Методичка по дз (МУ к выполнению ДЗ), страница 3

е. (J∫ , d l ) = I ′.(2.2)LДифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора намагниченности J :rot J = j′,(2.3)т. е. ротор вектора намагниченности J равен объемной плотности тока намагничивания j ′ втой же точке пространства. Общее выражение для оператора rot в ортогональных криволинейных системах координат приведено в приложении (формула (П.3)).Исключив в (2.1) ток I′ с помощью (2.2), сформируем вектор напряженности магнитного поля:10 BH=− J,µ0циркуляция которого по любому замкнутому контуру L зависит только от алгебраической суммы токов проводимости I, пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L:∫ ( H , d l ) = I .(2.4)LЗаметим, что воспользоваться соотношениями (2.1) и (2.4) на практике можно только в томслучае, если рассматриваемая физическая ситуация обладает достаточно высокой степенью симметрии.Если магнетик линейный и изотропный (не обязательно однородный), то имеют место зависимости для вектора намагниченности средыJ = χH ,где χ — магнитная восприимчивость вещества (не зависящая от вектора напряженности магнитного поля H ), и вектора магнитной индукции:B = µ 0 (1 + χ) H = µ 0 µH ,(2.5)где µ = χ + 1 — безразмерная величина, называемая магнитной проницаемостью магнетика.Последнее соотношение имеет место только для таких магнетиков, у которых однороднаязависимость между вектором намагниченности J и вектором H имеет линейный характер.Магнитная восприимчивость χ — безразмерная величина, характерная для каждого данногомагнетика.

В отличие от диэлектрической восприимчивости κ, которая всегда положительна,магнитная восприимчивость бывает как положительной, так и отрицательной. Соответственно,магнетики, подчиняющиеся зависимости J = χ H , подразделяют на парамагнетики (χ > 0) идиамагнетики (χ < 0) .У парамагнетиков вектор намагниченности сонаправлен вектору напряженности магнитногополя ( J ↑↑ H ), у диамагнетиков эти векторы направлены в противоположные стороны( J ↑↓ H ).

Кроме пара- и диамагнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость J ( H ) имеет весьма сложный характер: она нелинейная и, помимо этого, может описывать явле-ние гистерезиса [1].2.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Магнитостатика»В условиях предлагаемых задач задан ток проводимости I или распределение объемнойплотности j тока проводимости по поперечному сечению устройства, магнитное поле в котором подлежит исследованию. Выбирая в соответствии с видом симметрии конкретной задачиконтур, по которому вычисляется циркуляция, из соотношения (2.4) находим распределение11вектора напряженности магнитного поля H , а по соотношению (2.5) определяем распределениевектора магнитной индукции B по пространственным координатам. Вектор намагниченностиJ имеет видJ = (µ − 1) H .(2.6)В силу зависимостей (2.5) и (2.6) векторы магнитной индукции B и намагничености средыJ сонаправлены вектору напряженности магнитного поля H .

Таким образом, полевые характе-ристики магнитного поля определены.Плотность тока намагничивания j′, распределенного по объему магнетика, находим издифференциальной формы теоремы (2.3) о циркуляции вектора намагниченности J . Плотностьповерхностных токов намагничивания, текущих по поверхности раздела магнетиков, находим спомощью теоремы (2.2) о циркуляции вектора намагниченности J .

Особенности примененияэтой теоремы к решению подобных задач будут подробно рассмотрены ниже на конкретномпримере, так как выбор контура интегрирования L зависит от типа симметрии и от условий задачи.2.3. Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Магнитостатика»Задача. Проводник с током, равномерно распределенным по его поперечному сечению сплотностью j , имеет форму трубки круглого поперечного сечения, внешний и внутренний радиусы которого равны R0 и R соответственно (рис. 2.1). Магнитная проницаемость магнетиказадана зависимостью µ = f (r ) , где r — расстояние от оси трубки.Найти зависимости индукции B и напряженности H магнитного поля, а также намагниченности J среды в зависимости от радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Рис.

2.112′ на внутренней и внешнейОпределить плотность поверхностных токов намагничивания iпов′ (r ) .поверхностях трубки и распределение объемной плотности токов намагничивания jобРешение. Пусть для определенности заданы следующие зависимости:µ = µ(r ) =Rn + r n,2RnR0 3= .R 2n = 2, (2.7)(2.8)Преобразуем зависимость для магнитной проницаемости µ(r ) с учетом заданного соотношения (2.8):µ=1r2+.2 2R2(2.9)Рис.

2.2Найдем вектор напряженности H магнитного поля внутри трубки. По условию задачи векторобъемной плотности тока проводимости j параллелен оси трубки (рис. 2.2). Из симметрии задачи следует, что силовые линии вектора H в рассматриваемом случае должны иметь вид окруж-ностей с центром на оси трубки, лежащих в плоскости поперечного сечения трубки [1]. Модульвектора H должен быть одинаков во всех точках на одинаковом расстоянии r от оси трубки.

Дляопределения напряженности поля H внутри трубки воспользуемся теоремой о циркуляции вектора H (2.4): (H∫ , d l ) = ∫ ( j , d s ).LSВ качестве контура интегрирования L выбираем одну из описанных выше окружностей радиусом rа ∈ ( R ; R0 ) , в каждой точке которой вектор H касателен к ней. Направления вектора j ивектора единичной нормали n к плоскости, ограниченной контуром L, совпадают, причем на13правление n связано с направлением обхода по контуру (на рис.

2.2 показано дугой со стрелкой) правилом правого винта. По теореме о циркуляции вектора H для контура L получаем:H 2πra = j (πra 2 − πR 2 ) ,откуда, опуская индекс a (так как радиус ra выбран произвольно, последнее соотношение справедливо для любого значения радиуса R < r < R0 ), для напряженности магнитного поля H получаемH=j (r 2 − R 2 ),2rR < r < R0 .(2.10)Заметим, что магнитное поле внутри трубки при r < R отсутствует, а снаружи при r > R0напряженность магнитного поля H определяется зависимостьюH=5 jR 2,8rr > R0 ,(2.11)что также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора H .

Отметим, что при переходе через границу r = R0 напряженность магнитного поля H не испытывает скачка: по условию задачи на боковых поверхностях трубки поверхностные токи проводимости отсутствуют.Определим модуль вектора магнитной индукции B по соотношению (2.5) с учетом зависимостей (2.10) для H и (2.7) для магнитной проницаемости µ(r ) магнетика:µ 0 j(r 4 − R 4 )B = µµ 0 H =,4R 2rR < r < R0 .(2.12)В рассматриваемой задаче магнетик неоднородный, но линейный и изотропный, поэтомусоотношение J = χ H , где χ — магнитная восприимчивость вещества, остается справедливым.Итак, значение магнитной индукции B внутри трубки при R < r < R0 определяется соотношением (2.12), а снаружи при r > R0 зависимость магнитной индукции от радиальной координатыB (r ) принимает видB = µ0 H =5µ0 jR 2.8rНайдем модуль вектора намагниченности J при R < r < R0 по соотношению (2.6):J = χH = (µ − 1) H =j (r 2 − R 2 ) 2.4R2r(2.13)Намагниченность J снаружи трубки при r > R0 равна нулю, так как в этой области магнетикотсутствует и χ = 0 .

Внутри трубки при r < R намагниченность J равна нулю по той же причине. Ориентация векторов H , B и J в пространстве показана на рис. 2.2.14Таким образом, полевые характеристики магнитного поля внутри трубки при R < r < R0 иснаружи при r > R0 определены, а при r < R магнитное поле отсутствует.Плотность тока намагничивания j ′ , распределенного по объему магнетика, найдем, используя дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора намагниченности J (2.3):rot J = j′,а выражение для оператора rot применительно к цилиндрическим координатам выпишем изприложения:∂ ( rJ )   ∂J r ∂J z  1  ∂ ( rJ ϕ ) ∂J r−− er +  eϕ + ∂r r  ∂r∂ϕ ∂zϕrot J = 1  ∂J z −r  ∂ϕ∂zНесложно заметить, что в рассматриваемом примере J r = J z = 0 и ez .∂J ϕ∂z(2.14)= 0 , поэтому в пра-вой части формулы (2.14) только в составляющей по оси Оz остается первое слагаемое1 ∂ ( rJ ϕ )(rot J ) z = ( j ′) z =.r ∂rПодставляя в последнее соотношение зависимость проекции вектора намагниченности среды J ϕ от радиальной координаты по формуле (2.13) и выполняя соответствующие операции,для проекции вектора плотности тока намагничивания ( j′) z получим:1 ∂  j (r 2 − R 2 ) 2   r 2( j′) z =r =  2 − 1  j.2r dr 4R r   R(2.15)Следует заметить, что правая часть (2.15) в области R < r < R0 является величиной положительной и для рассматриваемого случая, если J ↑↑ H (для парамагнетика), векторы плотноститока проводимости j и объемной плотности тока намагничивания j ′ совпадают по направлению.Для определения линейной плотности поверхностных токов намагничивания воспользуемсятеоремой о циркуляции вектора намагниченности J (2.2):∫ ( J , dl ) = I ′.L15Рис.

2.3Примéним теорему о циркуляции вектора J к бесконечно малому контуру ABCD (рис. 2.3),плоскость которого перпендикулярна оси Oz, т. е. контур лежит в плоскости поперечного сечения цилиндрической поверхности. Криволинейные отрезки контура AB и CD представляют собой дуги окружностей с радиусами R0+ и R0− , а прямолинейные отрезки BC и DA контура пренебрежимо малы по сравнению с отрезками AB и CD. Тогда в правой части соотношения (2.2)при вычислении тока намагничивания I′, который пронизывает элементарную площадку, ограниченную этим контуром, можно не учитывать ток, распределенный по объему магнетика, поскольку его вклад в I′ пренебрежимо мал, а рассматривать только поверхностный ток намагни′ .

По этой же причинечивания, вектор линейной плотности которого обозначим iпов(в общем случае) можно пренебречь вкладом в циркуляцию вектора J по боковым сторонам BC и DA (а в условиях нашей конкретной задачиBC ∫ ( J , dl ) = ∫ ( J , dl ) = 0— еще и по причине ор-DAтогональности векторов J и dl в каждой точке отрезков BC и DA контура).Учитывая значимость данного вопроса, целесообразно подробно проанализировать ориентацию единичных векторов нормали и касательных направлений на поверхности раздела магнетиков для описываемой задачи (см. рис. 2.3). На рисунке введены следующие обозначения: N— единичный вектор нормали к элементу поверхности раздела двух магнетиков (в рассматриваемой задаче это поверхность раздела «магнетик — вакуум») в окрестности точки наблюденияМ, t — единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности раздела в точке16наблюдения; единичный вектор ν также лежит в этой касательной плоскости и является ортогональным к вектору нормали N и выбранному касательному направлению — вектору t .