцией оператора Ф̂ , то в этом квантовом состоянии физическая величина f не имеетопределённого значения.

Вероятность Pn того, что при измерении физической величины f вэтом квантовом состоянии будет получено численное значение f n , находится по формуле:Pn  Cn ,а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по результатамбольшого числа измерений можно определить следующим образом: f    Pn f n     (Фˆ  )dV .2nRNУчитывая важность этой формулы, её часто рассматривают как четвёртый постулат квантовой механики.Необходимым и достаточным условием возможности одновременного точного измерения двух физических величин a и b является коммутативность соответствующихим операторов Â и B̂ , т.е. выполнение равенства:ˆ ˆ  BAˆ ˆ  0. Aˆ , Bˆ   ABЕсли же коммутатор  Aˆ , Bˆ  двух операторов не равен нулю, то соответствующие имдве физические величины не могут быть измерены одновременно точно. Для таких физическихвеличин справедливы соотношения неопределённостей вида: a b  0 , утверждающие, чтообе неопределённости a и b не могут одновременно стремиться к нулю.Операторы основных физических величин квантовой механики.В работах М.

Борна, П. Дирака и других учёных был сформулирован второй постулатквантовой механики, утверждающий, что каждой физической величине соответствуетопределённый оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.Оператор – что это такое? Оператор – это математическое правило, следуя которому можно преобразовать одну функцию в другую. Задать оператор – значит определитьрецепт этого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др.В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используетсяклассическое обозначение физической величины со «шляпкой» над буквой в виде значка «  ».Например, x̂ - это оператор координаты, pˆ x - оператор проекции импульса на ось x, Û - оператор потенциальной энергии и т.

д. Оператор предполагается действующим на написанную заним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции.Определим операторы основных физических величин в квантовой механике.Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению её на соответствующую координату, т.

е.ẑ     z   .x̂     x   ,ŷ     y   ,В символической операторной форме записи эти операции имеют вид:xˆ  x, yˆ  y, zˆ  z.2Семестр 4. Лекции 7.Объединяя эти формулы, можно ввести векторный оператор r̂ , соответствующий радиусвектору r в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой прямоугольной системе координатоператоры xˆ, yˆ , zˆ.

Поэтомуrˆ  e xˆ  e yˆ  e zˆ ,xyzгде ex , ey , ez - единичные орты координатных осей.Найдём коммутатор операторов координат разных координатных осей, например,осей X и Y: xˆ, yˆ      xˆ  yˆ     yˆ  xˆ     x  y    y  x    0 , т.е.  xˆ, yˆ   0 .Так как коммутатор операторов этих координат равен нулю, следовательно, координаты могутбыть одновременно измерены с любой точностью.Собственные числа оператора координаты – это значения координат. Очевидно,что эти значения - действительные числа.

Оператор координаты обладает непрерывным спектром, поэтому среднее значение, например, координаты x определяется равенством2x   * ˆx    dV   * xdV   x  dV .VVVОператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определимоператоры проекций импульса на оси декартовой системы координат:, p̂ y    , p̂z    .p̂x    i yi xi zВ символической операторной форме записи эти операции имеют вид:.pˆ x  i, pˆ y  i, pˆ z  ixyzКоммутатор операторов проекций импульса на разные координатные оси:       ˆpx , ˆp y      ˆpx  ˆp y      ˆp y  ˆpx       0.i x  i y  i y  i x Т.е.

в этом случае проекции импульсов могут быть измерены одновременно с произвольнойточностью.Найдём коммутатор операторов координаты и проекции импульса на одну и ту жеось: x . x   x  ˆpx ,xˆ      ˆpx  ˆx      ˆx  ˆpx      xi xi xi x i i x  iТаким образом,  ˆpx ,xˆ   i  Iˆ , где Î - единичный оператор, т.е.

Î      .С учётом того, чтоÎ  1 для импульса вдоль оси Х и координаты х можно написать соот-ношение: x  px . Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными.2Найдём коммутатор операторов координаты и проекции импульса на разные оси:  y     y  ˆpx , ˆy      ˆpx  ˆy      ˆy  ˆpx       0.i x i x Т.е.

эти величины не являются канонически сопряжёнными и могут быть измерены одновременно точно.Собственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса. Найдём собственные функции оператора проекции импульса на ось. Для этого надоразрешить операторное уравнение p̂x     px   . С учётом определения оператора получаем3Семестр 4. Лекции 7.обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка: px   , которое решаемi xi x xpdметодом разделения переменных:, где С не зависит от х. i x  dx , откуда   C  eОператор вектора импульса:ˆp     e ˆp     e ˆp     e ˆp      e   e   e   ,x xy yz zxyzi xi yi ziгде оператор «набла» в декартовых координатах задаётся в виде:  ex ey ez .xyzВ символической операторной форме оператор вектора импульса запишем какpp̂  i  .Используя соотношение классической механики для квадрата импульса:p 2  px2  py2  pz2  px px  py p y  pz pz ,определим оператор квадрата импульса: 222 pˆ 2  ( pˆ x )2  ( pˆ y )2  ( pˆ z )2   2  2  2  2  . x y z Используя символ оператора Лапласа, запишем предыдущее соотношение в более компактномвиде:p̂ 2   2  .Оператор момента импульса.

Для построения оператора квантовой механики, соответствующего некоторой динамической переменной в классической механике, следует сначала записатьклассическое выражение этой величины через импульс и координаты, а затем заменить импульси координату соответствующими операторами.В классической физике вектор момента импульса относительно некоторой точки определяетсяex ey ezвыражением: L  R  p  xyz  ex  ypz  zp y   e y  zpx  xpz   ez  xp y  yp x  ,pxpypzгде ex , e y , ez - орты декартовой системы координат.Тогда вектор-оператор момента импульса должен принять видˆ ˆˆ z  ˆzpˆ y   ey  ˆzpˆ x  ˆˆˆ x.L  R  ˆp  ex  ˆypxpz   ez  ˆˆxp y  ˆypОператоры проекций момента импульса на координатные оси:  ˆ ˆ z  zpˆ ˆ y  i  y  z  ,Lˆx  ypy  z  ˆˆ z  i  z  x  ,ˆ ˆ x  xpLˆ y  zpz  x  ˆˆ y  ypˆ ˆ x  i  x  y  .Lˆz  xpx  yОтметим, что задачи квантовой механики, описывающие системы со сферической симметрией,удобнее решать не в декартовой прямоугольной, а в сферической системе координат: (r , ,  ) .Переходя от декартовых координат к сферическим, по обычным правилам замены переменных: x  r sin  cos  , y  r sin sin  , z  r cos  , запишем операторные соотношения, определяющие операторы проекций момента импульса:4Семестр 4.