Методичка по дз (МУ к выполнению ДЗ), страница 6

Во времядвижения перемычка остается параллельной самой себе и перпендикулярной направляющимшинам. В цепи содержится источник тока с ЭДС E и ключ К, который при его включении замыкает электрическую цепь. Вектор индукции B магнитного поля перпендикулярен плоскостирисунка. Параметры электрической цепи приведены на рис. 3.7. Расстояние между шинамиравно постоянной величине l.

Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а такжесамоиндукция контура пренебрежимо малы. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушки пренебречь.Найти закон изменения скорости движения перемычки при условии, что скорость движенияперемычки и ток через перемычку в начальный момент времени равны нулю. Перемычка приходит в движение с одновременным замыканием ключа К.Решение. Для определения потока Ф вектора магнитной индукции B через плоскую поверхность, ограниченную рассматриваемой цепью, выберем из соображений удобства расчетовнаправление вектора нормали n к плоскости рисунка так, чтобы оно совпадало с направлениемвектора индукции магнитного поля n ↑↑ B (тогда поток вектора B будет положительным).Рис.

3.7Рассмотрим два независимых контура аСба и аLба (рис. 3.8). Потоки вектора B через пло-ские поверхности, ограниченные этими контурами, будут соответственно равны Φ1 = ( B, n )l ( y − y0 ), Φ 2 = ( B, n ) l y.Единственной величиной в этих выражениях, изменяющейся с течением времени, являетсявертикальная координата y = y(t). ЭДС индукции, обусловленные изменениями этих потоков, всоответствии с законом Фарадея равныE i1 = −d Φ1dy= − Bl= − Blυ y ,dtdt(3.13)Ei2 = −dΦ2dy= − Bl= − Blυ y ,dtdt(3.14)где υy — проекция скорости перемычки на ось Oy.Рис. 3.8Направления обхода указанных контуров аСба и аLба согласуем с выбранным направлением вектора нормали n правилом правого винта. Тогда уравнения Кирхгофа (3.11) принимаютвид:для контура аСбаEi1 – E = + q/C;(3.15)Ei2 – E − L dI L / dt = 0.(3.16)для контура аLбаДля токов в контурах, например, для узла А на рис.

3.8, справедливо следующее уравнениебаланса (3.10):I = IC + I L .(3.17)Таким образом, электродинамические уравнения (3.15) – (3.17) с учетом соотношений (3.13)и (3.14), правила записи которых подробно рассмотрены в методических указаниях и теоретической части настоящего пособия, принимают вид:− B l υ y − E = + q/C;− B l υ y − E − L dI L / dt = 0;I = IC + I L .(3.18)Система уравнений (3.18) замыкается уравнением, связывающим ток IC с зарядом пластиныконденсатора q (см. рис. 3.8):I C = dq / dt(3.19)и динамическим уравнением, описывающим движение перемычки, которое в рассматриваемойзадаче имеет видmdυ ydt= mg + Fa y .(3.20)Здесь Fay — проекция на ось Oy силы Ампера (3.12), действующей на перемычку,Fa y = I l B.(3.21)Уравнения (3.18) – (3.20) сведем в систему:− B l υ y − E = + q/C;(3.22)− B l υ y − E − L dI L / dt = 0;(3.23)I = IC + I L ;(3.24)I C = dq / dt ;(3.25)mdυ ydt= mg + Fa y .(3.26)Исключив заряд q из уравнений (3.22) и (3.25), получим фактически зависимость ускоренияперемычки от мгновенного значения силы тока через конденсатор:−B ldυ ydt=+IC.CДалее, дифференцируя по времени t последнее соотношение, находим выражение для производной по времени от силы тока через конденсатор:d υydI C= −B l C 2 .dtdt(3.27)B lυy + EdI L=−.dtL(3.28)2Из уравнения (3.23) определяем dI L / dt :Дифференцируя по t уравнение (3.24) и учитывая уравнения (3.27) и (3.28), получаем:d 2υ y B l υ y + EdI dI C dI L=+= −B l C−.dtdtdtLdt 2(3.29)Дифференцируя по t уравнение (3.26), с учетом уравнения (3.21) для проекции скорости перемычки υ y получаем дифференциальное уравнение второго порядка:md 2υ ydt2=lBdI.dt(3.30)Объединив уравнения (3.29) и (3.30), получим уравнение для нахождения скорости υ y :d 2υ ydt 2+ElBB2l 2.υy = −2 2L (m + B l C )L (m + B 2 l 2 C )(3.31)Заметим, что уравнение (3.31) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающее некоторый колебательныйпроцесс.Решение уравнения (3.31) имеет видυ y (t ) = C1 cos( ω 0 t ) + C 2 sin( ω 0 t ) +где ω 02 =−E,lB(3.32)B2 l 2— квадрат частоты колебательного процесса перемычки.L (m + B 2 l 2 C )Для определения констант интегрирования C1 и C2 необходимо выписать общее решениесистемы уравнений (3.22) – (3.26), поскольку скорость движения перемычки функциональносвязана с остальными искомыми переменными физическими параметрами системы.

Соотношение (3.32) является частью общего решения системы уравнений (3.22) – (3.26). Для зависимости(3.32) очевидным условием является υy (0) = 0, поскольку движение перемычки начинается изсостояния покоя. Это условие определяет значение константы интегрирования С1:C1 =E,Blпосле чего зависимость скорости перемычки от времени приобретает видυ y (t ) =E( − 1 + cos ω0 t ) + C 2 sin ω0 t .BlИз уравнения (3.22) находим зависимость заряда конденсатора от времени:q = −EC cos ω0 t − BlCC 2 sin ω0 t .В начальный момент времени заряд конденсатора должен быть равен величине ( −EС ). Этотрезультат не должен вызывать удивления: «включение» ЭДС в отсутствие активного сопротивления в цепи конденсатора приводит к «мгновенному» установлению значения заряда последнего.

Дифференцированием установленной зависимости по уравнению (3.25) находим выражение для тока IС через конденсатор:I C = ω 0 ( E C sin ω 0 t − BlCC 2 cos ω 0 t ).В начальный момент времени значение тока через конденсатор составляетI C ( 0 ) = − ω 0 B lC C 2 .Обратим внимание на то, что постоянная интегрирования С2 оказывает влияние не только наскорость перемычки, но и на заряд конденсатора и на ток через конденсатор. Рассматривая совместно уравнения (3.22) и (3.23), получаем уравнениеdI Lq=,dtLCв котором зависимость q(t ) для любого значения t определена выше, что позволяет проинтегрировать это уравнение:IL =BlC2 cos ω0 t − E sin ω0 t+ C3 .ω0 LОбратим внимание читателя на появление еще одной постоянной интегрирования C3 . Этолегко понять, если заметить, что исходная система уравнений (3.22) – (3.26) содержит три дифференциальных уравнения первого порядка.

В начальный момент времени ток IL через катушкуиндуктивности равенBlC2+ C3 , т. е. определяется значениями двух постоянных интегрироваω0 Lния.Располагая зависимостями от времени для тока через конденсатор и тока через катушку индуктивности, по уравнению (3.24) после необходимых преобразований получаем зависимостьтока через перемычку:I =m ω0B 2l 2( BlC 2 cos ω0 t − E sin ω0 t ) + C3 .Начальное значение тока через перемычку составляетI (0) =mω0C2 + C3.BlТаким образом, все искомые переменные задачи определены в общем виде (с точностью доопределения констант интегрирования). При выводе зависимости скорости перемычки от времени пришлось дифференцировать исходное уравнение (3.26), при этом в окончательном результате исчезла постоянная величина ускорения свободного падения g.

Необходимо убедиться,что полученное решение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению дляскорости перемычки. Проверка этого условия (оно должно выполняться для произвольного момента времени) приводит к соотношениюC3 = −gm.BlИтак, постоянную интегрирования С1 мы определили единственным образом, постояннуюинтегрирования С3 также определили единственным образом. Постоянная интегрирования С2пропорциональна электрическому току через конденсатор в начальный момент времени, она жеучаствует в формировании начального тока через катушку индуктивности и, таким образом, вформировании начального тока через перемычку. Формально ее значение может быть произвольным.

Физически допустимыми являются начальные условия, позволяющие однозначно определить значение постоянной интегрирования С2.По условию задачи известно, что ток через перемычку в начальный момент времени равеннулю. Приравнивая выражение для I(0) нулю, получаемC2 =g.ω0После этого решение задачи приобретает окончательный вид:υ (t ) =gEsin ω0t − (1 − cos ω0t );ω0Bl Blgq(t ) = −C sin ω0t + E cos ω0t  ; ω0IC (t ) = C (− Blg cos ω0t + Eω0 sin ω0t );I L (t ) =I (t ) =BlgmgEcos ω0t −sin ω0t −;2Lω0BlLω0 mg(1 − LCω02 )  Blgcos ω0t − E sin ω0t  −.Lω0 ω0 BlОсобенностью рассматриваемой задачи является то, что при ее решении потребовалось установить законы изменения во времени заряда конденсатора, тока через конденсатор и тока через катушку индуктивности.

Заметим, что в практически интересных случаях задание начальных условий для параметров сложной электрической цепи может представлять определенныетрудности.Задача 3.2. По двум гладким медным шинам скользит перемычка массой М, закон движениякоторой задан функцией y (t ) = a exp( − nt ) , где а и n — постоянные величины.