Диссертация (Кооперация в дискретных линейно-квадратичных играх), страница 2

В работе впервые исследуются вопросы динамической устойчивости и устойчивости против иррационального поведенияигроков в линейно-квадратичных дискретных кооперативных играх различноготипа. А также впервые определена и исследована линейно-квадратичная дискретная игра на сети с управляющей коалицией.Теоретическая и практическая значимость работы следует из области применения кооперативных линейно-квадратичных дискретных игр. Решения, полученные для разных вариантов рассматриваемых игр, применимыв качестве математических моделей для описания процессов, происходящих вразличных сферах человеческой деятельности, таких, как менеджмент, экономика, экология и др. В работе рассмотрены экономические приложения. Результаты, полученные в диссертации, представляют теоретический и практическийинтерес.Основные результаты, выносимые на защиту.1.

Построение кооперативного решение линейно-квадратичных дискретныхигр с бесконечным временем окончания с использованием характеристической функции. Теорема о динамической устойчивости полученного кооперативного решения. Вывод достаточных условий устойчивости противиррационального поведения.82. Построение кооперативного решение линейно-квадратичных стохастических дискретных игр со случайной продолжительностью. Формулировкатеоремы о динамической устойчивости полученного кооперативного решения.

Вывод достаточных условий устойчивости против иррациональногоповедения.3. Формулировка и доказательство теорем о динамической устойчивости Парето-оптимального решения линейно-квадратичных игр с нетрансферабельными выигрышами с предписанной продолжительностью и с бесконечнойпродолжительностью.4. Формулировка и доказательство теорем об устойчивости против иррационального поведения игроков для Парето-оптимального решения линейноквадратичных игр с нетрансферабельными выигрышами с предписаннойпродолжительностью и с бесконечной продолжительностью.5. Определение линейно-квадратичной дискретной игры на сети с управляющей коалицией. Построение некооперативного и кооперативного решенияв таких играх.Апробация работы.

Основные результаты были представлены на I, III,VII Международных конференциях Game Theory and Management GTM’07,GTM’10, GTM’14 (Санкт-Петербург, 2007, 2009, 2014 гг.); на Всероссийской конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010); наXXXVIII, XXXIX, XL, XLI международных конференциях студентов и аспирантов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2007, 2008,2009, 2010 гг.); на 46-й Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2015 г.); насеминаре отдела динамических систем Института математики и механики им.Н.Н.

Красовского УрО РАН; на семинарах кафедры математической теории9игр и статистических решений факультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ.По материалам диссертации опубликованы работы [13], [28], [29], [30], [31],[32], [63], [64]. Из них статьи [30], [32] опубликованы в журналах, входящих всписок ведущих российских рецензируемых научных журналов ВАК РФ, статья[63] – в издании, входящем в международную реферативную базу zbMATH.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёхглав, разбитых на параграфы, заключения и списка используемой литературы.Первая глава посвящена линейно-квадратичным дискретным играм сбесконечной продолжительностью.В § 1.1 приводится постановка задачи и находится решение бескоалиционной игры. Данный параграф делится на подпараграфы.В § 1.1.1 Формулируется теорема о существовании равновесия по Нэшу влинейно-квадратичных дискретных играх с бесконечной продолжительностью.В § 1.1.2 приводится пример.В § 1.2 строятся кооперативные решения в рассматриваемом классе игр.Данный параграф делится на подпараграфы.В § 1.2.1 строится характеристическая функция для рассматриваемого класса игр и приводятся кооперативные решения.

Формулируется теорема о существовании набора стратегий, доставляющего максимум произвольной сумме функционалов, которая используется при построении характеристическойфункции.В § 1.2.2 исследуется вопрос динамической устойчивости полученных кооперативных решений, а также выводятся достаточные условия устойчивостипротив иррационального поведения для этих решений.В § 1.2.3 выводятся достаточные условия, гарантирующие устойчивостьпротив иррационального поведения для кооперативных решений, при условии,10что рассматривается игра с неполной информацией.В § 1.2.4 строится пропорциональное решение.В § 1.3 переформулируютcя теоремы, полученные в § 1.1.1 и § 1.2.1 для случая игры, в котором выигрыши игроков содержат перекрестные слагаемые, т.е.слагаемые, зависящие линейным образом и от управления, и от траектории.В § 1.4 приводится пример игры с экономическим содержанием.В § 1.5 приводится пример игры c тремя участниками.В рассмотренных примерах находятся все решения, описанные в главе 1,проверяется динамическая устойчивость и устойчивость против иррационального поведения игроков кооперативных решений.Во второй главе рассматриваются стохастические линейно-квадратичныедискретные игры со случайной продолжительностью.

Момент окончания игрыв таких играх заранее не известен, а является реализацией некоторой случайнойвеличины. В этой главе рассматривается как кооперативные так и некооперативные решения подобных игр, исследуется вопрос динамической устойчивостикооперативных решений и условие устойчивости против иррационального поведения игроков.В § 2.1 находится решение бескоалиционной игры. Формулируется теоремао нахождении ситуации равновесия по Нэшу в линейно-квадратичных дискретных играх со случайной продолжительностью.В § 2.2 строятся кооперативные решения в рассматриваемом классе игр.Данный параграф делится на подпараграфы.В § 2.2.1 строится характеристическая функция для рассматриваемого класса игр, формулируется теорема о существовании набора стратегий, доставляющего максимум произвольной сумме функционалов, которая используется дляпостроения характеристической функции.В § 2.2.2 в качестве кооперативного решения строится ES-вектор.11В § 2.2.3 исследуется вопрос динамической устойчивости ES-вектора.В § 2.2.4 выводятся достаточные условия, гарантирующие устойчивость ESвектора против иррационального поведения игроков.В § 2.3 приводится пример стохастической линейно-квадратичной дискретной игры со случайной продолжительностью двух лиц, в котором находятсявсе решения, описанные в главе 2, для ES-вектора проверяется динамическаяустойчивость и устойчивость против иррационального поведения игроков.Третья глава посвящена линейно-квадратичным дискретным играм с нетрансферабельными выигрышами.В § 3.1 исследуются линейно-квадратичные дискретные игры с нетрансферабельными полезностями с предписанной продолжительностью.

НаходитсяПарето-оптимальное решение и исследуется его устойчивость, где под устойчивостью понимается выполнение индивидуальной рациональности на всем промежутке игры. Данный параграф делится на подпараграфы.В § 3.1.1 приведена теорема о равновесии по Нэшу в рассматриваемом классе игр.В § 3.1.2 находится Парето-оптимальное решение.В § 3.1.3 исследуется вопрос динамической устойчивости Парето-оптимального решения. Приведена формула для вычисления процедуры распределениявыигрыша, гарантирующая динамическую устойчивость Парето-оптимальногорешения.В § 3.1.4 формулируется и доказывается теорема об устойчивости противиррационального поведения игроков для Парето-оптимального решения в случае, если Парето-оптимальное решение динамически устойчиво.В § 3.2 исследуются линейно-квадратичные дискретные игры с нетрансферабельными выигрышами с бесконечной продолжительностью. НаходитсяПарето-оптимальное решение и исследуется вопрос его устойчивости.

Данный12параграф делится на подпараграфы.В § 3.2.1 находится Парето-оптимальное решение.В § 3.2.2 исследуется вопрос динамической устойчивости Парето-оптимального решения. Приведена формула для вычисления процедуры распределениявыигрыша, гарантирующая динамическую устойчивость Парето-оптимальногорешения.В § 3.2.3 формулируется и доказывается теорема об устойчивости противиррационального поведения игроков для Парето-оптимального решения в случае, если Парето-оптимальное решение динамически устойчиво.В § 3.3 в качестве примера рассмотрена игра стабилизации государственного долга, исследуется устойчивость Парето-оптимального решения в этой игре.Четвёртая глава посвящена сетевым линейно-квадратичным дискретным играм c управляющей коалицией.В § 4.1 приводится описание игры.В § 4.2 находится некооперативное решение игры, в котором игроки, невошедшие в управляющую коалицию используют используют равновесные поНэшу стратегии.В § 4.3 находится кооперативное решение игры.В § 4.4 рассмотрен пример линейно-квадратичной игры на сети с управляющей коалицией.

Продемонстрирована неустойчивость решения.В Заключении приведены основные результаты, полученные в ходе исследования.В диссертационной работе использована тройная нумерация формул. Первая цифра указывает на номер главы, вторая — номер параграфа в главе, третья— номер формулы в параграфе. Для теорем, определений, утверждений используется сквозная нумерация. Параграфы, рисунки и таблицы пронумерованыдля каждой главы отдельно. Литература приведена в алфавитном порядке.13Глава 1Линейно-квадратичные неантагонистическиедискретные игрыСистематические исследования решений линейно-квадратичных дифференциальных игр обычно связывают с выходом работы [38].

В этой работе большоевнимание уделено формализму бескоалиционных линейно-квадратичных дифференциальных игр многих лиц, получены условия существования решений бескоалиционных игр в различных классах стратегий как для непрерывных, таки для дискретных моделей. Однако во многих приложениях из самой постановки задач следует необходимость объединения игроков в коалиции с цельюмаксимизации суммарного выигрыша. Поэтому актуальным оказывается исследование кооперативных динамических игр.