Диссертация (Теоретические расчёты вероятностей возбуждения и перезарядки в столкновениях тяжёлых многозарядных ионов), страница 4

Вывод уравнения (1.25) приведён, например, в работе [57].В ходе столкновения система координат (, , ) поворачивается вокругоси , поэтому () = () . В случае прямолинейного движения снаряда спостоянной скоростью угловая скорость () определяется уравнением (1.5).— 23 —Оператор в цилиндрических координатах (1.8) имеет вид (1.16). Запишем оператор · = в этой системе координат.

Для этого рассмотрим в виде суммы(1.27) = + Σ,где Σ – оператор спина электрона, и его -компонента:⎛Σ =⎞1 ⎝ 0 ⎠,2 0 (1.28) – оператор орбитального момента: = [ × ] .(1.29)Оператор Σ сохраняет форму (1.28) в цилиндрических координатах. С помощью выражения (1.14), после некоторых преобразований, из (1.29) получимследующую формулу для :[︂ (︂)︂(︂)︂]︂1 =+−+ − −++. (1.30)2 Отметим, что поскольку оператор не коммутирует с , появившийся вуравнении Дирака дополнительный член будет перемешивать состоянияс различными значениями проекции полного углового момента , котораяне является в случае ̸= 0 сохраняющейся величиной.1.3Метод расчётаВ данном разделе описывается метод численного решения уравнения Диракадля электрона в поле сталкивающихся ядер, с помощью которого проводились расчёты процесса перезарядки. Столкновение при этом рассматриваетсяв системе отсчёта, вращающейся вместе с межъядерной осью.— 24 —1.3.1Базисные сплайны ЭрмитаВ расчётах перезарядки для построения базисного набора использовались кубические базисные сплайны Эрмита (БСЭ).

Приведём некоторые общие определения, касающиеся этих функций. Сплайн представляет собой функцию,область определения которой разбита на интервалы [ , +1 ], на каждом изкоторых сплайн совпадает с некоторым полиномом. Точки { }=0 называются узлами сплайна. Кубический сплайн на каждом интервале тождествененмногочлену степени не выше третьей. На коэффициенты полиномов могутналагаться некоторые условия в зависимости от требуемой гладкости. Рассмотрим кубический сплайн с непрерывной первой производной, но пусть еговторая производная может иметь разрывы. Такой сплайн полностью определяется своими значениями и значениями своей первой производной в узлах.

Любой гладкий кубический сплайн с заданным набором узлов можнопредставить в виде линейной комбинации базисных сплайнов, имеющих наименьший носитель (область, где функция отлична от нуля). Определим ихследующим образом [49]. Для начала введём две функции 0 () и 1 (): 0 () =⎧⎪0,⎪⎪⎨|| ≥ 1(1 − )2 (1 + 2),⎪⎪⎪⎩ (1 + )2 (1 − 2),0≤<1,−1 < < 0⎧⎪⎪0, || ≥ 1⎪⎨ 1 () =(1 − )2 , 0 ≤ < 1 .⎪⎪⎪⎩ (1 + )2 , −1 < < 0(1.31)Рассмотрим разбиение некоторого отрезка [, ] на равных частей = 0 <1 < .

. . < = с шагом ℎ = +1 − . Для каждого узла ( = 1, . . . , −1)— 25 —определим две сплайн-функции 0 () и 1 ():0 ()=0(︂ − ℎ)︂,1 ()= ℎ1(︂ − ℎ)︂.(1.32)В узлах данные функции и их производные принимают следующие значения:0 ( )= , ,0( ) = 0 ,1 ( )= 0,1( ) = , .(1.33)Функции (1.32) образуют так называемый эрмитов базис в пространстве гладких кубических сплайнов с нулевыми граничными условиями.

Отметим, чтоприведённое выше определение может быть обобщено на случай произвольных разбиений, но в данной главе рассматриваются только сетки с равномерным шагом. Графики кубических БСЭ (1.32) представлены на рисунке 1.3.Перекрываются друг с другом только соседние сплайны, в результате чегоматрицы перекрывания и гамильтониана в таком базисе будут сильно разреженными. На рисунке 1.4 показаны графики первых производных функ1′ций (1.32). Как можно увидеть из графиков, функции 0′ () и () не явля-ются гладкими. =0,1Рассмотрим линейную комбинацию базисных сплайнов { }=1,..., −1 :() =−1∑︁∑︁ ().(1.34)=1 =0,1Функция () представляет собой кубический сплайн, имеющий непрерывную первую производную, с граничными условиями (0 ) = ( ) = ′ (0 ) = ′ ( ) = 0.

Из свойства (1.33) следует, что () и ′ () в узлах имеют вид( ) = 0 , ′ ( ) = 1 , = 1, . . . , − 1.(1.35)Данная особенность даёт ясную интерпретацию значений коэффициентов вразложении (1.34).Может возникнуть необходимость работать с функциями, на которые неналожены нулевые граничные условия, в этом случае необходимо расширить— 26 —Рис. 1.3: Кубические базисные сплайны Эрмита, 0 () и 1 () центрированы в узле ,0+1 () – в узле +1 .Рис.

1.4: Производные кубических базисных сплайнов Эрмита.— 27 —базис (1.32). Для этого в узле 0 определим сплайны 00 () и 10 () следующимобразом :⎧ (︀⎨ 0 −0 )︀ , ∈ [0 , 1 ]ℎ00 () =,⎩ 0, ∈/ [0 , 1 ](1.36)⎧⎨ ℎ1 (︀ −0 )︀ , ∈ [0 , 1 ]ℎ10 () =.⎩ 0, ∈/ [ , ]01Новые базисные сплайны (1.36) представляют собой правые половины соответствующих сплайнов (1.32) (см. рисунок 1.5). Аналогичным образом можноопределить функции 0 () и 1 (), центрированные в узле (см. рисунок 1.6) :⎧ (︀⎨ 0 − )︀ ,ℎ0 () =⎩ 0, ∈/ [ ∈ [ −1 , ], −1 , ](1.37)⎧⎨ ℎ1 (︀ − )︀ , ∈ [ −1 , ]ℎ.1 () =⎩ 0, ∈/ [ , ]01 =0,1Включим функции (1.36) и (1.37) в новый базисный набор { }=0,..., .

Пусть˜() – линейная комбинация сплайнов из этого набора:˜() = ∑︁∑︁ (),(1.38)=0 =0,1тогда ˜(0 ) = 00 , ˜′ (0 ) = 10 и ˜( ) = 0 , ˜′ ( ) = 1 . Таким образом, в граничных точках 0 и функции ˜() и ˜′ () могут принимать произвольныезначения, которые определяются соответствующими коэффициентами.Одним из достоинств БСЭ является простота процедуры интерполяциифункций. Если известны значения функции () и её производной ′ () вовсех узлах , то интерполяционную функцию () можно определить как () =∑︁(︀=0)︀ ( )0 () + ′ ( )1 () .(1.39)— 28 —Рис. 1.5: Базисные cплайны 00 () и 10 (), центрированные в узле 0 .Рис. 1.6: Базисные cплайны 0 () и 1 (), центрированные в узле .— 29 —Двумерные БСЭ определяются как произведения одномерных сплайнов: (, ) = () · (),(1.40)где (, ) – координаты на двумерной плоскости. Таким образом, в каждомузле на плоскости будет центрировано по четыре базисных сплайна.

Аналогично можно определить и эрмитовы базисы произвольной размерности ,при этом на каждый узел будет приходиться по 2 базисные функции, что является одной из причин роста размера базиса при переходе к пространствамбольших размерностей.В итоге, к достоинствам кубических БСЭ можно отнести следующее:1. Так как перекрывание существует только между соседними сплайнами,матрицы перекрывания и гамильтониана для данного базиса получаютсясильно разреженными, и эту особенность можно использовать в расчётах.2. Область перекрывания между сплайнами мала, а значит численное интегрирование можно проводить с использованием малого количества точек.3.

Кубические базисные сплайны Эрмита имеют непрерывную первую производную.4. Интерполяция осуществляется довольно простой процедурой, что даётвозможность быстро интерполировать уже известные атомные функции.1.3.2Построение базисаПерейдём к процедуре построения базисного набора. Так как в столкновенияхс ненулевым прицельным параметром проекция углового момента электрона на межъядерную ось не является сохраняющейся величиной, необходимо— 30 —включить в базис состояния с различными значениями . Представим релятивистскую волновую функцию (, , , ) электрона в виде конечной суммы0∑︁(, , , ) =(1.41) () (, , , ).=−0Здесь (, , ) – вращающаяся система координат, описанная в параграфе 1.1, (, , , ) являются нормированными собственными функциями оператора в каждый момент времени, 0 > 0 – некоторое полуцелое число, приэтом количество слагаемых в выражении (1.41) будет следующим:(1.42) = 20 + 1.Поскольку ⟨ | | ⟩ = 0, в предельном случае, если оставить в сумме (1.41) только один член, задача сведётся к приближению центральногостолкновения.В функции (, , , ) можно отделить угловую часть согласно выражению (1.19).

Биспинор (, , ) в свою очередь разложим по конечномубазисному набору следующим образом: (, , ) =04 ∑︁∑︁(1.43), () (, ) ,=1 =1где – единичные биспиноры:⎛⎞1⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎟1 = ⎜⎜ ⎟,⎜0⎟⎝ ⎠0⎛⎞0⎜ ⎟⎜ ⎟⎜1⎟⎟2 = ⎜⎜ ⎟,⎜0⎟⎝ ⎠0⎛⎞0⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎟3 = ⎜⎜ ⎟,⎜1⎟⎝ ⎠0⎛⎞0⎜ ⎟⎜ ⎟⎜0⎟⎟4 = ⎜⎜ ⎟.⎜0⎟⎝ ⎠1(1.44)0Набор функций { (, )}=1построим с помощью базисных сплайнов Эрми-та.

Для этого сначала определим граничные условия для функций (, , ).Рассмотрим некоторую ограниченную область (ящик) = { ∈ [0, max ]} × { ∈ [min , max ]} .(1.45)— 31 —Потребуем выполнение следующих условий: (, max , ) = 0, (, min , ) = 0, (max , , ) = 0.(1.46)При этом при = 0 функции (, , ), так же как их первые производные,могут принимать произвольные значения. Если ящик достаточно большой,условия (1.46) согласуются с тем фактом, что функции дискретного спектрастремятся к нулю при → ±∞ и → ∞. Сплошной спектр в результате выполнения данных условий будет дискретизированным, и плотность егосостояний будет зависеть от размера ящика.В области введём сетку, на которой построим эрмитов базис кубическихсплайнов способом, изложенным в параграфе 1.3.1.

Пусть сетка имеет + 1эквидистантных узлов вдоль оси :(1.47)min = 0 < 1 < · · · < = maxи + 1 узлов вдоль оси , также расположенных на равном расстоянии другот друга:(1.48)0 = 0 < 1 < · · · < = max .0Определим набор функций { (, )}=1как (, ) = () (),, = 0, 1,0 ≤ ≤ − 1,1 ≤ ≤ − 1. (1.49)Здесь индекс ≡ (, , , ) определённым образом нумерует сплайны насетке. При этом полное число функций будет следующим:0 = 4 × × ( − 1) .(1.50)Сплайны 00 () и 10 () определяются выражениями (1.36) (графики можноувидеть на рис.

1.5), благодаря этому при = 0 функции (, , ), так жекак их первые производные, смогут принимать произвольные значения. Все— 32 —остальные базисные сплайны имеют вид (1.32), в результате чего при = min , = max и = max функции (, , ) и их первые производные будутобращаться в нуль. Таким образом, обеспечивается выполнение граничныхусловий (1.46).В результате базисное разложение нестационарной релятивистской волновой функции может быть записано следующим образом: (, , , ) =004 ∑︁∑︁∑︁,() ,(, , ).(1.51)=−0 =1 =1Здесь четырёхкомпонентные базисные функции имеют вид(1.52),(, , ) = (, ) Φ (),гдеΦ⎧⎪⎪exp [( − 1/2)] ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ exp [( + 1/2)] ,=1=21.= √ 2 ⎪⎪⎪ exp [( − 1/2)] , = 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ exp [( + 1/2)] , = 4(1.53)Полное число базисных функций даётся выражением = 4 × × 0 = 16 × (20 + 1) × × ( − 1) .1.3.3(1.54)Уравнение Дирака в конечном базисеДанный параграф посвящён формулировке уравнения Дирака в определённом ранее конечном базисе.Рассмотрим вначале стационарный случай.

Разложим собственную волновую функцию (, ) аксиально-симметричного гамильтониана (1.22) понекоторому конечному базисному набору: (, ) =40∑︁=1 (, ).(1.55)— 33 —Здесь четырехкомпонентные базисные функции (, ) считаются линейнонезависимыми и удовлетворяющими необходимым граничным условиям,сформулированным в параграфе 1.3.2. Стационарное уравнение Дирака (1.24) может быть получено из вариационного принципа:ℱ = 0 ,(1.56)ℱ = ⟨ |( − )| ⟩ ,где множитель Лагранжа соответствует энергии частицы. Подставляя разложение (1.55) в выражение (1.56), получим следующую систему уравнений:ℱ= 0,(1.57)1 ≤ ≤ 40 .Данная система сводится к обобщённой задаче на собственные значения, которая в матричной форме может быть записана как(1.58)H = S0 .Здесь S0 и H – матрицы перекрывания и гамильтониана, соответственно:(S0 ) ′ = ⟨ | ′ ⟩,(H ) ′ = ⟨ | | ′ ⟩.(1.59)Перейдём к конкретному виду базисных функций (, ): (, ) = (, ) ,1 ≤ ≤ 4,1 ≤ ≤ 0 ,(1.60)где (, ) определяются формулой (1.49), – единичные биспиноры, единый индекс ≡ (, ) выражается через и следующим образом: = 0 + ,1 ≤ ≤ 4,1 ≤ ≤ 0 .(1.61)При выбранной нумерации базисных функций S0 и H представляют собой— 34 —блочные матрицы вида⎛⎜⎜⎜⎜H = ⎜⎜⎜⎝2V + B0DR + 1 M⎞⎟⎟2⎟0V + B R + 2 M−D⎟⎟⎟2−D−R − 1 M V − B0⎟⎠2−R − 2 MD0V − Bи⎛B⎜⎜⎜0⎜S0 = ⎜⎜0⎜⎝0000(1.62)⎞⎟⎟B 0 0⎟⎟⎟.0 B 0⎟⎟⎠0 0 B(1.63)Здесь коэффициенты 1 и 2 имеют вид1 = +1,22 = − +1,2(1.64)элементы матриц V, B, D, R и M определяются выражениями∫︁V′ = (, ) ′ ,∫︁B′ = ′ ,∫︁D′ = ′ , ′ ,∫︁R′ = (1.65)∫︁M′ = ′ .В настоящей работе матричные элементы (1.65) рассчитываются путём численного интегрирования согласно семиточечной формуле Уэддля [58].