1-2 (Лекции Лунева PDF), страница 2

Тогда xMAX . Т.е. длина волны, соответст MAX Tвующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, обратно пропорциональна температуре АЧТ.Закон смещения Вина.Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетическойbсветимости АЧТ обратно пропорциональная температуре АЧТ:  MAX  .T3Константа b  2,9 10 мК носит название постоянной Вина.Из этого закона следует, что при повышении температуры АЧТ, максимум функцииАЧТr   ,T  (или r АЧТ  ,T  ) смещается в сторону коротких длин волн.

(Отсюда и следует«странное» название – закон смещения.)Развивая теорию теплового излучения, Джон Рэлей (1900г.) и Джеймс Джинс (1905г.)попытались получить аналитическую зависимость спектральной плотности энергетической светимости от частоты. Для этого они привлекли методы классической термодинамики. Т.к. в плоской электромагнитной волне энергия поровну распределяется между магнитным и электрическим полями, то можно считать, что каждой волне соответствует две степени свободы i = 2, поэтому средняя тепловая энергия, переносимая электромагнитной волной, равна:kT kT    Э     М  kT .22Подсчёт спектральной плотности количества волн (отношение возможного количества стоячихволн с частотами в интервале  ,  d  в некотором объёме к величине этого объёма) привоdN 2 2 3 .

Следовательно, спектральная объёмная плотность энергииdVcdN 2равновесного теплового излучения будет равна: u ,T    2 3 kT . Откуда для спекdVcтральной испускательной способности АЧТ (спектральной плотности энергетической светимоc2сти АЧТ) приходим к формуле Рэлея-Джинса: r АЧТ  ,T  u,T  2 2 kT .44 cОказалось, что формула Рэлея-Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно чёрного тела только в области больших длин волн (т.е.малых частот) и резко расходится с опытом для малых длин волн или больших частот излучения. При этом с ростом частоты объёмная плотность энергии неограниченно возрастает. Этотпротиворечивый результат, содержащийся в формуле Рэлея-Джинса, вывод которой с точкидит к соотношению:4Семестр 4.

Лекции 1 - 25зрения классической теории не вызывал сомнений, П. Эренфест назвал «ультрафиолетовойкатастрофой».Гипотеза о квантах. Формула Планка.«Ультрафиолетовая катастрофа» показала, что классическая физика содержит ряд принципиальных внутренних противоречий, которые проявились в теории теплового излучения и разрешить которые можно только с помощью принципиально новых физических идей.Такая физическая идея была сформулирована Максом Планком в 1900 году в виде гипотезы о квантах. Согласно этой гипотезе энергия системы может принимать толькодискретные значения.

При испускании электромагнитных волн энергия системы уменьшаетсяна величину энергии излучения. Поэтому энергия излучения тоже является дискретной. Минимальную величину энергии излучения он назвал квантом. Энергия кванта зависит от частотыизлучения и определяется по формуле: E  h   .Коэффициент пропорциональности h  6, 626 1034 Джс называется постоянной Планhка. Соответственно, приведённая постоянная Планка  1,055 1034 Джс.2Постоянная Планка является принципиально новой константой и не может быть получена из констант классической физики.Если рассмотреть равновесное излучение как термодинамическую систему, то к нейможно применить классическое распределение Больцмана.

Вероятность нахождения системы водном из состояний со значением энергии En определяется выражением: E exp   n  kT  ,pn  E i exp   kTi где суммирование проводится по полному набору дискретных значений  E0 ,E1 ,E2 ,...,EN  .Среднее значение энергии определится выражением:N   p0 E0  p1 E1  p2 E2  ...  pN E N   pi Ei .i 0Для электромагнитной волны теплового излучения характерно излучение во всём диапазонечастот, поэтому набор энергий будет бесконечным 0, , 2 ,...,n ,... .

Тогда n n kT i 0n 0n 0.    pi Ei    Ei  En  n i 0exp  exp  exp   kT  kT  kT n 0i 0n 0Здесь для удобства немой индекс суммирования i заменён на n. Учтем, что в бесконечной геометрической прогрессии  2  3 1, exp   , exp   , exp  , … kT  kT  kT   знаменатель прогрессии равен exp   . Если предположить, что exp    1 , то сумма kT  kT равна:1 n   2 .exp    1  exp    exp    ...   kT  kT  kT n 01  exp   kT Ei i En  exp   kT  E  exp   kT  En exp  56Семестр 4. Лекции 1 - 2Тогда среднее значение энергии излучения с частотой  определится из следующих преобразований: n   2  3 exp   exp  n   2  exp    3  exp    ...kT kT kT kT n 0   n   2  3 exp1expexpexp... kT  kT  kT  kT n 0   2  3      exp    2  exp    3  exp    ...  1  exp    kT  kT  kT  kT     2  2  3  3   exp     exp    2  exp    2  exp    3  exp    ...

 kT  kT  kT  kT  kT   2  3      exp     exp     exp    ...   exp   1  exp    ...  kT  kT  kT  kT   kT  exp   kT  ,   1  exp   exp  1 kT  kT т.е..   exp  1 kT Следовательно, спектральная объёмная плотность энергии теплового излучения будет равна:dN 2c13. Откуда r АЧТ  ,T  u ,T  2 2.u ,T    2 3dVc44 c  exp exp  1 1 kT  kT Закон излучения Планка.Спектральная плотность энергетической светимости АЧТ равна:13.r АЧТ  ,T  2 24 c exp  1 kT Следствия из формулы излучения Планка. 1) Вид функции в законе Планка совпадает с формулой Вина r АЧТ  ,T   3  F   .T 2) Найдем длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетическойсветимости АЧТ.Т.к.3 2c 132c12c4 2 c 2  АЧТ 2c, тоr АЧТr,T ,T2c 24 2 c 224 2 c 22 2c  5exp exp   exp  1 1  1 kT  kT   kT   2 2d АЧТd 4 c(r,T )   0 , откудаdd  5 2 c    exp   1  kT    6Семестр 4.

Лекции 1 - 272c 42 c 2  exp 2 22 2d 4 c4 c2c kT  5 0,22d  5 kT2c   2c  62c exp   exp   1  1  5  exp   1 kT kT     kT   2c exp 2c kT   5.2c   kT  exp  kT    1 2cВводя обозначение x , получаем трансцендентное уравнение x  exp  x   5  exp  x   1 .kT Решение этого уравнения: x0  4,965114232. Откуда для длины волны  MAX , соответствующеймаксимуму спектральной испускательной способности получаем выражение:2c 2 ,9 103м. MAX kT x0TСледовательно, вычисленное значение постоянной Вина b  2,9 103 мК практически совпадает с экспериментальным значением.3) Найдем интегральную характеристику излучения - энергетическую светимость АЧТ:3 4kT 13k4x3  kT АЧТ4RT   r  ,T d    2 2d   2 2 3dT0 exp  x   1 dx4 c4 ckT  42c 2 3  000exp exp  1 1 kT  kT x3Численный расчёт даёт значение: dx  6,5 , откуда RT  5,65 108  T 4 .expx10Т.е.

вычисленное значение постоянной Стефана-Больцмана практически совпадает с экспериментальным значением.134) Если в законе излучения Планка: r АЧТ  ,T  2 2устремить   0 , то с уче4 c exp  1 kT 132 АЧТтом разложения exp , получим выражение: r  ,T  2 2kT ,  14 c 1    1 42 c 2kT kT kTсовпадающее с формулой Рэлея-Джинса. Т.е.

формула Рэлея-Джинса описывает случай, когдаэнергия кванта излучения много меньше энергии теплового движения:   kT .5) Для примера представим графики r АЧТ  ,T для некоторых температур. Для этого введём переменную x и перепишем закон излучения Планка в видеk3 331,38 1023 kk3x3x3k АЧТ.r  ,T  2 2 2 2 2 2 24 c4 cexp x  1 4  9 10161,0552 10 68 xexp exp    1 1 kT T 3xТогда r АЧТ  ,T  6 , 6 1012.

Графики такой зависимости для различных Т представлеxexp    1T ны ниже.7Семестр 4. Лекции 1 - 28rАЧТ,TДж/м26,0E+205,0E+20T=400, K4,0E+20T=300, K3,0E+20T=200, K2,0E+20T=100, K1,0E+200,00,01,0E+032,0E+033,0E+035,0E+034,0E+036,0E+03x, KФотоэффектФотоэлектрическим эффектом или внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов веществом под действием падающего света. (Явление испускания электронов веществом под действием падающего света называется фотоэмиссией).

Впервые фотоэффект был открыт в 1887 г. Г.Герцем, который обнаружил, что искровой разряд между двумяметаллическими шариками происходит значительно интенсивнее, если один из шариков освещать ультрафиолетовым излучением. Измерение удельного заряда частиц, вылетающих из металла под действием излучения, позволило установить, что эти частицы являются электронами(Ф.Ленард и Дж.Дж.Томсон, 1899г.).Детальное экспериментальное исследование закономерностей внешнего фотоэффекта дляметаллов было выполнено в 1888 г. Александром Григорьевичем Столетовым на установке сфотоэлементом. В установке для исследования фотоэффекта свет сквозь кварцевое стекло осВакуумIКАIHVПГUЗ0Uвещает катод, который вместе с анодом находится в вакуумированной колбе. Напряжение Vмежду катодом и анодом можно регулировать (положительным считается напряжение, при ко8Семестр 4.

Лекции 1 - 29тором потенциал катода меньше потенциала анода). Наличие тока в цепи регистрируется гальванометром Г. Вольт-амперная характеристика фотоэффекта свидетельствует:1) при освещении катода ток в цепи есть даже при нулевом напряжении между катодом и анодом. Это означает, что часть электронов, вылетевших с катода, попадает на анод;2) наличие фототока говорит о том, что все электроны, вылетевшие с катода, попадают на анод;3) при некотором обратном (задерживающем) напряжении фототок в цепи прекращается. Величина этого напряжения зависит от частоты падающего света, но не зависит от освещённости;Этот факт противоречит классическому описанию – при увеличении освещённости катода напряжённость электрического поля увеличивается – поэтому скорость вылетающих электроновдолжна возрастать, т.е.