Семинар №2.1 Основы синтеза РСКУ. Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации (Семинар №2.1 "Основы синтеза РСКУ. Постановка задачи оптимальной линейной фильтрации")

ОСНОВЫ ТЕОРИИ И ТЕХНИКИ РАДИОСИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ УПРАВЛЕНИЯСЕМИНАР №2.1 Основы синтеза РСКУ. Постановка задачи оптимальной линейнойфильтрации1.2.3.4.Учебные вопросыОбщая постановка задачи фильтрации.Дифференциальное уравнение формирующего фильтра входного процесса. Векторно-матричное уравнение состояния.Векторно-матричное уравнение наблюдения.Матричное дифференциальное уравнение фильтрации параметров состояния.Литература1. Авиационные системы радиоуправления: учебник для военных и гражданских ВУЗов инаучно-исследовательских организаций. / Меркулов В.И., Чернов В.С., Гандурин В.А., Дрогалин В.В.,Савельев А.Н.

Под ред. В.И. Меркулова. – М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2008 – 423 с.2. Авиационные системы радиоуправления. Т1. Принципы построения системрадиоуправления. Основы синтеза и анализа / Под ред. А.И. Канащенкова и В.И.Меркулова. – М.:«Радиотехника», 2003. – 192 с.3. Радиоуправление реактивными снарядами и космическими аппаратами / Гуткин Л.С.,Борисов Ю.П., Валуев А.А., Зиновьев А.Л., Лебедев С.В., Первачев Е.П., Полищук Е.П., Пономарев Д.А.– М.: «Сов. радио», 1968.

– 680.4. Демидов В.П., Кутыев Н.Ш. Управление зенитными ракетами. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:Воениздат, 1989. – 335 с.: ил.15. Радиоуправление реактивными снарядами и космическими аппаратами / Гуткин Л.С.,Борисов Ю.П., Валуев А.А., Зиновьев А.Л., Лебедев С.В., Первачев Е.П., Полищук Е.П., Пономарев Д.А.– М.: «Сов. радио», 1968.

– 680.6. Коновалов Г.В. Радиоавтоматика. – М.: Радиотехника, 2003.7. Востриков А.С., Французова Г.А.. Теория автоматического регулирования:Учебное пособие.- М.: Высш. Школа, 2004.- 365.8. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы: Учеб.пособие для вузов. – М.:Энергоатомиздат, 1987.9. Радиоавтоматика: Учеб.

Пособие для студ. Вузов спец. “Радиотехника”/В.А.Бесекерский, А.А.Елисеев, А.В.Небылов и др.; Под ред. В.А.Бесекерского. – М.: Высш.Школа. 1985.21 Общая постановка задачи фильтрацииВектор состояния системы – входной сигнал (задающее воздействие) - случайныйпроцесс с известными априорными сведениями (взаимные связи – математическая модель, статистические характеристики):xyzxɺX = yɺ = xzɺxɺɺyzxɺyɺzɺTxɺɺ yɺɺ zɺɺ ;yɺɺzɺɺВектор оценок параметров состояния системы (фазовых координат) – выходнойсигнал - случайный процесс:X̂ = x̂ŷẑx̂ɺŷɺẑɺx̂ɺɺ ŷɺɺ ẑɺɺTЦель фильтрации: получение оценок параметров X̂ = X − X̂T= ε → min .3Сущность фильтрации:• максимизация апостериорнойплотностираспределениявероятностиW ps (x ) - критерий максимума W ps (x );•определение статистических характеристик случайного процесса для оценки численного значения случайной величины (по максимуму W ps (x )).Особенности оценки численного значения случайной величины:•несимметричность характеристики W ps (x ) (в общем случае значение, максимизирующее W ps (x ), не совпадает со средним/медианным значением);•смещенность оценки численного значения случайной величины;•при симметричной характеристике W ps (x ) среднее/медианное значение совпадаетсо значением, максимизирующим W ps (x )) – несмещенность оценки – критерийминимума СКО:min σ = D = M [x − m x ] .(1)4Задачи, решаемые теорией оптимальной фильтрации:•получение (синтез) оптимального алгоритма (структурной схемы фильтра), который обеспечивает оценку с минимальной СКО при заданных априорныхданных и заданном наборе измерителей параметров состояния (фазовых координат);•получение потенциальных характеристик (показателей качества) синтезированного устройства в переходном и установившемся режимах - для заданного набораизмерителей и априорных сведений оптимальный фильтр обеспечивает минимальную дисперсию ошибки оценивания (фильтрации) в установившемся режиме при минимальном времени переходного процесса;•анализ чувствительности синтезированного устройства к отклонениям фильтруемых процессов от заданных априорных сведений;•оценка реализуемости синтезированного алгоритма с учетом производительностивычислителей, а также разработка квазиоптимальных алгоритмов и сравнение их показателей качества с оптимальным.5Исходные данные для синтеза оптимального фильтра:•обосновать математическую модель вектора состояния (взаимная связьоцениваемых параметров между собой), их статистические характеристики – уравнение состояния;•обосновать математическую модель вектора выходных (наблюдаемых) параметров - задаться структурой (взаимная связь между параметрами состояния инаблюдения) и набором измерителей, их статистическими (точностными) характеристиками – уравнение наблюдения;•на основе теории оптимальной фильтрации осуществить синтез оптимальногофильтра.62 Дифференциальное уравнение формирующего фильтра входного процесса.Векторно-матричное уравнение состоянияИнерционное звено первого порядка:W ( jω ) =АФЧХПФ W (p ) =•(2)1;1 + Tp(3)изображение по Лапласу сигнала на выходе при наличии на входе БШ n X ( t ) :x (p ) =•11,T =1 + jωTα1nX ( p ) ;1 + Tpx (p )[1 + T ⋅ p ] = n X ( p ) ;x (p ) + T ⋅ p ⋅ x (p ) = n X ( p ) ;(4)дифференциальное уравнение 1-го порядка для сигнала на выходе:x0nX (t )1α=Txɺ(t )x(t )∫α=T ⋅ xɺ (p ) = x (t ) + n X ( t ) ,xɺ (t ) = −1T11x (t ) + n X ( t ) ,TTxɺ (t ) = −αx (t ) + αn X ( t ) ,x (0 ) = x0 ;(5)x (0 ) = x0 ;(6)x (0 ) = x0(7)7Векторно-матричное дифференциальное уравнение для систем выше первого порядка:Xɺ (t ) = F ( t ) X (t ) + GX ( t )n X ( t ) ,X (0 ) = X 0 ;(8)где X (t ) - вектор фазовых координат состояния системы (процесса), подлежащих оценке;F ( t ) - матрица состояния описывает взаимные связи между компонентами вектор состояния;GX ( t ) - матрица преобразования «белых шумов» показывает, какие операции необходимо осуществить, чтобы получить все компоненты вектора состояния с заданными статистическими характеристиками («цветные шумы» возмущений);n X ( t ) - вектор входных «белых шумов» с нулевым МОЖ и единичной дисперсией (СКО),из которых формируется вектор состояния.8Пример 1: математическая модель формирующего фильтра третьего порядка и егоструктурная схема для функционально связанных фазовых координат дальность D( t ) , скорость сближения v ( t ) , радиальное ускорение a( t )Dɺ = −v ,D( 0 ) = D0 ;v( 0 ) = v0 ; vɺ = a , aɺ = −α ⋅ a + α ⋅ n , a( 0 ) = a .a0Xɺ (t ) = F( t ) X (t ) + GX ( t )N X ( t ) ,DX = v ; (10)a0F=00(9)X (0 ) = X 0 ;−1 001 ;0 −α(11)(*8)0 0 0GX = 0 0 0 ; (12)0 0 αnDN X = nv .

(13)naX0NX(t )Xɺ (t )GX∫X(t )F(t )93 Векторно-матричное уравнение наблюденияНабор измерителей выходных параметров:z1 ( t ) = UD (t ) = k D D (t ) + nИD ( t ) ;(14)z2 ( t ) = Uv (t ) = kv v (t ) + nИv ( t ) ;(15)z3 ( t ) = Ua (t ) = k a a(t ) + nИa ( t ) ;(16)где k D , k v , k a - коэффициенты связи измеряемых выходных сигналов с фазовыми координатами состояния;nИD , nИv , nИa - «белые шумы измерения», характеризующие их точность.Векторно-матричное уравнение наблюдения:z1kD00Z = z2 = 0kvz300Dg И1100nИD0 ⋅v +0g И 220⋅ nИv .ka00g И 33nИaa(17)10Z (t ) = H ( t ) X (t ) + GИ ( t )NИ ( t ) ;Z (t ) H( t ) -(18)вектор-столбец параметров на выходе измерителей;матрица преобразования параметров состояния системы (процесса) в наблюдаемые (измеряемые) выходные величины, например, напряжения.GИ ( t ) - матрица интенсивности «белых шумов» измерения (погрешность измерений) –ковариационная матрица односторонних спектральных плотностей;NИ ( t ) - вектор-столбец «белых шумов» с нулевым МОЖ и единичной дисперсией(СКО).114 Матричное дифференциальное уравнение фильтрации параметров состоянияДано:Xɺ (t ) = F( t ) X (t ) + GX ( t )N X ( t ) ,•уравнение•состояния и законом распределения плотности вероятности;уравнение наблюдения Z (t ) = H ( t ) X (t ) + GИ ( t )N И ( t )содержит априорные сведения о наборе измерителей, их точностных свойствах.состояниясистемы(процесса)X (0 ) = X 0 содержит априорные сведения о взаимных связях между параметрамиЗадача - цель:получить оптимальный алгоритм обработки результатов измерений, при котором СКОошибок оценивания будут минимальными.Вид искомого решения – матричное дифференциальное уравнение оптимальнойфильтрации:Xˆɺ (t ) = A( t ) X̂ (t ) + KФ ( t )Z ( t ) , X̂ (0 ) = X̂ 0 .(19)Направления достижения цели:• через матрицу A( t ) - наилучшим способом изменяя ее коэффициенты, использовать все априорные сведения;• путем изменения матрицы коэффициентов фильтрации KФ ( t ) наилучшимобразом использовать результаты измерений параметров состояния.12Пример 2: объединение результатов наблюдения параметра состояния с использованием двух измерителей.Z1k1S1( f )N01YfZ2S2 ( f )k2N02f••••каналы измерения отличаются отношением «сигнал/шум», определяющим точностьизмерений N02 < N01 ;измерения, полученные от измерителя с более высоким отношением «сигнал/шум»,имеют более высокую достоверность и точность;необходимо обеспечить k 2 > k1 для оптимизации процедуры оценивания параметрасостояния;комплексирование – способ объединения результатов измерений (как правило, с использованием измерителей на различных физических принципах) с целью минимизации ошибок оценивания – характерный признак систем и комплексов.13Ошибка фильтрации:Производная ошибки:e( t ) = X (t ) − X̂ (t ).eɺ( t ) = Xɺ (t ) − Xˆɺ (t ) =(20)= F ( t ) X (t ) + G( t )N X ( t ) − A( t ) X̂ (t ) − K Ф ( t )Z ( t ) = Φ ( t )(21)Математическое ожидание производной ошибки фильтрации:M [eɺ( t )] =[][[]]dddM [eɺ( t )] = M X (t ) − X̂ (t ) = M M [X (t )] − M X̂ (t ) = 0 ;dtdtdt(22)M [Φ ( t )] = 0 ;M [Φ ( t )] = F ( t ) ⋅ M [ X (t ) ] + G( t ) ⋅ M [ N X ( t )] −− A( t ) ⋅ M [ X̂ (t ) ] − K Ф ( t ) ⋅ M [ H ( t ) X (t ) + GИ ( t )NИ ( t )] == F ( t ) ⋅ M [ X (t ) ] + G( t ) ⋅ 0 − A( t ) ⋅ M [ X̂ (t ) ] − KФ ( t )H ( t ) ⋅ M [ X (t ) ] − 0 == F ( t ) ⋅ M [ X (t ) ] − A( t ) ⋅ M [ X̂ (t ) ] − K Ф ( t )H ( t ) ⋅ M [ X (t ) ] = [ M [ X (t ) = M [ X̂ (t ) ] == [ F( t ) − A( t ) − K Ф ( t )H ( t )] ⋅ M [ X (t ) ] = 0 ;(23)14Требования к матрице состояния оптимального фильтра:A( t ) = F( t ) − KФ ( t )H ( t ) .(24)Алгоритм оптимальной линейной фильтрации:Xˆɺ (t ) = [ F( t ) − K Ф ( t )H ( t )] X̂ (t ) + KФ ( t )Z( t ) == F ( t ) X̂ (t ) − K Ф ( t )H ( t ) X̂ (t ) + KФ ( t )Z ( t ) = F ( t ) X̂ (t ) + K Ф ( t )[ Z( t ) − H ( t ) X̂ (t ) ] .

(25)Матрица коэффициентов фильтрации – решение уравнения Фоккера – Планка - Колмогорова:K Ф ( t ) = P ( t )H T ( t )GИ−1 ,P( t ) =ε1 ε1ε 2 ε1ε1 ε 2 … ε1 ε nε 2ε 2 … ε 2ε n⋮⋮ε n ε1ε nε 2ε1 = x1 − x̂1 ;GИ−1 =p12p= 21⋮⋮⋮… ε n ε n pn1ε 2 = x2 − x̂2 ;1GИ(26),p12p22⋮pn 2… p1n… p2 n- ковариационная матрица оши⋮⋮бок фильтрации;… pn2ε 3 = x3 − x̂3 ;P ;ε n = x n − x̂n .Ковариационная матрица ошибок фильтрации – решение уравнения Риккати:Pɺ ( t ) = F( t )P ( t ) + P( t )F T ( t ) + GX ( t )N X ( t )GTX ( t ) − P( t )H T ( t )GИ−1H ( t )P ( t ) ;(27)15Обобщенная структурная схема оптимального линейного фильтраX0NX(t )GXXɺ (t )∫NИX(t )H( t )X̂0Z(t )∆ZXɺ (t )KФ(t )F(t )X̂( t )∫X̂( t )F(t )H(t )1 Модель2 Модельвходного сигнала/воздействия измеренного сигнала(уравнение состояния)(уравнение состояния)3 Модельоценок сигнала(уравнение фильтрации)1 – показывает алгоритм формирования входных сигналов/воздействий с заданнымистатистическими характеристиками, подлежащих оцениванию;2 – показывает способ формирования «копии» или «образов» входных сигналов на выходе соответствующих измерителей;3 – показывает структуру фильтра - системы обработки «образов», которые обеспечивают формирование на выходе оценки параметров состояния – МОЖ с минимальными СКО.16.