14 (Лунёва)

Семестр 3. Лекция 141Лекция 14. Дифракция света.Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Векторная диаграмма.Дифракция от круглого отверстия и круглого диска. Дифракция Фраунгофераот щели. Предельный переход от волновой оптики к геометрической.Дифракция – это явление отклонения от прямолинейного распространениясвета, если оно не может быть следствием отражения, преломления или изгибаниясветовых лучей, вызванным пространственным изменением показателя преломления. При этом отклонение от законов геометрической оптики тем меньше, чемменьше длина волны света.Замечание.

Между дифракцией и интерференцией нет принципиального различия. Оба явления сопровождаются перераспределением светового потока в результате суперпозиции волн.Примером дифракции может служить явление при падении света на непрозрачную перегородку с отверстием. В этом случае на экране за перегородкой вобласти границы геометрической тени наблюдается дифракционная картина.Принято различать два вида дифракции.

В случае, когда падающую на перегородку волну можно описать системой параллельных друг другу лучей (например, когда источник света находится достаточно далеко), то говорят о дифракцииФраунгофера или дифракции в параллельных лучах. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля или дифракции в расходящихся лучах.При описании явлений дифракции необходимо решить систему уравненийМаксвелла с соответствующими граничными и начальными условиями. Однаконахождение такого решения в большинстве случаев является весьма затруднительным.

Поэтому в оптике часто применяют приближённые методы, основанныена принципе Гюйгенса в обобщённой формулировке Френеля или Кирхгофа.Принцип Гюйгенса.Формулировка принципа Гюйгенса. Каждая точка среды, до которой в некоторый момент времени t дошло волновое движение, служит источником вторичных волн.

Огибающая этих волн даёт положение фронта волны в следующийСеместр 3. Лекция 142близкий момент времени t+dt. Радиусы вторичных волн равны произведениюфазовой скорости света на интервал времени: r  v  dt .Иллюстрация этого принци-Вторичныепа на примере волны, падающейволнына непрозрачную перегородку сотверстием, показывает, что волнаГраницыпроникает в область геометриче-геометрическойской тени. Это является проявле-тенинием дифракции.

Однако принципФронт волныГюйгенса не даёт оценок интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях.Принцип Гюйгенса-Френеля.Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференциивторичных волн. По амплитудам вторичных волн с учётом их фаз можно найтиамплитуду результирующей волны в любой точке пространства.Каждый малый элемент волновой поверхности является источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS и уравнение которой вдоль луча имеет вид:dA  K    a0 dScos  t  kr    ,rгде a0 - коэффициент, пропорциональный амплитуде колебаний точек на волновой поверхности dS, K    - коэффициент, зависящий от угла  между лучом ивектором dS , и такой, что при   0 он принимает максимальное значение, а при- минимальное (близкое к нулю).2Результирующее колебание в некоторой точке наблюдения Р тогда определяется аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля, которое вывелКирхгоф:AP   K    Sa0cos  t  kr    dS .rСеместр 3.

Лекция 143Интеграл берётся по волновой поверхноdSсти, зафиксированной в некоторый момент времени. Для свободно распростра-лучняющейся волны значение интеграла независит от выбора поверхности интегрирования S.Явное вычисление по этой формуледовольно трудоёмкая процедура, поэтому на практике можно применять приближённые методы нахождения этого интеграла.Для нахождения амплитудыb+4 (/2)колебаний в точке наблюдения Pзона № 4зона № 3b+3(/2)всю волновую поверхность S можноb+3разбить на участки или зоны Френе-зона № 2b+2(/2)зона № 1b+/2ля. Предположим, что мы наблюдаем дифракцию в расходящихся лу-и т.д.чах (дифракцию Френеля), т.е.

расLPOaсматриваем сферическую волну,распространяющуюся от некоторогоrmисточника L. Пусть волна распроhmaстраняется в вакууме.bЗафиксируем волновую поверхность в некоторый момент вре-мени t. Пусть радиус этой поверхности равен a. Линия LP пересекает эту поверхность в точке О. Предположим, что расстояние между точками О и Р равно b.2От точки Р последовательно откладываем сферы, радиусы которых Rm  b  m .Две соседние сферы «отсекают» на волновой поверхности кольцевые участки, называемые зонами Френеля.

(Как известно, две сферы пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной прямой, на которой лежат центрыэтих сфер). Найдём расстояние от точки О до границы зоны с номером m. ПустьСеместр 3. Лекция 144радиус внешней границы зоны Френеля равен rm. Т.к. радиус волновой поверхности равен a , тоrm2  a 2   a  hm   2ahm  hm2 .22При этом одновременно, r   b  m    b  hm   mb   m   2bhm  hm2 .2 2222m mb   m 2 2 .Поэтому 2ahm  hm2  mb   m   2bhm  hm2 , откуда hm 2 a  b 22Для длин волн видимого диапазона и не очень больших значений номеров mможно пренебречь слагаемым  m  2случае hm 2по сравнению с m. Следовательно, в этомmb, и для квадрата радиуса получаем выражение:2  a  b2 mb mbr  2ahm  h  2a  , в котором опять можно пренебречь последним2  a  b   2  a  b  2m2mслагаемым.

Тогда радиус m-й зоны Френеля (для дифракции в расходящихся лучах):rm  mab. a  bСледствие. Для дифракции в параллельных лучах (дифракции Фраунгофера) радиус зон Френеля получается предельных переходом a:rm  mb .Теперь сравним площади зон Френеля. Площадь сегмента сферической поверхности, лежащей внутри m-й зоны, как известно, равна: S  m   2ahm . Зона сномером m заключена между границами зон с номерами m и m-1. Поэтому еёплощадь равна:22   mb   m   m  1 b    m  1  2  2 .S m  S  m   S  m  1  2a  hm  hm 1   2a  2 a  b2a  bСеместр 3. Лекция 1452 b2m1   2  .После преобразований выражение примет вид: Sm  2a 2 a  bЕсли пренебречь величиной 2m  1   2 , то из выражения 2 a  b  2 Sm abследует, a  bчто при небольших номерах площадь зон не зависит от номера m.Нахождение результирующей амплитуды в точке наблюдения Р производится следующим образом.

Т.к. излучаемые вторичные волны являются когерентными и расстояния от соседних границ до точки Р отличаются на половину длиныволны, то разность фаз колебаний от вторичных источников на этих границах,приходящих в точку Р, равна  (как говорят, колебания приходят в противофазе). Аналогично, для любой точки какой-нибудь зоны обязательно найдётся точкав соседней зоне, колебания от которой приходят в точку Р в противофазе.

Величина амплитуды волнового вектора пропорциональна величине площади зоны:APK    Sm . Но площади зон одинаковые, а с ростом номера m возрастает угол ,поэтому величина K    убывает. Поэтому можно записать упорядоченную последовательность амплитуд: A1  A2  A3  ...  Am1  Am  Am1  ...

. На амплитудно векторной диаграмме с учётом разности фаз эта последовательность изображаетсяпротивоположно направленными векторами, поэтомузона № 1b + nb+3b+2b+A1.3A1.2OPзона № 1.1зона № 1.2зона № 1.3зона № 1.n и т.д.A1.1A1.Семестр 3. Лекция 146AP  A1  A2  A3  ...  Am 1Am  Am 1 ...Разобьём первую зону на большое количество N внутренних зон таким же,как и выше, образом, но теперь расстояния от границ двух соседних внутреннихзон до точки Р будут отличаться на малую величину  2.

Поэтому разностьNфаз волн, приходящих в точку Р, будет равна малой величине   k L 2 . Наамплитудно-векторной диаграмме вектор амплитуды от каждой из внутреннихзон будет повёрнут на малый угол  относительно предыдущего, поэтому амплитуде суммарного колебания от нескольких первых внутренних зон будет соответствовать вектор A1. , соединяющий начало и конец ломаной линии. При увеличении номера внутренней зоны суммарная разность фаз будет нарастать и на границе первой зоны станет равной . Это означает, что вектор амплитуды от последней внутренней зоны A1.N направлен противоположно вектору амплитуды отпервой внутренней зоны A1.1 . В пределе бесконечно большого числа внутреннихзон эта ломаная линия перейдет в часть спирали.Амплитуде колебаний от перA1A3вой зоны Френеля тогда будетFAA2соответствовать вектор A1 , отдвух зон - A2 и т.д.