Методичка по дз (МУ к выполнению ДЗ), страница 2

Воспользуемся теоремой Гаусса (1.6): (D∫ , d s ) = q.SРассматриваемая задача обладает сферической симметрией, поэтому в качестве поверхностиинтегрирования S выбираем сферическую поверхность с произвольным радиусом R < r < R0 ицентром в начале координат, которая на рис. 1.2 изображена пунктиром.5Рис. 1.2Так как поле вектора D сферически симметрично, в каждой точке поверхности S направление вектора D совпадает с направлением радиус-вектора r точки наблюдения (точка А на рис.1.2) и направлением внешней нормали n к элементу ds поверхности S; заметим также, что модуль вектора D в каждой точке выбранной произвольной поверхности S является постояннойвеличиной.

Поэтому из интегральной формулировки теоремы Гаусса (1.6) для вектора D ∫ ( D, d s ) = ∫ Dn ds = q,SSгде ds = r 2 sin θ d θ d ϕ = r 2 d Ω ( dΩ — элемент телесного угла, под которым из начала координатвиден элемент поверхности ds),с учетом Dn = D(r ) и S = r 2Ω = r 2 4π . Вынося D(r ) из под знака интеграла и выполняя интегрирование, получаемD(r )4π r 2 = q.Зависимость D(r ) определена:D(r ) =q,4π r 2R < r < R0 .(1.19)Найдем зависимость напряженности E (r ) электростатического поля между обкладкамиконденсатора.

Связь напряженности и электрического смещения для изотропных и линейныхдиэлектриков имеет вид (1.9)D = ε0ε E ,откудаE (r ) =D (r )q.=ε0ε4π r 2ε0εС учетом соотношения (1.18) для диэлектрической проницаемости среды ε(r ) зависимостьE (r ) можно записать так:6E (r ) =q (82 R 4 − r 4 ),324 πε 0 R 4 r 2R < r < R0 .(1.20)Найдем зависимость поляризованности среды P (r ) между обкладками конденсатора. Длялинейных и изотропных диэлектриков связь между векторами P и E имеет вид (1.8):P = ε0 κE ,откуда с учетом зависимости напряженности электростатического поля от радиальной координаты (1.20) получаем распределение поляризованности среды P(r ) между обкладками конденсатора:P (r ) =q(r 4 − R 4 ),324 π R 4 r 2R < r < R0 .(1.21)Заметим, что направление вектора поляризованности среды P совпадает с направлениемрадиус-вектора r , откуда следует, что тангенциальные проекции вектора P обращаются в нуль( Pθ = 0, Pϕ = 0 ), а радиальная проекция Pr (r ) определена зависимостью (1.21).Рассмотрим вопрос об определении поверхностной плотности связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика, расположенного между обкладками конденсатора.

Под действием электрического поля, созданного сторонними зарядамиq и –q, находящимися на обкладках конденсатора, диэлектрик поляризуется, и в результате поляризации на его внутренней и внешней поверхностях появляются связанные заряды. Вопрос овозникновении объемных связанных зарядов рассмотрим ниже.Для определения поверхностной плотности связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика, расположенного между обкладками конденсатора,воспользуемся соотношением (1.13).

В рассматриваемой задаче на внутренней поверхности диэлектрика (обозначим ее индексом 1) векторы P1 ( R + ) и n1 в любой точке поверхности направлены противоположно (см. рис. 1.2), и знак поляризационного заряда отрицательный, что естественно согласуется с механизмом поляризации диэлектрика. В этом примере для заданнойзависимости ε(r ) имеем ( P1 ( R + ) )n = 0, откуда следует, что поверхностная плотность связанных1зарядов равна нулю: σ1′ = 0 . На внешней поверхности 2 диэлектрика векторы P1 ( R0− ) и n2 в любой точке поверхности сонаправлены, поэтому знак проекции ( P1 ( R0− ) )n положительный и по2верхностная плотность связанных зарядов отлична от нуля:σ′2 = ( P1 ( R0− ) ) =n220q.729πR 2(1.22)7Для нахождения объемной плотности ρ′ связанных зарядов внутри сферического слоя диэлектрика между пластинами конденсатора воспользуемся теоремой Гаусса (1.4) для поля вектора P в дифференциальной форме:div P = −ρ′,т.

е. дивергенция поля вектора P равна взятой с обратным знаком объемной плотности ρ′ избыточного связанного заряда в той же точке.В рассматриваемой задаче между обкладками конденсатора находится изотропный, но неоднородный диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону (1.18):ε( r ) =81R 4,82 R 4 − r 4где r — расстояние от центра сфер. Заметим, что вектор поляризованности среды P имеетединственную отличную от нуля компоненту Pr , которая зависит только от радиальной координаты r.

В этих условиях естественно ожидать, что и объемная плотность связанного зарядавнутри слоя диэлектрика также будет функцией только радиальной координаты r.Для расчета объемной плотности связанных зарядов ρ′ с помощью теоремы (1.4) воспользуемся выражением (П.2) из приложения для оператора div применительно к сферическим координатам:div P =1 ∂ 21 ∂1 ∂Pϕ(r Pr ) +( Pθ sin θ) +.2r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕ(1.23)Из соображений симметрии ясно, что поляризованность диэлектрика в данном случае имееттолько одну радиальную компоненту и зависит только от радиальной координаты и не зависитот угловых координат, и это подтверждено результатами расчетов (1.21), поэтому в правой части выражения (1.23) остается только первое слагаемое:div P =1 ∂ 2(r Pr ) .r 2 ∂r(1.24)При вычислении производной в правой части соотношения (1.24) учтем, что Pr (r ) = P(r ), азависимость P(r ) определена соотношением (1.21).

Тогда для дивергенции вектора поляризованности среды имеемdiv P =qr,81π R 4откуда в соответствии с (1.4) для объемной плотности связанных зарядов ρ′ получаемρ′(r ) = −qr.81π R 4(1.25)8Выполним проверку полученных результатов. Для этого найдем суммарный связанный заряд диэлектрика по зависимости (1.14), используя при расчетах найденные соотношения (1.22)и (1.25) для поверхностной σ′(r ) и объемной ρ′(r ) плотностей связанного заряда:R0qr q′ = ∫  −4π r 2 dr + ∫4 81πRR s 20q ds.2  729πR (1.26)В (1.26) первое слагаемое в правой части учитывает суммарный связанный заряд, распределенный по объему диэлектрика, а второе — суммарный связанный заряд, распределенный с постоянной поверхностной плотностью σ′2 по внешней сферической поверхности диэлектрика срадиусом R0 = 3R .

Здесь также учтено, что на внутренней поверхности диэлектрика в даннойзадаче связанный заряд отсутствует.Проведем расчет по формуле (1.26):q   (3R )4 R 4 20qq′ =  −4π −4π(3R) 2 = 0 .+4 24  729πR 81πR   4Отсюда следует, что зависимости E(r), D(r), P(r), σ1′ (r), σ′2 (r), ρ′(r) найдены верно.Найдем емкость С сферического конденсатора с радиусами обкладок R и R0 .

Согласно определению емкости конденсатора ( C = q / U ), задача сводится к определению разности потенциалов U при заданном заряде q:R0U = ϕ( R ) − ϕ( R0 ) = ∫ Er (r )dr.(1.27)RЗдесь предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0 , а путь интегрирования можетбыть любым, поэтому мы выбираем самый простой и удобный путь — по радиальной координате. Легко заметить, что радиальная проекция вектора напряженности электрического поляEr (r ) = E (r ) является единственной проекцией вектора напряженности электростатического по-ля, а зависимость E (r ) определена соотношением (1.20). После подстановки зависимости (1.20)для E (r ) в соотношение (1.27) и соответствующего интегрирования находим напряжение между обкладками конденсатора и его емкость:U=23q;162πε0 RC=162πε0 R.23(1.28)Полученное значение емкости С сферического конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношению (1.16):CU 2= ∫ wdV ,2Vгде CU 2 / 2 — энергия заряженного конденсатора, а в правой части — эта же величина, запи санная через полевые характеристики: w = ( E , D) / 2 — объемная плотность энергии электроста9тического поля; V — объем, в котором локализовано электростатическое поле в конденсаторе.Итак, проверим, удовлетворяет ли полученное значение C соотношению (1.16).

Используя зависимости (1.19) и (1.20) для D (r ) и E (r ) и выполняя соответствующее интегрирование в правойчасти (1.16), получаем:∫ wdV =V3R∫R1 q q(82 R 4 − r 4 )23q 22.4rdrπ=2 4πr 2 324πε 0 R 4 r 2324πε 0 R.Располагая зависимостями (1.28) для разности потенциалов U и емкости C, вычисляем значение CU 2 / 2 и убеждаемся в равенстве правой и левой частей соотношения (1.16). Отсюдаследует, что зависимость для емкости С сферического конденсатора найдена правильно.2. МАГНИТОСТАТИКА2.1. Основные теоретические сведенияТеорема о циркуляции вектора магнитной индукции B в магнетике: циркуляция вектора B по любому замкнутому контуру L равна произведению алгебраической суммы всех токов(как токов проводимости I, так и токов намагничивания I′), пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L, на магнитную постоянную µ0:∫ ( B, d l ) = µ ( I + I ′).(2.1)0LТок считается положительным, если его направление связано с направлением d l обхода поконтуру правилом правого винта; противоположно направленный ток считается отрицательным.Теорема о циркуляции вектора намагниченности J : циркуляция вектора J по любомузамкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов намагничивания I′, пронизывающихпроизвольную поверхность, натянутую на контур L, т.