2 (Раздаточные материалы)

007( 075 )l545№13216Министерство образования Российской федерацииТаганрогский государственный радиотехнический университетМетоды и средства анализамедикобиологической информацииУчебно-методическое пособиеФЭПТаганрог 2002УДК 007:61 (075.8) + 681.3.01 (075.8)Составитель Сахаров В.Л. Методы и средства анализамедикобиологическойинформации:Учебно-методическоепособие Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. 70с.В предлагаемом пособии рассмотрены основныеалгоритмыобработкибиомедицинскойинформации,используемые при построении компьютерных медицинскихкомплексов.Ил. 14Рецензент С.А.

Синютин, канд. техн. наук, доценткафедры МПС ТРТУ.2СОДЕРЖАНИЕ1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ .....................................41.1. Интерполяция каноническим полиномом....................41.2. Интерполяционный полином Лагранжа.......................51.3. Интерполяционный полином Ньютона........................61.4. Интерполяция сплайнами ..............................................92. ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНО-КОРРЕЛЯЦИОННЫХМЕТОДОВ АНАЛИЗА БИОМЕДИЦИНСКИХ СИГНАЛОВ….162.1 Спектральные оценки ЭЭГ.............................................172.2 Корреляционный анализ ЭЭГ ........................................202.3 Применение спектральной оценки для обработки.......353.

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МЕДИКОБИОЛОГИЧЕСКОЙИНФОРМАЦИИ ..............................................................................393.1 Основные понятия...........................................................393.2. Последовательность действий при картировании.......424. СТАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ ...................484.1 Общие понятия ................................................................484.2 Числовые характеристики КИГ .....................................504.3.

Статистический анализ СР ............................................525. ЭЛЕМЕНТЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ..........................565.1 Теоретическое введение .................................................565.2 Простейшие пороговые методы.....................................565.3 Структурные методы ......................................................565.4 Метод сравнения с образцом..........................................575.5 Метод на основе цифровой фильтрации .......................585.6 Алгоритм, основанный на анализе структуры .............596. WAVELET-АНАЛИЗ ..................................................................626.1 Непрерывный вейвлет-анализ ........................................636.2.

Применение вейвлет-преобразования к обработкемедицинских сигналов и изображений ...............................6731. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙПри анализе биомедицинских сигналов важно иметь возможность получения аналитического выражения, описывающего сигнал, представленный последовательностью отсчетов. Дляэтих целей используется такой математический аппарат, как интерполяция. Далее будут рассмотрены основные виды интерполяции, применяемые в медицинских системах.Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах х, не совпадающих с узловыми.

Если значение аргумента храсположено между узлами x0 и xn, то нахождение приближенного значения функции f(x) называют интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне этого интервала, топроцесс называют экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами inter - между, внутри, ро1е- узел, extra - вне.1.1. Интерполяция каноническим полиномомПусть функция f(x) задана таблицей значений, представляющей последовательность отсчетов некоего биомедицинского сигнала.Введем аппроксимирующую функцию ϕ(x, c0, c1,…, cn)так, чтобы она совпадала с табличными значениями во всех узлах xi:ϕ(x, c0, c1,...,cn)=fi , 0 ≤ i ≤ n.(1.1)Свободные параметры сi определяются из системы (1.1).Подобный способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношения (1.1) - условиями Лагранжа.Выберем в качестве аппроксимирующей функции ϕ(х) полином Рn (х) степени n в каноническом видеϕ(х) =Pn(x)=c0+c1x+c2x2+...+cnxn .(1.2)Свободными параметрами интерполяции сi являются коэффициенты полинома (1.2).

Интерполяция полиномами обла4дает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования. Коэффициентысi определим из условий ЛагранжаилиРп(хi) = fi,0≤ i≤пc0 + c1x0+c2x02+…+cnxn0 = f0,c0 + c1x1+c2x12 +…+cnxn1 = f1,c0 + c1xn + c2xn2 + …+cnxnn = fn.Эта система линейных алгебраических уравнений относительно свободных параметров сi имеет решение, так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов xi нет совпадающих. Определитель системы называется определителемВандермонда и имеет аналитическое выражение.1.2. Интерполяционный полином ЛагранжаПусть задано (n + 1) значение функции f(x) в узлах хi.

Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:nni =0j =0j ≠1Pn ( x) = ∑ fi∏x − xjxi − x j.(1.3)Старшая степень аргумента х в полиноме Лагранжа равнаn, так как каждое произведение в формуле (1.3) содержит n сомножителей х, - хi. В узлах х = хi выполняются условия Лагранжа, потому что в сумме (1.3) остается по одному слагаемому fi,остальные обращаются в нуль за счет нулевых сомножителей впроизведениях.В отличие от канонического интерполяционного полинома, для вычисления значений полинома Лагранжа не требуетсяпредварительного определения коэффициентов полинома путемрешения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента х полином (1.3) приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются толькоодин раз.

С известными коэффициентами для вычисления зна5чений канонического полинома требуется значительно меньшееколичество арифметических операций по сравнению с полиномом Лагранжа. Поэтому практическое применение полиномаЛагранжа оправдано только в случае, когда интерполяционнаяфункция вычисляется в сравнительно небольшом количестветочек х.1.3.

Интерполяционный полином НьютонаИмея табличные данные, построим интерполяционныйполином степени п в виде, предложенном НьютономРn(x)=А0+А1(х–x0)+А2(х–x0)(х–x1)+⋅⋅⋅+Аn(х-xо)(х-х1)...(х-xn-1). (1.4)Равносильный вариант полинома можно записать присимметричной перенумерации узлов исходной таблицы узлов и→ n, 1 ←→ n-1, 2 ←→ n-2,...значений функции 0 ←Pn(x)=Bn+Bn-1(x-xn)+Bn-2(x-xn)(x-xn-1)+…+B0(x-xn)(x-xn-1)(x-x1). (1.5)Коэффициенты полиномов (1.4) и (1.5) определяются изусловий ЛагранжаPn(ХI) = fi ,0 ≤ i ≤ n.(1.6)Полагаем х = x0, тогда в формуле (1.4) все слагаемые,кроме А0, обращаются в нуль, следовательноА 0 = f0.(1.7)Затем полагаем x=x1, тогда по условию (1.6) имеемf0 +A1(x1 – x0) = f 1,откуда находим коэффициентA1 =f 0 − f1= f 01 ,x 0 − x1(1.8)который называется разделенной разностью первого порядка.6Величина f01 близка к первой производной функции f(x)при малом расстоянии между узлами x0 и x1.При x=x2 полином (1.4) принимает значениеPn (x2)=f0 +f01 (x2-x0)+A2(x2-x0)(x2-x1),из условия Лагранжа (1.6) находимf 01 − f 02= fx1 − x 2A2 =,012(1.9)гдеf 02 =f0 − f2.x0 − x 2Величина f 012 называется разделенной разностью второгопорядка, которая при близком расположении x0, x1, x2 будет пропорциональна второй производной функции f(x).

Аналогичнымобразом при x = x3 находим коэффициент полинома НьютонаfA3 =− f 013= fx 2 − x30120123,(1.10)гдеf 013 =f 01 − f 03, f 03 =x1 − x3f0 − f3x 0 − x3.Для коэффициента Ak методом математической индукциизапишем следующее выражение:Ak =f− f 01...k.x k −1 − x k01... k −1Полученные результаты сведем в табл. 1.7(1.11)Таблица 1xx0x1F(x)f0f11x2f2f 02x3f3f 03x4f4f 04 =2f 0 − f1x0 − x1f − f2= 0x0 − x 2f − f3= 0x0 − x3f012ff0 − f4x0 − x 4f34f 01 ==f 01 − f 02x1 − x 2013=f 01 − f 03x1 − x3f0123=f 012 − f 013x 2 − x3014=f 01 − f 04x1 − x4f0124=f 012 − f 014x2 − x4f01234=f 0123 − f 0124x3 − x 4Для построения интерполяционного полинома Ньютонаиспользуются только диагональные элементы приведенной таблицы, остальные элементы являются промежуточными данными. Поэтому в программе, реализующей вычисление коэффициента полинома, разделенные разности для экономии памятиразместим в массиве, где первоначально хранились значенияфункции f(x) в узлах.

Этот массив будет частично обновлятьсяпри вычислении разделенных разностей очередного порядка.Так, при вычислении разностей первого порядка элемент остается неизвестным (коэффициент А0 (1.7)), элемент f1 заменяетсяна f01 (коэффициент A1 (1.9)), f2 - на f02 и т.д. При вычисленииразделенных разностей второго порядка первые два элементамассива fi, где размещены коэффициенты А0 и А1 полинома, оставляем неизменными, остальные элементы заменяем разделенными разностями.Таким образом, после вычисления все коэффициенты полинома Ньютона будут размещены последовательно в массивеузловых значений функции f(x).Заметим, что добавление новых узлов в табл. 1 не изменитуже вычисленных коэффициентов, таблица будет дополненановыми строками и столбцами разделенных разностей.После определения коэффициентов полинома Ньютонавычисление его значений при конкретных аргументах х наиболее экономично проводить по схеме Горнера, получаемой пу8тем последовательного вынесения за скобки множителей (х-хi) вформуле (1.4)Pn ( x) = f 0 + ( x − x0 )( f 01 + ( x − x1 )( f 012 + ( x − x 2 ) ( f 0123 + ...)...).

(1.12)В отличие от алгоритма вычисления полинома Лагранжа,при интерполяции полиномом Ньютона удается разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента х. Аналогичное разделение задач происходит при интерполяции каноническим полиномом (подразд. 1.1).1.4.

Интерполяция сплайнамиПолиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так,например, при представлении полиномами резонансных кривыхколебательных систем большая погрешность возникает на концах ("крыльях") этих кривых. Несмотря на выполнение условийЛагранжа в узлах, интерполяционная функция может иметьзначительное отклонение от аппроксимируемой кривой междуузлами. При этом повышение степени интерполяционного полинома приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

Возникает так называемое явление волнистости.Для проведения гладких кривых через узловые значенияфункции чертежники используют упругую металлическую линейку, совмещая ее с узловыми точками. Математическая теория подобной аппроксимации развита за последние двадцатьлет и называется теорией сплайн-функций (от английского слова spline - рейка, линейка). Разработано и обширное программное обеспечение для практического применения сплайнов вразличных областях науки и техники.Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интерполяции кубическими сплайнами. Используя законыупругости, можно установить, что недеформируемая линейкамежду соседними узлами проходит по линии, удовлетворяющейуравнению9ϕ (IV) (х) = 0 .(1.13)Функцию ϕ(х) будем использовать для аппроксимации зависимости f(x), заданной в узлах хо, х1..., хn значениями f0, f1,..., fn.Если в качестве функции ϕ(x) выбрать полином, то в соответствии с уравнением (1.13) степень полинома должна быть невыше третьей.