Автореферат (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида), страница 2

Рассмотрим функцию ϕs (p) = ps F (p), s > 0. Предположим,что она регулярна в полуплоскости <p > 0 и имеет конечное предельное значе-7ние при p → ∞. Запишем интеграл (1) иначе:Is,tts−1=2πiε+i∞Zep p−s ϕs (p/t)dp.ε−i∞Для его вычисления строится квадратурная формула наивысшей степени точности (КФНСТ) следующего вида:Is,t ≈ ts−1nXAk ϕs (pk /t).(2)k=1Коэффициенты Ak и узлы pk выбираются так, чтобы формула (2) была точной для любого многочлена ϕs степени 2n − 1 от переменной 1/p. В работе [1]показано, что узлы квадратурной формулы являются корнями многочленаn1,Xk = 0;sn−k nkPn (x)=(−1)(n + s − 1)k x , (a)k =a(a + 1) · · · (a + k − 1), k > 1.kk=0Корни многочлена Pns (x) попарно различны и лежат в полуплоскости <x > 0.Коэффициенты КФНСТ можно вычислить по формулеAkn =(−1)n+1 n! (2n + s − 2)2 .s (1/p ) 2n2 Γ(n + s − 1)p2kn Pn−1knУстойчивость формулы (2) по отношению к ошибкам вычисления функцииnPϕs (p) определяется суммой модулей коэффициентов КФНСТ Mn =|Ak |;k=11−snдоказано неравенство Mn 6 Cn 3.764 , где C — постоянная величина, независящая от n.

Как видно из приведённой выше формулы, сумма модулей коэффициентов КФНСТ быстро возрастает при увеличении числа узлов n, т. е. сростом n возрастает ошибка в приближенных решениях. Поэтому увеличениеколичества узлов в КФНСТ не всегда является оправданным, следует братьменьшее число узлов с тем, чтобы характеристика неустойчивости не превзошла теоретическую оценку погрешности КФНСТ.В случае если ошибки в вычислениях изображения по Лапласу сведены кминимальным, увеличение числа узлов в КФНСТ будет приводить к хорошим8результатам.

Однако, при увеличении числа узлов описанный способ построения КФНСТ неэффективен и трудоёмок.Узлы КФНСТ удовлетворяют неравенству n+s−1 6 |pkn | < 2n+s−2/3, k =1, 2, . . . , n, и расположены в правом полукольце. Положим zkn = −(2n + s −2)/pkn , k = 1, 2, . . . , n. Эти числа равномерно ограничены при всех значенияхn. В работе [2] показано, что при n → ∞ точки zkn стремятся к точкам кривойγ = {z : |Ω(z)| = 1, <z < 0}, где .h ipp−2−21+zz 1+ 1+z.Ω(z) = expПредлагается следующий алгоритм нахождения узлов КФНСТ при большихзначениях n:1) для некоторого угла α из интервала (π/2, 3π/2) находим точку z0 ∈ γтакую, что arg(z0 ) = α;2) полагаем xα0 = −z0 и используем метод Ньютона для нахождения корняуравнения Pns (x) = 0 :xαm+1 = xαm −Pns (xαm ), m = 0, 1, . .

.Pns0 (xαm )3) пусть xα = lim xαm , тогда искомый узел КФНСТ равен (2n + s − 2)xα ;m→∞соответствующий ему коэффициент КФНСТ вычисляем по указанной вышеформуле;4) остальные узлы КФНСТ находятся аналогично, перебирая значения углаα из интервала (π/2, 3π/2) с достаточно малым шагом, зависящим от n.Также в первой главе рассмотрены ОКФНСТ, которые являются обобщением КФНСТ и точны для отрицательных степеней pa .

В работе приведён алгоритм их построения, который был реализован в математическом пакете Maple.Наряду со специальными методами обращения в первой главе рассмотренметод, основанный на одной теореме из книги [3]. В ней утверждается, что(−1)n n+1 (n)1limxn F (xn ) = [f (t − 0) + f (t + 0)],n→∞n!2где xn = (n + θn )/t, 0 6 θn 6 1.9Введем операторы Виддера Wn :nn+1 (n) n Wn (f, t) = (−1)F,n! tn+1tnn = 1, 2, . . .Если функция f (x) непрерывна в точке x = t, то при n → ∞ приближениеWn (f, t) сходится к f (t). Однако скорость сходимости будет зависеть от степени гладкости функции, а метод Виддера быстро насыщаем, поэтому в работерассматривается алгоритм нахождения значений функции–оригинала, используя ускорение сходимости метода Виддера.Для этого строятся линейные комбинации операторов ВиддераW (n, k, f, t) =kXcjk Wnj (f, t).j=1В работе [4] показано, что коэффициенты cjk можно выбрать так, что для достаточно гладких оригиналов при n → ∞ имеет место равенствоkn (W (n, k, f, t) − f (t)) =2kXMm tm f (m) (t) + o(1),m=kгде Mm — константы, не зависящие от t и f .В работе приведен алгоритм построения линейных комбинаций операторовВиддера, даны оценки погрешности и приведены результаты численных экспериментов применительно к вычислению дробно–экспоненциальных функций.Метод деформирования контура, рассматриваемый в первой главе, заключается в том, что в интеграле Римана–Меллина делается замена линии интегрирования эквивалентным контуром L = {z | z = l(u), u ∈ (−∞, +∞)}, которыйначинается и заканчивается в левой полуплоскости так, что <(z) → −∞ наобоих его концах.

Такая замена возможна при выполнении условий:1) внутри контура L содержатся все особенности изображения F (z);2) |F (z)| → 0 равномерно в полуплоскости <(z) 6 γ0 при |z| → ∞. Далеевсюду предполагается, что эти условия выполняются.В результате замены контура интегрирования формула обращения Римана–10Меллина перепишется в видеZ∞f (t) =Gt (u) du,Gt (u) =−∞1 tl(u) 0e l (u)F (l(u)).2πi(3)Подынтегральная функция не имеет особенностей как на линии интегрирования, так и в некоторой “полосе”, содержащей внутри себя линию интегрирования. Для вычисления интеграла (3) воспользуемся формулой трапеций с бесконечным числом узлов (см. [5]). В работе предложены оценки погрешностиприменения формулы трапеций и рассмотрены два контура интегрирования:1) параболический контур z(u) = µ(1 − u2 ) + 2iµu, где µ > 0;2) кусочно–прямолинейный контур, состоящий из трёх участков.

Обозначимих L1 , L2 , L3 . На участке L2 параметр z для обоих контуров изменяется позакону z = xbi, x ∈ [−1, 1], b > 0. На участке L1 имеем z = x − bi, x ∈ (−∞, 0],а на участке L3 z = −x + bi, x ∈ [0, ∞).Для параболического контура указана скорость убывания погрешности взависимости от ширины полосы регулярности и числа узлов квадратуры, а длявторого контура приведены более детальные оценки погрешности на участкахL1 , L2 , L3 .В работе приведены результаты применения метода деформирования контура в случае обращения изображения дробно–экспоненциальной функции.

Заметим, что подбор параметров контуров зависит от значения аргумента вычисляемой функции.Во второй главе в качестве основной модельной задачи рассматриваетсязадача линейной вязкоупругости, в которой отыскиваются напряжение и деформация вязкоупругого тела. Также рассмотрена задача о распространении полубесконечного импульса нагрузки в полубесконечном вязкоупругом стержне:∂ 2 u(x, t)∂σ(x, t)= ρ, x, t > 0,∂x∂t2∂u(x, 0)u(x, 0) == 0, x > 0,∂tσ(0, t) = σ0 η(t), t > 0,где u(x, t) — абсолютное перемещение (ε(x, t) = ∂u(x, t)/∂x), ρ — линейнаяплотность материала стержня, η(t) — единичная функция Хевисайда, возника11ющая из условия, что к концу одномерного вязкоупругого стержня в моментвремени t = 0 прилагается нагрузка P (t) = σ0 η(t).В качестве ядра релаксации возьмём ядро Ржаницынаaβ β−1R(t) =texp(−at),Γ(β)a > 0, 0 < β < 1.Заметим, что при β = 1 ядро Ржаницына переходит в экспоненциальное ядро.Показано, как исходная задача о распространении полубесконечного импульса нагрузки в полубесконечном вязкоупругом стержне сводится к задачев образах по Лапласу.

Исследована возможность применения КФНСТ для нахождения функции–оригинала напряжения по её образу.Приведены различные ядра ползучести, их свойства и применение. Слабосингулярные ядра ползучести должны удовлетворять условиям:1) K(0) = ∞;Rt2) K(τ ) dτ < ∞, t > 0.0Рассмотрено ядро Абеля:tα, − 1 < α 6 0,K(t) =Γ(α + 1)которое имеет интегрируемую особенность в нуле, но оно не удовлетворяет условию конечности интеграла на бесконечности.Введём другой класс ядер, которые обладают необходимыми свойствами —класс резольвентных ядер, порождаемых ядром Абеля.

Таковыми являютсяЭα (β, t) — дробно–экспоненциальные функции, введённые Ю. Н. Работновым:Эα (β, t) = tα∞Xk=0(βt1+α )k,Γ((1 + α)(1 + k))−1 < α 6 0.Они удовлетворяет обоим свойствам — имеют интегрируемую особенность вRtнуле и удовлетворяют ограничению K(τ ) dτ < ∞ при β < 0.0Приведены и другие ядра ползучести, их свойства и применение.В третьей главе предлагаются методы обращения преобразования Лапласас точки зрения применимости к случаю длительно меняющихся во временипроцессов, которые описываются функциями, зависящими от ta или хорошо12приближаемыми функциями, зависящими от ta .

Таковыми являются дробно–экспоненциальные функции Ю. Н. Работнова. Их изображения зависят от 1/pa .Рассмотрен метод деформирования контура, основанный на лемме из работы [6], с помощью которого задачи вычисления дробно-экспоненциальной функции и интеграла от нее сводятся к вычислению интеграловa−1 sin πaxπa sin πaxπ∞Z0Z∞0z a e−z dz,z 2a + 2z a xa cos πa + x2az a−1 e−z dz.z 2a + 2z a xa cos πa + x2aДля их вычисления строятся специальные КФНСТ с вещественными узлами икоэффициентами.Также построена одна вещественная КФНСТ обращения преобразованияЛапласа, использующая значения изображения в вещественных точках.Далее рассматривается аддитивный метод выделения особенности при вычислении дробно–экспоненциальной функции, для чего изображение функцииЭα (−1, t) представим в виде рядаkX∞∞0 −1XX1(−1)k(−1)k(−1)k==+,a(k+1)a(k+1)a(k+1)pa + 1pppk=0k=kk=0(4)0где k0 ∈ N.

Второе слагаемое в этой сумме представимо в виде∞X1(−1)kk0=(−1).a(k+1)(pa + 1)pak0pk=k0Соответствующий ему оригинал вычисляется по ОКФНСТ для s = ak0 и приPближенно равен tak0 −1 nk=1 Ak ϕ(pk /t), где ϕ(p) = (−1)k0 /(pa + 1). Первомуслагаемому в (4) соответствует оригиналkX0 −1k=0(−1)k · tak+a−1.Γ(ak + a)Это слагаемое содержит главные члены разложения искомого оригинала прималых t. Их число определяется выбором значения параметра k0 .Также в третьей главе показано, что для больших значений аргумента це13лесообразно использовать метод, который основан на теореме из работы [7], вкоторой доказано, что функция–оригинал преставима в виде асимптотическогоряда:∞XXcν (p0 ) −λν −1p0 tf (t) ≈et,Γ(−λ)νp0ν=0Pгде p0 означает суммирование по всем особым точкам p0 .Заметим, что если λν — целое неотрицательное число, то 1/Γ(−λν ) = 0.Применив эту теорему к изображениям дробно–экспоненциальной функциии интеграла от нее, для больших значений аргумента x получим выражения∞−n−1X1n xF1 (α, x) = α Эα (t) =(−1),tΓ(−an)n=0F2 (α, x) =1Zttα+10∞1 X (−1)n x−nЭα (τ )dτ = 1 −,x n=0 Γ(1 − a − an)где x = ta .Аналогичные асимптотические разложения получены для ядер ГаврильякаНегами и им подобных, являющихся обобщением ядер Работнова.Также в третьей главе приводится анализ и сравнение значений, полученныхс помощью этих методов, с табличными значениями, даны результаты численных экспериментов.В заключении сформулированы основные результаты работы.В приложении представлены тексты программ для вычислений значенийдробно–экспоненциальной функции и функции ползучести с использованиемметодов, предлагаемых в данной работе.Список литературы1.