Диссертация (Кооперация в дискретных линейно-квадратичных играх)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиТУР АННА ВИКТОРОВНАКООПЕРАЦИЯ В ДИСКРЕТНЫХЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ ИГРАХСпециальность 01.01.09 – Дискретная математика и математическаякибернетикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Петросян Л. А.Санкт-Петербург2015 г.ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Глава 1. Линейно-квадратичные неантагонистическиедискретные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1 Бескоалиционные линейно-квадртичные дискретные игры . . . . . . . . . . 141.1.1 Теорема о существовании равновесия по Нэшу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Пример . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Кооперативные линейно-квадратичные дискретныеигры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1 Игры в форме характеристической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Условие устойчивости против иррационального поведенияигроков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.3 Условие устойчивости против иррационального поведенияигроков в играх с неполной информацией. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.2.4 Пропорциональное решение . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3 Решение дискретной игры с выигрышами игроков,содержащими перекрестные слагаемые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4 Пример. Планирование производства в условиях конкуренции . . . . . . 371.5 Пример.

Игра с тремя участниками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Глава 2. Стохастические линейно-квадратичные дискретныеигры со случайной продолжительностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.1 Бескоалиционные игры . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Кооперативные игры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.1 Игры в форме характеристической функции . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 502.2.2 ES-вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.3 Динамическая устойчивость ES-вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54232.2.4 Условие устойчивости ES-вектора против иррациональногоповедения игроков . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Глава 3. Линейно-квадратичные дискретные игры cнетрансферабельными выигрышами . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 633.1 Линейно-квадратичные дискретные игры снетрансферабельными выигрышами с предписаннойпродолжительностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

633.1.1 Теорема о существовании равновесия по Нэшу . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.2 Парето-оптимальное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Динамическая устойчивость Парето-оптимального решения . . . . 673.1.4 Условие устойчивости Парето-оптимального решения противиррационального поведения игроков . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Линейно-квадратичные дискретные игрыс нетрансферабельными выигрышами с бесконечнойпродолжительностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.1 Парето-оптимальное решение . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.2 Динамическая устойчивость Парето-оптимального решения . . . . 763.2.3 Условие устойчивости Парето-оптимального решенияпротив иррационального поведения игроков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3 Пример. Игра стабилизации государственного долга .

. . . . . . . . . . . . . . . 79Глава 4. Сетевые линейно-квадратичныедискретные игры c управляющей коалицией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2 Некооперативная игра . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3 Кооперативная игра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .884.4 Пример . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985ВведениеАктуальность темы. Во многих областях человеческой деятельности,таких, как экономика, экология, производство, менеджмент, в процессе принятия решения участвуют несколько сторон, цели которых зачастую оказываютсяразными и даже противоположными.

В связи с этим возникает необходимостьприятия решения в условиях конфликта. Теория игр является разделом математики, в котором рассматриваются математические модели ситуаций подобногорода. А поскольку все такие процессы развиваются на некотором временномпромежутке, актуальным направлением современной теории игр является исследование динамических и дифференциальных игр.Одним из основоположников дифференциальных игр принято считать Р.Айзекса, в работах которого и было введено понятие дифференциальной игры[1].Фундаментальные результаты в исследовании антагонистических дифференциальных игр получены научными школами академиков Л.С.

Понтрягина[24, 25, 26] и Н.Н. Красовского [10]. В развитие неантагонистических дифференциальных игр существенный вклад внесли А.Ф. Кононенко [9], А.Ф. Клейменов[8, 6, 7], Л.А. Петросян [15], В.И. Жуковский, Т.Н. Тынянский [4], С.В. Чистяков [33] и др.В настоящее время активно исследуется такой класс дифференциальныхигр, где динамика рассматриваемой системы имеет линейный вид, а выигрышиигроков квадратичны. Такие игры называют линейно-квадратичными. Актуальность исследования подобных задач обусловлена несколькими причинами.Так, многие приложения дифференциальных игр используют именно такуюструктуру, также важной оказывается возможность получения аналитическихрезультатов и использования эффективных численных методов решения.В своих работах исследовали задачи подобного типа Дж. Энгверда [48],6[47], Т.

Башар, Г. Олсдер [38], В.А. Жуковский, А.А. Чикрий [3], В. Чжан [70],П. Бернхард [41] и др. Решения некооперативных линейно-квадратичных игрдвух или многих лиц в различных классах стратегий подробно рассмотрены авторами. При этом исследуются игры как с конечным временем окончания игры,так и с бесконечным. В некоторых работах рассмотрены также кооперативныеигры, где в качестве принципа оптимальности берётся Парето-оптимальное решение.Однако модели с возможной кооперацией игроков, где игроки объединяются с целью максимизировать суммарный выигрыш и разделить его согласно некоторому выбранному правилу, оказываются наиболее приближенными кжизненным конфликтным ситуациям.

В связи с этим исследование кооперативных линейно-квадратичных динамических игр является актуальной задачей.Также очень важным является вопрос устойчивости кооперативного решения. Понятия динамической устойчивости впервые было введено ПетросяномЛ.А. в работе [14]. Динамическая устойчивость гарантирует состоятельностьвыбранного принципа оптимальности на всем промежутке игры. А в работе[66] Д.В.К. Янгом было предложено ещё одно важное свойство, гарантирующееустойчивость кооперации, это "устойчивость против иррационального поведения игроков". При выполнении этого свойства, даже при возникновении иррационального поведения игроков, другие игроки не проигрывают по сравнениюс некооперативным решением.

Марковкин М.В. [12] рассмотрел эти аспектыустойчивости кооперативных решений для линейно-квадратичных дифференциальных игр.В реальных конфликтных ситуациях возможны случаи, когда информация о системе доступна не непрерывно во времени, а только в определенныемоменты.

В связи с этим актуальным оказывается исследование дискретныхигр. В диссертации проводится исследование описанных проблем устойчивости7для кооперативных дискретных линейно-квадратичных игр.Целью диссертационной работы является исследование кооперативных линейно-квадратичных дискретных игр. Построение кооперативных решений для игр с бесконечной продолжительностью, для игр со случайной продолжительностью, для игр с нетрансферабельными выигрышами, а также дляигр на сети с управляющей коалицией, исследование динамической устойчивости полученных решений и вывод достаточных условий устойчивости противиррационального поведения игроков.Научная новизна работы.