Методичка по дз (МУ к выполнению ДЗ)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЛунева Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В., Голубев В.Г., Купавцев А.ВЭЛЕКТРОСТАТИКА. МАГНИТОСТАТИКА.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯМетодические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физикиПод редакцией д-ра техн. наук, проф. А.М. МакароваМосква, 20111. ЭЛЕКТРОСТАТИКА1.1. Основные теоретические сведенияТеорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля E в диэлектрике. Поле вектора E в диэлектрике обладает замечательным и важным свойством: поток вектораE сквозь любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов (как стороннихq, так и связанных q′), охватываемых этой поверхностью, деленной на ε0, т. е.1∫ ( E , d s ) = εS(q + q′),(1.1)0где вектор d s = nds, n — нормаль к элементу поверхности ds, внешняя по отношению к объему,охватываемому поверхностью S; кружок у знака интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности S.

Уравнение (1.1) является математическим выражениемтеоремы Гаусса для вектора напряженности E электростатического поля в диэлектрике в интегральной форме.Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора напряженности электростатического поля E в диэлектрике: 1div E = (ρ + ρ′ ),ε0(1.2)где ρ и ρ′ — объемные плотности сторонних и связанных зарядов в той точке, где вычисляетсяdiv E. При использовании теорем (1.1) и (1.2) для вакуума следует учесть, что в этом случаеq′ = ∫ ρ′dV = 0 и ρ′ = 0 .VТеорема Гаусса для вектора поляризованности среды P : поток вектора P сквозь любуюзамкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком суммарному связанному заряду1диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью интегрирования S, т.

е.∫ ( P, d s ) = − q′.(1.3)SДифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора поляризованности среды P :div P = −ρ′.(1.4)Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейных системах координатприведено в приложении к методическим указаниям.Если выразить заряд q′ через поток вектора P по формуле (1.3) и подставить его в уравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразовать к следующему виду: ((εE+ P ), d s ) = q.0∫SВеличину, стоящую под знаком интеграла во внутренних скобках, обозначают буквой D и называют вектором электрического смещения, или просто вектором D : D = ε 0 E + P.(1.5)Поток этого вектора через любую замкнутую поверхность S зависит только от стороннегозаряда q, находящегося в ограниченном поверхностью интегрирования S объеме.Теорема Гаусса для вектора электрического смещения D : поток вектора D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.

е.∫ ( D, d s ) = q.(1.6)SЗаметим, что свойство (1.6) поля вектора D оправдывает введение этого вектора: во многихслучаях он значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках [1].Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора электрического смещения D :div D = ρ ,(1.7)т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованности диэлектрикаP = ε 0 κE ,(1.8)где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества — скалярная величина, не зависящая отмодуля вектора напряженности электрического поля. Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5), получимD = ε 0 (1 + κ) E = ε 0εE.(1.9)Безразмерную величину ε = 1 + κ называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика.21.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Электростатика»В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде q или неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд на обкладках конденсатора.

Выбирая поверхность интегрирования в соответствии с видом симметрии каждой задачи, по теореме Гаусса (1.6) находимраспределение зависимости вектора D от пространственных координат, которые для каждогорассматриваемого случая могут быть различны: либо декартовы ( x, y, z ) , либо сферические(r , θ, ϕ) , либо цилиндрические (r , ϕ, z ) . Ниже мы будем рассматривать сферически симметрич-ный случай, поэтому определяемые величины будут зависеть только от одной пространственной координаты — радиальной координаты r.Далее из соотношения (1.9) определяем зависимость вектора напряженности электростатического поля E от радиальной координаты в диэлектрике:E (r ) =D(r ).ε 0ε( r )(1.10)Вектор поляризованности P связан с вектором напряженности электростатического поля Eсоотношением (1.8), поэтомуP (r ) = ε 0 [ε(r ) − 1]E (r ).(1.11)В результате поляризации среды в диэлектрике возникают связанные заряды с объемнойплотностью ρ′, которая определяется из соотношения (1.4).

Объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри однородного диэлектрика будет равна нулю, если внутри него отсутствуетобъемная плотность сторонних электрических зарядов (ρ = 0). Для неоднородного диэлектрика( grad ε ≠ 0 ) к указанному условию необходимо добавить условие E = 0 [1].В нашем случае ρ = 0, поэтому появление связанных зарядов с объемной плотностью ρ′ обусловлено неоднородностью диэлектрика и наличием напряженности электрического поля между обкладками конденсатора.В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или на границе раздела«диэлектрик — вакуум» могут появляться также поверхностные связанные заряды.

Зависимость между поляризованностью среды P и поверхностной плотностью σ′ связанных зарядовна границе раздела диэлектриков имеет видP2 n − P1n = −σ′,(1.12)где P2n и P1n — проекции вектора поляризованности P в диэлектриках 2 и 1 на общую нормальn к границе раздела в данном месте (вектор n проводят от диэлектрика 1 к диэлектрику 2).Из соотношения (1.12) следует, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величина которого равна зависящей от свойств диэлек3триков поверхностной плотности σ′ связанных зарядов.

Если среда 2 является вакуумом, то условие (1.12) приобретает более простой вид:σ′( M ) = Pn ( M ),(1.13)где M — точка, находящаяся на поверхности диэлектрика; Pn — проекция вектора P на нормальn , внешнюю по отношению к занятой диэлектриком области. Знак проекции Pn определяет изнак поверхностной плотности σ′ связанного заряда в данной точке.Далее необходимо найти суммарный связанный заряд диэлектрика:q′ = ∫ ρ′(V )dV + ∫ σ′( M )ds.V(1.14)SВ соотношении (1.14) первое слагаемое учитывает суммарный связанный заряд, распределенный по объему диэлектрика, а второе — суммарный связанный заряд, распределенный повсей поверхности рассматриваемого диэлектрика. Заметим, что алгебраическое значение q′ в(1.14) должно быть равно нулю.

Этот факт используется для проверки полученных результатов.Для нахождения емкости C конденсатора необходимо определить разность потенциалов между обкладками:R0 U = ϕ( R ) − ϕ( R0 ) = ∫ ( E , d r ).RТогда по определениюC=q,U(1.15)где заряд q соответствует поверхности конденсатора, потенциал которой равен ϕ(R). Под зарядом конденсатора q имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке.Замечание. Полученное значение емкости C конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношениюCU 2= ∫ wdV ,2V(1.16) ( E , D)— объемная плотность энергии электростатического поля; V — объем, в которомгде w =2локализовано электростатическое поле в конденсаторе.1.3.

Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Электростатика»Задача. Радиусы внешней и внутренней обкладок сферического конденсатора равны R0 и Rсоответственно. Заряд конденсатора равен q. Диэлектрическая проницаемость среды между обкладками изменяется по закону ε = f (r ), где r — расстояние от центра сфер (рис. 1.1).4Найти распределение модулей векторов электростатического поля: электрического смещения D , напряженности E и поляризованности P в зависимости от радиальной координатыr ∈ ( R ; R0 ).Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней σ1′ и внешней σ′2поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов ρ′(r ) и емкость С конденсатора.Выполнить проверку полученных результатов.Рис.

1.1Решение. Пусть заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 1ε( r ) =R0n,R0n + R n − r nn = 4.(1.17)Преобразуем зависимость для диэлектрической проницаемости ε(r ) с учетом заданного соотношения R0 = 3R :ε( r ) =(3R) 481R 4=.(3R )4 + R 4 − r 4 82 R 4 − r 4(1.18)Расчет характеристик электростатического поля начнем с определения вектора электрического смещения D(r ) между обкладками конденсатора.Пусть сторонний заряд q > 0 равномерно распределен по внутренней обкладке.