Автореферат (Численное обращение интегрального преобразования Лапласа функций специального вида)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиЛещенко Настасья ИвановнаЧисленное обращениеинтегрального преобразования Лапласафункций специального видаСпециальность 01.01.07 – вычислительная математикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2017Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Санкт-Петербургского государственного университета.Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорРЯБОВ Виктор МихайловичОфициальные оппоненты: ШИЧКИНА Юлия Александровна, доктор технических наук, профессор, Санкт-Петербургскийгосударственный электротехнический университет«ЛЭТИ» им.

В. И. Ульянова (Ленина), профессоркафедры вычислительной техникиКАБАРДОВ Муаед Мусович, кандидат физикоматематических наук, Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им.проф. М.А. Бонч-Бруевича, доцент кафедры высшей математикиВедущая организация:Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I»Защита состоится «»2017 г. вчасов на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия, д. 33, ауд.

74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034,Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте:https://disser.spbu.ru/files/disser2/disser/9jbFcNv4H7.pdfАвтореферат разослан «»Учёный секретарьдиссертационного советадоктор физико-математических наук2017 г.Чурин Ю.В.Общая характеристика работыАктуальность работы состоит в том, что интегральные преобразования,такие как преобразования Лапласа, Фурье, Абеля, Меллина и другие, помогаютзначительно упростить решение различных дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих в прикладных задачах разных областей математики, математической физики, радиотехники, механики. Теоретические основыоперационного исчисления содержатся в классических работах В.

А. Диткинаи А. П. Прудникова, D. V. Widder, Г. Дёч, М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата. Вопросам приложения операционного исчисления к решению прикладныхзадач, среди прочих, посвящены фундаментальные труды М. И. Конторовича,А. И. Лурье, Л. И. Слепяна и Ю. С. Яковлева.Сложность в применении интегрального преобразования Лапласа заключается в том, что на последнем этапе возникает задача нахождения функции–оригинала по её изображению, которую, как правило, не удается решить аналитически, и потому необходима разработка и применение приближённых (численных) методов обращения.Не существует универсального метода обращения, дающего удовлетворительные результаты для произвольного изображения F (p). Любой конкретныйметод обращения должен учитывать специфику поведения изображения (илифункции–оригинала), что прежде всего находит отражение в выборе подходящих систем функций в пространствах оригиналов и изображений, с которымилегко работать и с помощью которых могут быть хорошо приближены заданныеобразы и оригиналы.

Выбор метода обращения существенно зависит от способазадания информации об изображении искомого оригинала. Перечислим типичные ситуации:1) известны значения изображения F (p) и его производных в некоторойфиксированной точке, отличной от бесконечности;2) известны значения изображения F (p) и его производных в некоторойокрестности бесконечно удаленной точки;3) известны значения изображения F (p) на вещественной полуоси p ≥ 0;4) известны значения изображения F (p) во всей полуплоскости Re p > γ.Выбор подходящих методов обращения для указанных ситуаций, их описание либо отсылка к соответствующей литературе рассмотрены в работе [10].Наиболее полно возможные подходы к задаче обращения и их реализация3описаны в книге [1], в другой работе тех же авторов приведены необходимыеформулы и численные таблицы для применения методов обращения преобразования Лапласа.

Обзор других способов обращения приведен в статье [10]. Всовременных исследованиях можно выделить работы F. Mainardi, в которых показано, что дифференциальные интегралы Римана–Лиувилля удобно использовать для описания динамических свойств линейных вязкоупругих материалов,включая задачи распространения волн и диффузии.Целью данной диссертационной работы является разработка и исследование приближенных методов обращения преобразования Лапласа к изображениям функций специального вида (типа дробно–экспоненциальных функций и ихобобщений).Задачи, которые решались в диссертационной работе:1.

Исследовать различные методы обращения преобразования Лапласа иразработать алгоритмы по применению методов обращения к вычислению функций специального вида.2. Исследовать свойства ядер, которые могут быть выбраны в качестве ядерползучести и релаксации в соотношении Больцмана–Вольтерра; изучитьих свойства и рассмотреть их обобщение.3. Исследовать методы обращения преобразования Лапласа в предположении, что заданное изображение F (p) искомой функции–оригинала фактически зависит от 1/p a , где a — произвольное положительное числоиз интервала (0, 1); получить формулы обращения, обладающие большейточностью по сравнению с известными для определенного класса изображений и имеющие большое прикладное значение.4.

Реализовать методы, рассматриваемые в работе, в виде программ с использованием математического пакета Maple.5. Проанализировать результаты работы программ и на основании их датьрекомендации по использованию методов обращения преобразования Лапласа применительно к функциям специального вида.Методы исследования: применяются результаты комплексного анализа, теории приближений, необходимые разделы методов вычислений, теория4и практика параллельных алгоритмов и способы их реализации с целью получения конечного программного продукта.Научная новизна исследования состоит в том, что разработаны новыеметоды обращения преобразования Лапласа функций специального вида и дансравнительный анализ применения этих методов.

Определены условия применимости методов, рассматриваемых в работе. Представлены явные алгоритмы, которые могут быть использованы для обращения преобразования Лапласадробно–экспоненциальных функций и их обобщений.Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, чторезультаты, полученные в данной работе, позволяют упростить, в частности, решение задач линейной вязкоупругости.

Предлагаемые методы обращения преобразования Лапласа представляют практический интерес, поскольку реализованы ввиде алгоритмов, которые могут быть использованы для нахождениянапряжения (σ(x, t)) и деформации (ε(x, t)) вязкоупругих материалов.Публикация результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [8, 9, 10, 13], а также представлены в виде докладов конференций [11, 12]. Из них работы [8-10] опубликованы в журналах, индексируемых вреферативной базе Scopus.В работе [8] автору принадлежит реализация аддитивного метода выделенияособенности и построение квадратурных формул наивысшей степени точностидля функций, зависящих от дробных степеней аргумента.

Соавтору принадлежит идея применения упомянутых методов.В работе [9] соавтором предложена идея использовать деформацию контура интегрирования для вычисления интеграла Римана–Меллина. Авторомрассмотрены два контура — параболический и гиперболический, сводящие исходную задачу к вычислению интеграла по вещественной оси от некоторойфункции, зависящей от выбора контура интегрирования. Для них установленыасимптотические скорости сходимости, рассмотрен конкретный случай обращения и выбор контура интегрирования.В работе [10] автором построены вещественные квадратурные формулы обращения, в качестве узлов которых берутся корни многочленов Лагерра.

Указанспособ построения предложенных квадратурных формул (КФ). Соавтору принадлежит идея построения упомянутых КФ. Совместные результаты работы5[10] использованы в книге соавтора В.М. Рябова.В работе [13] соавтором была предложена идея для вычисления дробно–экспоненциальной функции и интеграла от неё, используя изображения по Лапласу этих функций. Автором реализована идея вычисления рассматриваемыхфункций с помощью деформации контура интегрирования в формуле обращения Римана–Меллина, приводящая к вещественным интегралам по полуоси.Для вычислений полученных в работе интегралов строятся специальные вещественные квадратурные формулы наивысшей степени точности.

Также в статье[13] указаны обобщённые квадратурные формулы наивысшей степени точности(ОКФНСТ), точные для дробных степеней аргумента функции изображения ипостроены асимптотические формулы для дробно–экспоненциальной функциии интеграла от неё для больших значений аргумента.Апробация результатов. Автором сделаны два доклада по теме диссертации на всероссийских научных конференциях по проблемам информатики"СПИСОК–2012" и "СПИСОК–2013" (Санкт-Петербург, 2012 и 2013), а такжедоклады на семинарах кафедры вычислительной математики математико-механического факультета СПбГУ (Санкт-Петербург, 2016).Положения, выносимые на защиту:1. Применение известных приближенных методов обращения к обращениюизображений специального вида.2. Сравнительные характеристики известных методов.3. Разработка новых специальных методов обращения.4. Программная реализация методов обращения.5.

Решение конкретных прикладных задач линейной вязкоупругости.6. Практические рекомендации по выбору метода обращения в зависимостиот свойств образа.Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав,заключения, библиографии и приложения. Общий объём диссертации составляет 104 страницы. В тексте работы содержится 24 таблицы и 2 рисунка. Биб6лиография работы состоит из 63 наименований.

В приложении приведены 9листингов программ.Основное содержаниеВ первой главе приведён обзор методов обращения преобразования Лапласа — обращение преобразования Лапласа сведением к системе линейных уравнений, квадратурные формулы наивысшей степени точности, обобщённые квадратурные формулы наивысшей степени точности, метод Виддера, метод деформирования контура интегрирования в интеграле Римана–Меллина.Преобразование Лапласа для функции–оригинала f (t)Z∞F (p) = e−pt f (t) dt0сходится в некоторой полуплоскости <p > γ0 , F (p) будет регулярной функциейи для оригинала f (t) верна формула обращения Римана–Меллина1f (t) =2πic+i∞ZF (p)ept dp,c > γ0 .(1)c−i∞Заметим, что интеграл (1) понимается в смысле главного значения, он независит от c и в случае разрыва оригинала в точке t мы получаем полусуммупредельных значений оригинала слева и справа от точки t.Положим p = c + iτ, тогда exp(pt) = exp(ct) exp(iτ t).

При фиксированномt первый сомножитель постоянен, а второй пробегает единичную окружностьна комплексной плоскости бесконечное число раз. С ростом t первый сомножитель и скорость пробегания окружности вторым сомножителем неограниченновозрастают, поэтому попытка приблизить интеграл римановыми суммами врядли приведет к цели.Будем считать, не умаляя общности, что функция F (p) регулярная в полуплоскости <p > 0.