Бакулев П.А. Радиолокационные системы (2015), страница 12

Синтез оптимальных обнаружителейОбнаружение одиночного радиоимпульсас полностью известными параметрами на фоне «белого» шумаБелый шум складывается с сигналом аддитивно: y{t) = Ou(t) + n(t),0 = 0 , 1, при этомM{n(t)} = 0,R( t ) = М {n(t)n(l - г)} =70,J Л(г)ехр{-у<иг}</г = ^ - ,G(co)=-oooo&l = /?(0) = j* G(co)dco = oo.—00Здесь <Tq - мощность шума на входе приемника.гдеВ пределах полосы пропускания приемника о2 = N0A f = кшскТ0А/9кшс=(Тл/Т0) + кшпр- \ - коэффициент шума системы (кшпр =—(7^р/7^) —1 -коэффициент шума приемника,Г0= 2 9 0 К , кТ0== 4* 10-21 Вт/Гц).

Для прикидочных расчетов можно ориентироваться наследующие значения коэффициентов шума.Тип приемника:......................................................................................................... кш, дБс параметрическим усилителем ..................................................................2 ... 4с ЛБВ ................................................................................................................ 4 ... 8с туннельным диодом ....................................................................................5 ...

6с балансным смесителем.............................................................................. 6 ... 9Пусть наблюдение входной реализации ведется дискретно черезинтервалы времени At = Гнабл/л в моменты времени tk:{t\,h, •••» МПоскольку п = 2/вГ, отсчеты в моменты tk независимы: y(tk) = ук = Оик ++ пк, к = 1, 2, 3, 4,..., п. В этом случае белый шум имеет нормальный за­кон распределения вероятностей (в= 0) и плотность распределения ве­роятностей имеет видЧ у * / <9 = 0) = Чу*/0 ) = - г = ^ е х р j - ^ 2l 2аv2/r<7В силу независимости отсчетов совместная ПРВМ у \ , у 2,-> л<в= 0 )= М у / 0 )= П Ч у * / 0 )= -т т = - ехР j “ т т У У7=Г\ 2cr^ ыПри 0=1 отсчеты входной выборки ук= ик+ пк, поэтому пк=ук- ик иw(yk/e=1) =Чу*/1)= 2- ехр|-^* 2*^ I •yiljia{2аг)С учетом независимости отсчетов совместная ПРВw (y /^= l)= ]- [w(>’* /1)*=1-ехрyfbra1^ ( У к ~ ик)2\-2<у2 к =171Подставляя w(y/1) и w(y/0) в выражение для Л, получаемМожно сравнивать Л с порогом решения Т, можно также сравни­вать монотонную функцию от Л с такой же функцией порога.

Напри­мер, часто используют сравнение 1пЛ ^ In Г. Учитывая, что1л1к =1°АОпк =11 пи обозначая a 2 In Т +—^ uj = ипор , получаем алгоритм оптимального^ к =1лобнаружения ^ ^ и кук ^ мпор•*=iЕсли перейти к непрерывному времени, то нужно устремить ин­тервал дискретизации к нулю (А/ —> 0), при этом Тт6л = const, п —> оо,N02——^ сг . Тогда2Аt^^набл* ^наблN°lN°l( u2(t)dt.1пЛ-*ЛГ f^наблОбозначимj* u(t)y(t)dt = z(t) и заметим, что это корреляцион0^наблный интеграл, aууJ* u2(t)dt = E - энергия сигнала.

Объединяя — InГ +о1У£+ — J u2(t)dt = — In Т + — = м1юр, получаем алгоритм обнаружения:■= J^наблu(t)y(i)dt<un(ЗЛО)Структурная схема корреляционного обнаружителя показана нарис. 3.8, а.Этой структуре эквивалентна структура фильтрового обнаружите­ля (рис. 3.8, б).72а)Рис. 3.8. Структуры корреляционного (а)и фильтрового (б) обнаружителейИмпульсная характеристика фильтра, максимизирующего отноше­ние мощности сигнала к мощности шума q, является зеркальным ото­бражением входного сигнала rj(t) = и(Тс- /), поэтому выходной сигналимеет формутстси,ыЛ Тс) = j ¥ Т С-t)y(t)dt = J*u(t —Tc)y(t)dt = z .ОоСоотношение для коэффициента передачи согласованного фильтраполучаем по формуле00k(jo>) = | Tj(t)exp{-jcot}dt =cxp{-ja>t}S\ja>),—ooпри этом формируется максимальное отношение сигнала к шуму:Яmax = 2E/N0 (при реальных шумах в диапазоне частот 0 —>oo q = E/Nq).Поскольку выходной сигнал обнаружителей, описываемый корреляци­онным интегралом, зависит от времени запаздывания tR и расстройки почастоте соД, корреляционный обнаружитель оказывается многоканаль­ным по дальности и скорости.

Фильтровой обнаружитель (ФО) много­канален только по скорости.В КО на выходе инерционного фильтра будет нарастающее напря­жение в момент tR+ ги, равное z( ги), в то время как в ФО на выходе возни­кает радиоимпульс, по форме совпадающий с корреляционной функциейвходного сигнала. Для устранения колебаний внутри огибающей радио­импульса на выходе ОФ ставят детектор огибающей (рис. 3.9,я-г).Для определения вероятности правильного обнаружения D и лож­ной тревоги F надо знать плотность распределения вероятностей вели­чины z на входе порогового устройства при в= 0 и в= \.73в)Рис. 3.9.

Форма сигналов в корреляционном (а), фильтровом (б)и фильтровом с детектором огибающей (в) обнаружителяхЕсли О= 0, то на входе - только шум n(t), поэтому y(t) = n(t). Опе­рация интегрирования является линейной, u(t) - детерминированная ве­личина. Следовательно, z(t) будет иметь то же распределение вероятно­стей, что и n(t), т.е. нормальное распределение с параметрамиM{z/9= 0}=0,J J^набл ^набл<t22=A /{ z2} - ( A/{z})2=A /{ z 2 } =u(t)u(t')M{n(t)n(t')}dtdt' =о=J J^набл ^набл, .u(t)u(t')^-S{t-t')dtdt'О оNО} и \т2оN0E2Таким образом,w(x 10 = 0) ="exPi ”yflxi7Г(7-2<7При в= \ изменяется лишь среднее значение из-за того, что u(t) детерминированная величина:I J/наблM {z/9 = \} = MСледовательно,74гu(t)[u{t) + n(t)]dt} =u2(t)dt = E .W(z/0= 1) =14ъюexpi M fОтсюда можно вычислить искомые вероятности F и D:где h = unop/z; Ф(Л) - интеграл вероятности.Аналогично вычисляется вероятность правильного обнаружения:где qm3LX=E/N0.Обнаружение квазидетерминированного радиоимпульсаБелый шум аддитивно складывается с квазидетерминированнымсигналом, у которого начальная фаза неизвестна:и(г,ф) = Um(t)cos[coot + yA^t) - <р].Здесь ф - неизвестная начальная фаза, распределенная равномерно в преде­лах от 0 до 2л-с плотностью распределения вероятностей w(cp) = 1/(2л).При этом отношение правдоподобия имеет видI2^НвблГмаблIЛ(>',^) = е х р |— J u(.t,<p)y(t)dt-— J u2(t,<p)dt\.Представим сигнал в виде двух ортогональных составляющихu(t, ф) = u\{t)o,os(p+ u2(t)sin<p:^Гнабл^f ГНабл^I ux(t)y(t)dt cos<p +\ Г u2(t)y(t)dt sin#?Л(.у, ф) = ехрNnА оJl JoJ^набл- J j - } м20 .

^ ) ^ [ = ехр | ~ [ г| cos$? +-sin сАпгде z 1 и z2 - квадратурные корреляционные интегралы.75Можно показать, что zicosip + z2s\n(p = Zcos{(p - v), где Z = ^/zj2+ z \ ,coszj/Z, sin i/= z2/Z, следовательно,Л(у, #>) = exp i — Z cos{(p - v) - —voJYojУсредняя по неизвестной начальной фазе <p, получаемA W = A(y, p)* = exp I - — l —^ 1 exp{^f^cos(<p-v)J«fy? =У0 |2 ^=expf 2Z^Поскольку exp J1 = const, а модифицированная функция Бесl ^ojселя / 0(jt) - монотонная функция x, можно перейти к следующему алго­ритму обнаружения:Z l u nov,(3.11)что соответствует структуре КО, показанной на рис. ЗЛО, а.Те же операции можно осуществить с помощью ФО, если продетектировать колебания на выходе ОФ с импульсной переходной характери­стикой тХО = и (Т -1, <р) и выделить огибающую Zcos(<p- v) (рис.

3.10, б).б)Рис. ЗЛО. Корреляционный (а) и фильтровой (б)обнаружители радиоимпульса с неизвестной начальной фазойТак как шум и смесь сигнала с шумом распределены на выходедетектора огибающей по законам Рэлея и обобщенного Рэлея (Райса),вероятности76°° -7F=гexp2 a ? r =eXPhexpDгде <J- = M*ZE^2 1*02a:^’dZ ,\ al jl2In.»нормированный порог.Обнаружение флуктуирующего радиоимпульсаБелый шум складывается с радиоимпульсом, имеющим неизвестнуюначальную фазу и флуктуирующую амплитуду: u(t,(p) = aUm(t)cos[<x>ot + yAJ) - <р]. Плотности распределения вероятностей амплитуды и фазы задают­ся соотношениями w0(^) = М2к\\ w(a) = -^ -e x p i--^ y \ - закон распреI °а}деления Рэлея.Усредняя Л по а и ср, получаемоо 2пJJJexp-j\{ у ) = K{y,(p,af'a ==JA(y/a)w0(a)da =Л (y/a,<p)w0(a)w0(<p)d<pda =I/,r 2aZ 4wQ(a)da,где E - энергия сигнала при а =1.Средняя энергия сигнала Еа = М{а2Е} = ЕМ{а2} = 2<та2£.С учетом этого вычисляем отношение правдоподобия:а2ЕА(Г2а2лda •V "о уВоспользуемся интегралом_11_[ х ехр { - a x 2}I0(fix)dx = — exp2аJ2а4аи получим окончательное соотношениеа (у ) =2<r2Z2Уп—ехржг ”[N0(N0 + E)\Таким образом, решающее правило может строиться на основаниисравнения Z с порогом:Z 2^/,п ор■(3.12)77Структура обнаружителя показана на рис.

3.11. Определим веро­ятность ошибок F и D:l2Z_-\dZ ==exp<j(. F =J — exp<jо*' , 2 о > а Г ~ ^ { 2o> J’а для вычисления D нужно знать плотность вероятностиvt<Z/a,(9=l)=— expNqEZ2- a2E2NoE( 2aZ\ Noтогдаw (Z /0 = 1) =2Z ___NnE + 2alE 2 CXP1 NnE + 2a2E2поэтомуD = jw ( Z / в = \)dZ = expГ ~ 2сЛN0E 1 + 2^Ntо JСравнение D и F различных моделей сигналов можно осуществлять только при равенстве их энергий, т.е. при а 2 =^ .

Исключаяh , получаемО)Рис. 3.11. Корреляционный (а) и фильтровой (б)обнаружители радиоимпульса с неизвестной начальной фазойи флуктуирующей амплитудой78Обнаружение флуктуирующего радиоимпульса с неизвестным(случайным) временем прихода (г= t R) и с расстройкойпо частоте ( а > = а ^ )В этом случае сигнал имеет видU(t, ср, а, г, со) = aum(t - r)cos[(<ut> + co)(t - r)+ip(t - г)-ср ],где a, (p, г, со - случайные величины с известными априорными распре­делениями вероятностей.Тогда нужно найти А(у/ 0,ср,а, т,со).

Поскольку известно Ny/6,(pdfa= А(у/О), введем в А(у/0) новые случайные параметры т, со и усредним Л поэтим параметрам. При этом будем считать, что они изменяют свои значе­ния дискретно, т. е. т - гь г2, ..., 7/ , ..., тп, о = co\ , g>i ,..., сок.,...,вероятно­стью pTi =P{T=Ti)J= 1,2,3, ...,n \p (t]k=P{(D = (Ok), к = 1,2,3, ..., aw .сОпределить Л(у/#) можно как и ранее:л (>о= X/,*=11т‘’■ ) ’поэтому(3.13)Таким образом, синтезированный обнаружитель состоит из л кана­лов по времени запаздывания (дальности) и aw каналов по частоте (ско­рости).