Раздел №3. Критерии различения гипотез. Задача обнаружения сигнала

3. Критерии различения гипотез. Задача обнаружения сигналаОсновные положения задач статистической проверки гипотез. КритерийБайеса (идеальный наблюдатель). Критерий Неймана-Пирсона. Критерий Вальда.Структура многоканального обнаружителя.Прежде чем приступить непосредственно к теме лекции вернемся кзадаче оценивания постоянных параметров. Применительно к ней параметрысигнала, подлежащие непосредственной оценке, называют представляющими(информативными,существенными),сопутствующимиилиаостальныесопровождающимипараметры–(неинформативными,несущественными).Пусть полезный сигнал зависит от двух векторных параметров λ и γ ,так что наблюдение имеет вид:ξ (t ) = s (t , λ, γ ) + n (t ) .(3.1)Используя выражение для АПВ (2.3) можно записать:p ( λ , γ ξ ) = cɶ ⋅ p (ξ λ , γ ) ⋅ p pr ( λ , γ )(3.2)Выражение (3.2) в общем виде определяет алгоритм оценки (повычисленной АПВ) совокупности параметров {λ , γ} .Положим теперь, что вектор параметров γ является сопутствующим(сопровождающим, неинформативным).

Тогда, очевидно, что АПВ длявектора λ будет находиться как:p ( λ ξ ) = ∫ p ( λ , γ ξ ) dγ = ∫ c% ⋅ p (ξ λ , γ ) ⋅ p pr ( λ , γ ) dγ .γγ18(3.3)Предположим далее, что параметры λ и γ априорно являютсянезависимыми так, что:p pr ( λ , γ ) = p pr ( λ ) p pr ( γ ) .(3.4)На основании выражений (3.3) и (3.4) можно записать окончательноевыражение для алгоритма оценки λ при наличии вектора сопутствующихпараметров γ :p ( λ ξ ) = ∫ p ( λ , γ ξ ) dγ =c% ⋅ p pr ( λ ) ⋅ ∫ p (ξ λ , γ ) ⋅ p pr ( γ ) dγ .γ(3.5)γВ выражении (3.5) третий сомножитель (интеграл) представляетфункцию правдоподобия, усредненную по вектору неинформативныхпараметров по априорной ПВ p pr ( γ ) . Этот результат носит общий характер иопределяет один из путей решения задачи оценивания при наличии в сигналесовокупности параметров λ и γ .

Вообще в такой ситуации возможны дваподхода к решению задачи оценивания постоянных параметров:p (ξ λ , γ )1. усреднение функции правдоподобиянеинформативныхпараметровпоаприорнойпо векторуПВp pr ( γ )(использование алгоритма оценки (3.5));2. совокупная оценка всех параметров λ и γ (использованиеалгоритма оценки (3.2)).Теперь перейдем непосредственно к задаче различения гипотез.Вначале рассмотри наиболее простую задачу различения двух гипотез.Введем некоторые определения и обозначения.Пусть каждый конкретный результат наблюдения ξ 0k порожден однойиз двух возможных несовместимых гипотез – H 0 и H1 .

В задаче19обнаружения сигнала гипотеза H 0 , как правило, ассоциируется с отсутствиемсигнала, а гипотеза H1 – с наличием сигнала (если речь идет а задачеобнаружения).Область возможных значений случайной величины ξ 0k – пространствонаблюдений – обозначим как Γ .Задача различения гипотез сводится к оптимальному разбиениюобласти Γ на две непересекающиеся подобласти Γ 0 и Γ1 . Если результатнаблюдений оказался в Γ 0 , то принимается гипотеза H 0 , а если в Γ1 – тогипотеза H1 .Вдвухальтернативнойситуациипринятиерешенийвсегдасопровождается ошибками двух родов: ошибка первого рода α–принимается гипотеза H1 , когда в действительности верна гипотеза H 0(ложная тревога (обнаружение)); ошибка второго рода β – принимаетсягипотеза H 0 , когда в действительности верна гипотеза H1 (пропуск сигнала).Наиболеечастоврадиотехническихприложенияхприменяютследующие три оптимальных правила:1.

критерий Байеса (идеальный наблюдатель);2. критерий Неймана-Пирсона;3. критерий Вальда (последовательный наблюдатель).Критерий Байеса. Идеальный наблюдательКак и ранее в правилах решения, основанных на критерии Байеса,оптимальное правило должно минимизировать стоимость (ущерб) отпринятиянеправильныхрешений.При20этомсчитаютсязаданнымиаприорные вероятности каждой из гипотез p pr ( H 0 ) и p pr ( H1 ) , а такжеколичественные характеристики стоимости, т.е.

функции стоимости (потерь)ci , j , i, j = {0, 1} (первый индекс характеризует выбранную гипотезу, а второй– гипотезу, которая является правильной). Будем также полагать, чтозначения функции стоимости удовлетворяют следующим условиям:c10 > c00 ≥ 0 и c01 > c11 ≥ 0 .В статистической радиотехнике показано, что в такой постановкеоптимальное правило различения двух гипотез в рамках байесовского методаимеет вид:(()) p ξ 0k H1  >1( c − c ) ⋅ p pr ( H 0 ) h = 10 00.c01 − c11 ) ⋅ p pr ( H1 ) p ξ 0k H 0  <( H0H(3.6)В силу положительности величин в левых и правых частей (3.6) имонотонности функции логарифма, вместо (3.6) используют эквивалентноенеравенство:(()) p ξ 0k H1  >1 ln ( h ) .ln k p ξ0 H 0  < H0H(3.7)То есть оптимальное решение заключается в вычислении отношенияправдоподобия и сравнения этого отношения с порогом h , который зависитот функции стоимости ci , j , i, j = {0, 1} и априорных ПВ p pr ( H 0 ) и p pr ( H1 ) .Если ввести апостериорные вероятности гипотез(p ( H i ξ 0k ) = c% ⋅ p pr ( H i ) ⋅ p ξ 0k H i)21то алгоритм (правило) (3.6) можно записать несколько иначе:((p ( H1 ξ 0k ))) p pr ( H1 ) p ξ 0k H1  >1 h′ = c10 − c00 .=kc01 − c11p ( H 0 ξ 0 )  p pr ( H 0 ) p ξ 0k H 0  < H0H(3.8)Из (3.6) следует, что от априорных вероятностей и функции стоимостизависит только значение порога, но не значение самой решающей статистики– отношения функций правдоподобия.

Подробный вывод алгоритмов (3.6) и(3.8) приведен в [1-4].Наиболее часто критерий Байеса используют при простой функциистоимости: c10 = c10 = 1, и c11 = c00 = 0 . При таких стоимостях значимостьошибок первого и второго рода принимается одинаковой. В данном случаеоптимальные решающие правила (3.7) и (3.8) принимают вид:(()) p ξ 0k H1  >1  p ( H )  ln  pr 0  .ln k p ξ 0 H 0  <  p pr ( H1 )  H0(3.9)p ( H1 ξ 0k ) >1.p ( H 0 ξ 0k ) <(3.10)HH1H0Обратим также внимание, что алгоритм (3.10) непосредственно следуетиз алгоритма максимума АПВ (оптимальный байесовский алгоритмоценивания при простой функции стоимости), если задачу различенияпереформулироватьвзадачуоцениваниядискретногопараметраθ = { H 0 , H1} :p ( H1 ξ 0k ) >k >1⇔pHξp ( H 0 ξ 0k ) ⇔ max p (θ ξ 0k ) .(1 0)kθp ( H0 ξ0 ) <<H1H0H1{H022}(3.11)Можно показать (смотри, например, [1]), что при простой функциистоимости критерий Байеса минимизирует вероятность полной ошибки(максимизирует полную вероятность правильного решения).Правила (3.9) и (3.10) в литературе называют по разному: идеальныйнаблюдатель, идеальное решение или наблюдатель Котельникова-Зигерта.Рассмотрим теперь кратко случай двух сложных гипотез.

Пустьфункции правдоподобия при каждой из двух несовместимых гипотез H 0 и()()H1 зависят от других параметров, т.е. имеют вид p ξ 0k H 0 , γ и p ξ 0k H1 , λ ,где λ и γ – неизвестные параметры (векторы, часть компонент которыхможет совпадать). Прибайесовскомподходесчитаютсязаданнымиаприорные безусловные вероятности гипотез p pr ( H 0 ) и p pr ( H1 ) , а такжеаприорные распределения случайных неизвестных параметров λ и γ –p pr ( λ ) и p pr ( γ ) .При такой постановке необходимо различать два варианта задачи:1.всепараметрыλиγявляются(неинформативными)изадачасопровождающимизаключаетсятольковоптимальном различении гипотез;2.средипараметровиλγимеютсяпредставляющие(информативные) и требуется совместно с различением гипотезH 0 и H1 оценить представляющие параметры (совместноеразличение-оценивание).Первый вариант задачи сводится к рассмотренной выше задачеразличения двух простых гипотез путем усреднения функции правдоподобия(смотри выше выражение (3.5)):23()()()(3.12)()(3.13)p ξ 0k H 0 = ∫ p ξ 0k H 0 , γ p pr ( γ ) dγ ,γp ξ 0k H1 = ∫ p ξ 0k H1 , λ p pr ( λ ) dλ .λРассмотрим теперь второй вариант задачи – совместное различениеоценивание.Несколькорассматриватьзадачуупростимисходнуюобнаружениясигнала,постановку:зависящегоотбудемвектораинформативных (представляющих) параметров λ .

Переформулируем задачусовместногоразличения-оцениваниявзадачуоценкипостоянныхпараметров. Для этого введем новый параметр дискретный θ , которыйможет принимать два значения: 1 (если верна гипотеза H1 ; сигналприсутствует) и 0 (если верна гипотеза H 0 ; сигнала отсутствует).

Тогдазадачу совместного различения-оценивания можно понимать как задачуоцениванияпараметранового{θ , λ} .векторногоПричемсмешанногопараметрыθ(дискретно-непрерывного)иλаприорноявляютсянезависимыми и характеризуются априорной ПВ p pr (θ , λ ) = p pr (θ ) p pr ( λ ) .Для получения явного выражения для алгоритма в рамках байесовскогоподхода можно воспользоваться оценкой по максимуму АПВ (байесовскийкритерий при простой функции стоимости):{θˆ, λˆ } = max { p (θ , λ ξ )} .−1k0θ,λ(3.14)Очевидно, что (3.13) можно переписать в следующем виде:{θˆ, λˆ } = max { p (θ , λ ξ )} = max { pθ,λk0θ, λ{pr(θ ) p pr ( λ ) p ( ξ 0k θ , λ )} ={(= max p pr (θ ) ⋅ max p pr ( λ ) p ξ θ , λθλ24k0)}}. (3.15)На практике алгоритм (3.15) можно реализовать следующим образом. Висходной простановке значения λ являются элементами непрерывногомножества.

Для практической реализации разобьем непрерывное множествозначений λ на дискретное множество: λ = {λ1 , λ 2 , K, λ n } . Параметр θизначально является дискретным: θ = {θ1 = 1, θ 2 = 0} . Будем также полагать,что наблюдение имеет вид:ξ (t ) = θ ⋅ s (t, λ ) + n (t ) .При этом очевидно, что функция правдоподобия при θ = 0 не будетзависеть от вектора параметров λ :() ()p ξ 0k θ = 0, λ ≡ p ξ 0k θ = 0 .Тогда структура алгоритма совместного обнаружения-оценивания втакой постановке может быть реализована по схеме, представленной нарисунке 3.1.Канал {θ = 1}(Вычисление p ξ 0k θ = 1, λλ = {λ1 , λ 2 , …, λ n }(ξ(p ξ θ = 1, λ 2λ2...λnk0p pr ( λ ))p ξ 0k θ = 1, λ1λ1))p pr (θ )λ(p ξ 0k θ = 1, λ n{(max p pr ( λ ) p ξ 0k θ = 1, λ))}{θ = 1 → H1 , λˆmax {•}θθ = 0 → {H 0 }Канал {θ = 0}(p ξ 0k θ = 0)Рисунок 3.1.

Структура алгоритма совместного обнаружения-оценивания25}Критерий Неймана-ПирсонаДанный критерий относится к небайесовским и используется, когдазатруднительно задать обоснованные априорные вероятности гипотез изначения функции стоимости. В этом случае необходимо использоватьрешающие правила, которые должны базироваться только на условныхвероятностях (функциях правдоподобия)(p ξ 0k H 0)и()p ξ 0k H1 , и навведенных ранее ошибках первого и второго рода α и β .Ошибка первого рода α (условная вероятность принять гипотезу H1 ,когда верна гипотеза H 0 ) – вероятность ложной тревоги – определяется как:p F = α = p ( H1 H 0 ) =∫ p (ξ)k0H 0 dξ 0k .Γ1(3.16)Вероятность правильного решения о гипотезе H1 равна:()pD = 1 − β = p ( H1 H1 ) = ∫ p ξ 0k H1 dξ 0k .Γ1(3.17)Критерий Неймана-Пирсона формулируется следующим образом.Будем рассматривать только такие решения, для которых при заданномзначении вероятности ложной тревогиpF , вероятность правильногообнаружения pD максимальна.Правило решения по такому критерию имеет вид:(()) p ξ 0k H1  >1 h0 .l ( ξ 0k ) =  p ξ 0k H 0  < H0H(3.18)26Видно, что алгоритм (3.18) по критерию Неймана-Пирсона полностьюсовпадает с байесовским алгоритмом (3.6).