Методичка по дз (МУ к выполнению ДЗ), страница 7

Сопротивлениеперемычки равно R , поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0 .Рис. 3.9Сверху шины замкнуты электрической цепью, содержащей индуктивность L в соответствиис рис. 3.9. Расстояние l между шинами является постоянной величиной. Система находится воднородном переменном магнитном поле с индукцией B z (t ) = c exp( − mt ) , перпендикулярномплоскости, в которой перемещается перемычка, а параметры c и m в законе изменения индукции магнитного поля являются постоянными положительными величинами. Сопротивлениешин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток I черезперемычку в начальный момент времени равен нулю.Найти:– закон изменения электрического тока во времени I (t );– закон изменения напряженности электрического поля E (t ) в перемычке;– силу Fy (t ), действующую на перемычку, необходимую для обеспечения заданного законадвижения;– связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующейна электроны в перемычке.Рис.

3.10Решение. Выберем направление единичной нормали n так, чтобы n ↑↑ B , тогда поток вектора B будет положительным (рис. 3.10). Поток вектора B сквозь поверхность, натянутую на контур аLба, равен Φ = ( B , n ) ly . ЭДС индукции, обусловленная изменением этого потока, в соответствии с законом ФарадеяEi = −dΦd= − [ B z (t ) y (t ) l ] .dtdt(3.34)Направление обхода рассматриваемого контура аLба согласуем с выбранным направлениемвектора нормали n правилом правого винта.

Тогда уравнение Кирхгофа (3.11) применительно кданной задаче примет видEi −LdI= IR.dt(3.35)Следует отметить, что в соотношении (3.35) ток I положительный, поскольку выбран так,что его направление совпадает с направлением обхода контура аLба (см. рис. 3.10). Так как вусловии задачи заданы закон движения перемычки y (t ) = a exp( − nt ) и закон изменения магнитного поля B z (t ) = c exp( − mt ) , значение ЭДС индукции в соответствии с законом (3.1) равноE i = a l c ( m + n) exp[ −( m + n)t ].(3.36)Тогда для тока I (t ) , протекающего в контуре аLба, с учетом выражения (3.36) для Ei получаем неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием I (0) = 0 :LdI+ IR = a l c(m + n) exp[−( m + n)t ].dt(3.37)При решении однородного уравнения (3.37) воспользуемся методом Лагранжа.

Запишем эторешение в форме R I (t ) = A(t ) exp  − t  . (3.38) L Подставим (3.38) в исходное уравнение (3.37) и найдем значение A(t ) :A (t ) = Ral c ( m + n ) exp   − ( m + n )  t  + D .R − (m + n) L  LТогда общее решение уравнения (3.37) примет вид R  a lc ( m + n )I (t ) = D exp  − t  +exp{[ − ( m + n )]t} .

(3.39) L  R − ( m + n) LВ этом выражении значение константы D определим из начального условия I (0) = 0 :D=−a lc(m + n).R − ( m + n) LЧастное решение уравнения (3.37) с нулевым начальным условием имеет видI (t ) =alc ( m + n )  R  exp [ − ( m + n )t ] − exp  − t  ( R − (m + n) L )  L (3.40)Динамическое уравнение движения перемычки в проекции на ось Oy (аналог уравнения(3.20)) в рассматриваемом случае выглядит следующим образом:Mdυ ydt= Mg + I l Bz + Fy (t ),(3.41)где I (t ) определяется зависимостью (3.40), а Fy (t ) — проекция на ось Oу управляющей силы,действующей на перемычку.

Из заданного в условиях задачи закона движения перемычки найдем производную по времени от проекции на ось Oy скорости перемычки:dυ ydt= an 2 exp( − nt ) .Тогда проекция управляющей силы Fy (t ) из уравнения (3.41) с учетом последнего соотношениябудет равнаFy (t ) = M a n 2 exp(− nt ) − Mg − I l Bz = M a n 2 exp(− nt ) − Mg − Rc 2 al 2 (m + n)  exp [ −(2m + n)t ] − exp  − − m  t  R − ( m + n) L   LПлотность тока в перемычке определяется зависимостьюj=I (t ),S(3.42)где S — площадь поперечного сечения проводника.Напряженность электрического поля в перемычке определяем из закона Ома в дифференциальной формеE=j= jρ уд ,σ(3.43)где ρуд — удельное сопротивление медной перемычки (справочное значение, см.

[6]).Среднюю скорость 〈u 〉 направленного движения электрических зарядов, образующих электрический ток, находим из уравненияj = e n0 〈u 〉 ,где e — модуль заряда электрона; n0 — объемная концентрация носителей заряда. В этомслучае справедливо соотношение〈u 〉 =j,e n0(3.44)где плотность тока j в перемычке определена зависимостью (3.42), модуль заряда электронаe = 1, 6 ⋅10−19 Кл. Тогда полная скорость носителей зарядов (электронов)υ = 〈u 〉 + υ п ,где υп — скорость движения перемычки, при этомυп y = dy / dt = −an exp(−nt )— проекция скорости движения перемычки на ось Oy.Сила Лоренца, которая действует на заряд, определяющий электрический ток, имеет вид Fл = e [υ × B ] = e [( 〈 u 〉 + υ п ) × B ] = e [ 〈 u 〉 × B ] + e [υ п × B ](3.45)Отметим, что векторы первого и второго слагаемых в соотношении (3.45) взаимно перпендикулярны.

ТогдаFл = e ([〈u 〉 × B ])2 + ([υп × B ]) 2 .Сила Лоренца, действующая на все носители зарядов,F * = Fл S l n0 = S l n0 e [〈u 〉 × B] 2 + [υп × B]) 2 .Сила Ампера, действующая на перемычку,Fa = I l Bz .(3.46)Отношение этих сил с учетом соотношений I = jS , j = n0 e 〈u〉 после соответствующих преобразований равноFa=F * S l n0 en0 e 〈u 〉 SlBzI l Bz = 2 2 = S l n0 e [〈u 〉 × B ]2 + [υп × B ]2[〈u 〉 × B] + [υп × B ]1υ 1+  п u 2≤1В рассмотренных задачах закон электромагнитной индукции играет существенную роль.Электродинамическое уравнение (второй закон Кирхгофа), полученное с помощью этого закона, входит в общую замкнутую систему дифференциальных уравнений.

Учет начальных условий позволяет найти единственное решение поставленной задачи, обладающее физическимсмыслом.ПРИЛОЖЕНИЕОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ grad, div, rot, ∇ 2Ортогональная криволинейная система координат ( x1 , x2 , x3 ):gradU =div A =1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U e1 +e2 +e3 ,h1 ∂x1h 2 ∂x2h 3 ∂x31  ∂∂∂(h2 h3 Ax1 ) +(h1h3 Ax2 ) +(h1h2 Ax3 )  ,h1h2 h 3  ∂x1∂x2∂x3rot A =1h1h2 h3h1e1∂∂x1h2e2∂∂x2h3e3∂,∂x3h1 Ax1h2 Ax2h3 Ax31  ∂  h2 h3 ∂U  ∂  h1h3 ∂U  ∂++h1h2 h3  ∂x1  h1 ∂x1  ∂x2  h2 ∂x2  ∂x3Здесь U — скалярная функция; A{ Ax1 , Ax2 , Ax3 } — вектор-функция;∇ 2U =(П.1)(П.2)(П.3) h1h2 ∂U   . h3 ∂x3  (П.4) (e1 , e2 , e3 ) — единичные ба-зисные векторы; (h1 , h2 , h3 ) — метрические элементы (коэффициенты Ламе).Прямоугольные координаты:x1 = x, x2 = y, x3 = z; h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1; e1 = i ; e2 = j ; e3 = k .(П.5)x1 = r , x2 = ϕ, x3 = z; h1 = 1, h2 = r , h3 = 1; e1 = er ; e2 = eϕ ; e3 = ez .(П.6)Цилиндрические координаты:Связь с прямоугольными координатами:x = R cos ϕ;y = r sin ϕ; z = z.Координатные поверхности:цилиндры r = const, плоскости ϕ = const,плоскости z = const .Сферические координаты:x1 = r , x2 = θ, x3 = ϕ; h1 = 1, h2 = r , h3 = r sin θ; e1 = er ; e2 = eθ ; e3 = eϕ .(П.7)Связь с прямоугольными координатами:x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Координатные поверхности:концентрические сферы r = const, плоскости ϕ = const,конусы θ = const .ЛИТЕРАТУРА1.

Иродов И.Е. Электромагнетизм. М.: Физматлит, 2000.2. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 3: Электричество. М.: Физматлит, 1996.3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш. шк., 2000.4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.5. Савельев И.В. Курс общей физики: В 5 т. Т. 4: Электричество. М.: Физматлит, 1998.6. Физические величины: Справ.

/ Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихова. М.: Энергоатомиздат, 1991..