Бакулев П.А. Радиолокационные системы (2015), страница 11

Если /?(1) = /?,p(0) = q, то р q ~ 1 .3.2.Критерии оптимальюго обнаружения сигналовКритерий БайесаПусть 0=1 соответствует налишю сигнала в y(t ), а в - 0 - его от­сутствию. Множество решений d еЦ вырождается в два: d\-+0 = 1 иd0-^0 = 0. При простом бинарном Обнаружении 0 =10’и функция по­терь переходит в квадратную матриху£ _ ОоОнС,оСиМожно положить Coo = С(0 , d0]= С и = C(l, d\) = 0 (потерь нет) иС01 = С(0 , dx) > 0 , С10= С( 1 , rf0) > 0 .Задача обнаружения эквивалентна проверке гипотезы Я, о том, что0 = 1 , при альтернативной гипотезе d0 о том, что в = 0. По результатамнаблюденияуеГ нужно выбрать одн* из двух решений: d\ или JoКласс решений A e S состоит лз правил разбиения области Г надве подобласти: Г, и Г0.

Отыскание байесова решения сводится к выбо­ру подобластей таким образом, чтобь средний риск был минимален:= d0 при уеГ0, д(у) = J, пр \ у е Г,.В случае простого обнаружения ( 0 , = 1,6Ь= 0) средний рискГ =qr0 + ргх ,где г0 = CooP{do/H0} + С0,Р{</,/Я0} = С00(1-Я) + С01Я - условный рискпри 0 = 0 ; r\=C\oP{do/H\} + C,,P{J,/#i} = С,о(1 -Я )+ С пЯ - условныйриск при 0 = 1 ; р - априорная вероятность присутствия сигнала в у; q 62априорная вероятность отсутствия сигнала в у; D - вероятность пра­вильного обнаружения; F - вероятность ложной тревоги.Тогда средний рискг ~ ЯС00 + рС ^о + <7(С01 —Cqq)F —p(Cl0 —Cn )D == яСоо + РС\о + J [р (Сю - с \ IМ .У 11 ) - <7(0)1 - Coo)w(y / 0 )] dy.г.Поскольку qCoo + рС\о —постоянная положительная величина, ми­нимум 7 будет получен при/7(Cio-Cn)w(y/l)>^(Coi-Coo)w(y/0),рМ.у/1) > 0 , - Cqoqwiy/О) < С10- С п ‘Величина w(y/\)/w(y/\) = А(у) называется отношением правдопо­добия, а — — — ^ - = ТР С\0-С\\является порогом решения.

Таким образом,алгоритм обнаружения состоит в следующем: если Л > Т, то принимает­ся решение S(y) - du справедлива гипотеза Н\, у принадлежит областиГь а если Л <Г, то принимается решение д(у) == d0, справедлива гипотеза Я 0, у принадлежит области Г0, как это пока­зано на рис. 3.3, при этом область Г разделена границей Т на две облас­ти Г \ и Г0.Рис. 3.3.

Области гипотезНедостаток этого критерия - необходимость знать априорные све­дения о величинах р и q. Один из выходов при неизвестных p w q - при-С -Снятие гипотезы их равенства: р = q = 0,5. Тогда Т = —------— и алгоритмQo ~ Q 1обнаружения имеет видА^Т.(3.4)Критерий максимума апостериорной вероятностии максимума правдоподобияИзвестно, что, согласно теореме Байеса, формулы условных плот­ностей распределения вероятностей состояний в = 0 и 6= 1 имеют вид63w(0 / у) = qw(y / 0 ) /\qw(y / 0 ) + pw(y / 1 )],w(l / y) = pw(y / 1) l[qw(y / 0 ) + pw(y / 1 )].Очевидно, что та ситуация правдоподобнее, вероятность которойбольше.

Если w(0/>>) > w(\/y ), то правдоподобнее Я0, и нужно принять ре­шение d0. Если w(Q/y) < w( 1/у), то правдоподобнее Н\. Таким образом, еслиp w (y / 1)jи- — ----- >1, то принимается решение d \, справедлива гипотеза Я ьqw(y / 0 )у принадлежит области Г\. Если^ < 1, то принимается решениеqw(y / 0 )d0, справедлива гипотеза Я 0, у принадлежит области Г0, т.е., как и вкритерии Байеса,w(y/\)/w(y/0)=A(y)> T =plq.Это соответствует случаю, когда См = С0о = 0, а С0\ = С !0 = С, причемсредний риск 7 = [qF + р( 1 - D)]C, а алгоритм обнаружения остаетсяпрежним:А(у)>Т(3.5)Если априорные сведения о р и q отсутствуют, то их считают рав­новероятными р = q = 1/2 .

Тогда Л(у) J 1. Это критерий правдоподобия,или критерий идеального наблюдателя (Зигерта).Критерий Неймана - ПирсонаПри критерии Неймана - Пирсона фиксируется вероятность лож­ной тревоги F = const, время обнаружения Гнабл и максимизируется ве­роятность правильного обнаружения D, т.е. ищется такое правило ре­шений д(у), которое обеспечивает при заданном F среди всех прочихрешений максимальное D.

Порог решения выбирается из соотношенияJ00Р{А(у) > 7) =w(A(y)/0)dA = F .ТДоказывается, что для максимизации D необходимо использовать пра­вило принятия решенийА(у) =>тw(y / 0 )(3.6)В виду того, что критерий Неймана - Пирсона не требует знания ап­риорных вероятностей ситуаций в,\ в радиолокации он является основным.64Минимаксный критерийЕсли априорное распределение wo(0) неизвестно, то байесово ре­шение использовать нельзя, так как не удается найти г. При минимакс­ном критерии в классе решающих правил 8 ищут максимальные значе­ния условных рисков г{0/8) при вариации 8\ т.е. находят rmax(0, 8). Затемвыбирают правило решений <5*, обеспечивающее наименьшее значениериска среди полученных максимальных:шах вг{ 8,8 *) < гшхог(0, 8),(3.7)где г{в,8*) - минимальный риск, причем тп#тах0г(в,8) =гтх0г(в,8 ) .Вальдом получена связь между минимаксным и байесовым реше­ниями: минимаксное решение является байесовым относительно наиме­нее благоприятного априорного распределения параметров w0, макси­мизирующих байесов риск:min^ тах^ r(6,8) = min^ r(w /8 ).Функция г{в,£) не зависит от значений в.

Таким образом, еслибайесов риск r(w0,8*) для некоторого w0 не зависит от в\ то наиболеенеблагоприятно распределение w0 = w0 , а байесово решение 8* - ми­нимаксное. Это позволяет облегчить отыскание минимаксных значенийи наименее благоприятных априорных распределений, которые частооказываются равномерными.Критерий последовательной проверки гипотез ВальдаВ рассмотренных критериях ограничивалось (фиксировалось) вре­мя принятия решений Тнабп или объем выборки у\, У2,---,Уь Однако мож­но заранее объем выборки не фиксировать. При критерии Вальда об­ласть Г делится на три подобласти Гь Г0 и Г2 нижним Тн и верхним Гвпорогами (рис. 3.3, б):8(у) = do, если Ак< Тн, то справедлива гипотеза Н0 и у принадлежитобласти Г0;8(у) = d\, если Ак> Та, то справедлива гипотеза Н\ и у принадлежитобласти Г 1 ;8(у) = б/2, если Тн < Ак < Тв, то принимается решение продолжитьнаблюдение.ЗдесьТаким образом, критерий Вальда двухпороговый:(3.8)65Пороги определяются вероятностями D и F: Гн«- —Гвж — .1- FFДлительность наблюдений - величина случайная.Критерий Вальда является оптимальным в смысле минимизациисреднего времени наблюдения (обнаружения) по большему ансамблюэкспериментов.Сведение сложной гипотезы к простойЕсли кроме параметров в = 1 и в - 0 имеются другие: ц в простран­стве Qj для случая в = 1 и у в пространстве Q2 для случая 0= 0 с распре­делениями w(y/ju, 1) и w(y/v, 0) при известных w0(ji) и w0( у), то можносформировать отношение правдоподобия, не зависящее от параметровц,у:А ( у /в ,М, у ) ^[ М у/w (y/0 = 1) _ q,_______________w(y / в = 0) | w{y/v,0)w0(v)dv(3.9)n2Структура обнаружителяВ соответствии с полученными алгоритмами обнаружения можнопредставить их структуру при различных критериях оптимальности:1) однопороговые критерии с фиксированным временем Тн^ л(п)(рис.

3.4, а)\2) двухпороговый критерий с переменным временем 7,набл(л) (рис.3.4, б).а)б)Рис. 3.4. Схемы однопороговых (а) и двухпороговых (б) обнаружителей66Таблица 3.167Устройство Л(у) преобразует ращределение м?(у!в) в распределе­ние w(А). Пороговые устройства (ПУ), называемые реле или компара­торами, осуществляют сравнение А ; порогом Г. Графическая интер­претация различных критериев приведена в табл. 3.1.Задача обнаружения решается в каждом элементе разрешения.Способ просмотра элементов разрешщия определяется выбранным ме­тодом обзора пространства.

Число элементов разрешения зависит от об­ласти обзора или пространства обнаружения. Вероятность ложной тре­воги F и вероятность пропуска цели 1- D обычно задаются на все про­странство обнаружения.Вероятность правильного необьаружения во всем пространстве1- F = F равна произведению вероязностей правильного необнаружения во всех т элементах:тт^=Ш =П(1^1=11=1Если Fi\= Fk = ... = Fx = const, тотi =1При F, « 1 можно считать, что F = (1 - F])т « 1- mF] , или 1- F == F = mF\. Таким образом, если задано F, тоFx - F I т .Пример. Задано F = 10 3, число элементов разрешения по дально­сти mR = 150 км/150 м = 1000, число элементов разрешения по азимутута = 360°/0,36° = 1000, число элементов разрешения по углу места тр == 90°/0,9° = 100. Общее число элементов разрешения т = mRmamp = 10х иF, = 10-3 /108 = 10~п3.3.

Модели радиолокационных сигналовДетерминированный сигнал (сигнал с полностью известными па­раметрами) имеет видu(t) = Um(t) cos[fitf + ip(t)-(piгде Um(t) - амплитуда сигнала; coq - несущая частота сигнала; \p(t) функция угловой модуляции; (р- начальная фаза колебаний.68Все это точно известные неслучайные величины. Считается, чтомы знаем время запаздывания сигнала, эффективную площадь рассея­ния цели, форму сигнала и все параметры его модуляции.

Эта модельнаиболее идеализирована.Квазидетерминированные сигналы, или сигналы со случайнымипараметрами, имеют видy(t) = e u m(t,\i)+n(t),где ц - вектор случайных параметров сигнала.Возможны два случая:1) сигнал со случайной начальной фазой (р :u(t,<P) =l im it ) C O S [ < a o / +v(t) - <p],где (p - неизвестная начальная фаза, распределенная равном ерно от 0 до2 я, т.е. wQ((p) = 1/(27г);2) сигнал со случайной фазой (р и флуктуирующей амплитудойaum(t), где <р - неизвестная начальная фаза с распределением w0(^) ==а - коэффициент флуктуации амплитуды с распределениемТаким образом, u(t, (р, а) = aUm(t) cos [co^t + ip(t) - <p\.Модели сигналов охватывают случаи одиночных импульсов и па­чек импульсов.

Пачки импульсов разделяют на пачки когерентных и не­когерентных импульсов (рис. 3.5).а)Рис. 3.5. Форма пачек импульсов при плавном (а)и ступенчатом (б) обзоре пространстваВ пачке когерентных радиоимпульсов начальные фазы импульсовкоррелированы: {(р((рк)ф 0. Пачка некогерентных радиоимпульсов со­стоит из импульсов с независимыми начальными фазами {(р((рк) = 0 .Формирование когерентных радиоимпульсов и особенности ихспектров показаны на рис. 3.6. Стабильный задающий генератор (синте­затор частот) формирует колебание на частоте /j. После умножителячастоты колебания несущей частоты f 0 = nf\ попадают на усилительмощности, где усиливаются и модулируются импульсами.69Рис. 3.6. Формирование когерентных радиоимпульсовРис. 3.7.

Формирование некогерентных радиоимпульсовФормирование некогерентных радиоимпульсов показано на рис. 3.7.На генератор колебаний радиочастоты, работающий в режиме самовоз­буждения, подаются модулирующие импульсы и формируются мощныерадиоимпульсы частотой f 0 со случайной начальной фазой, что объясня­ется случайным характером начальных условий самовозбуждения.Что касается помех, то в дальнейшем рассматриваются модели не­коррелированной помехи - белый шум, коррелированной помехи - пас­сивная помеха и негауссовой активной помехи.3.4.