Автореферат (Эластомерные оболочки при больших деформациях теория и эксперимент), страница 2

Объем диссертации 132страницы, общее количество рисунков —80, таблиц — 2, список литературысодержит 124 наименования.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении дается краткий обзор экспериментальных и теоретическихисследований по теме диссертации.В первой главе дано краткое описание механических свойствэластомеров и приведены наиболее часто встречающиеся упругие потенциалы.Описана методика проведения экспериментов по растяжению мембран иэкспериментальная установка. Приведены экспериментальные данные поодноосному растяжению резиновых образцов. По результатам экспериментов вкачестве основного используемого в работе потенциала был выбран потенциалследующего вида:2 n  2n  3n  3 .2  1n(1)Глава 2 посвящена большим деформациям криволинейных стержней.Дан вывод уравнений сильного изгиба криволинейных стержней:Ts   Tn  0, Tn   Ts  0,M   sTn  0,x  s cos , z  s sin 02 h 1 nTs  s  sn  ,n s1 03M   h   n 4 .3Здесь Tn – перерезывающее усилие, а Ts – усилие, действующее вмеридиональном направлении, M – изгибающий момент; x и z – координатыточек срединной поверхности,  угол между осью z и нормалью к срединнойповерхности.

Дифференцирование осуществляется вдоль дуги меридианасрединной поверхности.Решались задачи о сжатии прямоугольной пластины и круговых стержнейсосредоточенными силами и поверхностной нагрузкой (рис. 2). Полученоусловие сохранения прямолинейного положения равновесия для пластины(стержня). Для сжатой пластины с применением численных методов построеныбифуркационные ветви решения (рис. 1).61.5k=2k=1(0)10.5k=00-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2P-0.15-0.1-0.050Рисунок 1Решения задачи о сжатии колец представлены в квадратурах:00*x  R   R 0*0cos  d2  2 sin   c 0z  z0  R ,0*d2  2 sin   c 0*sin  d2  2 sin   c ,.Рисунок 2Проведены и описаны эксперименты по сжатию пластин и стержней и посжатию резиновых колец кругового сечения сосредоточенными силами иплоскостями, проведено сопоставление экспериментальных результатов стеоретическими.Третья глава посвящена безмоментной теории оболочек, за основу взятаследующая система разрешающих уравненийr,  ij  ri  rj , i1122 11  A 22,  22   111 , 12B321I  A  32 , II,   21 ,3  B, III0   11  .0 220  2r 12 21ijij  0 1  0 2TTa2h.a T   aq  h  2 .ij aT  2 a 1 tijri  0r   r00u0T000   T    T r r  T0 .0Здесь r и r — радиус-векторы срединной поверхности оболочки до ипосле деформации соответственно, 1, 2 , 3 — главные кратности удлинения,вектор нормали к срединной поверхности после деформации — n , орт7касательной к кривой t и орт тангенциальной нормали (нормали к кривой,лежащей в касательной плоскости) ν , Ti  T i1r1  T i 2r2 — векторы усилий,0действующие в сечениях  1  const и  2  const , h — толщина00недеформированной оболочки, а  — плотность её материала, t — время.

 u0— часть граничного контура, на котором заданы перемещения, а  —граничного контура, на котором заданы усилия, T — главный вектор усилийв расчёте на единицу длины срединной линии недеформированногонормального сечения, r0  r0  st  , T0  T0  st  — заданные векторные функции.В этой главе решены задачи о действии сосредоточенной силы исжимающих плоскостей на растянутые равномерным давлением балку-полоскуи цилиндрическую оболочку, а также рассмотрена динамическая задача орастяжении нормальным давлением балки-полоски. Динамические уравнениядля балки-полоски имеют вид:Tx2 x 1qx   h 2 ,x10Tz2 zqh,1 zx10 2здесь q x , q z — проекции поверхностной нагрузки на оси x, z .Для динамических уравнений проведено исследование зависимостичастот малых колебаний в окрестности стационарного положения равновесияот нагрузки для различных потенциалов.

На рисунке 3 отражена зависимостьпервых частот собственных колебаний от максимального статического прогибадля различных потенциалов.2n=3.01.5n=2.51n=2.0n=1.00.50012345z(0)Рисунок 3Таким образом, было показано, что нелинейные динамические моделидают более сложную картину колебаний мембран, чем линейные.Были решены задачи о круговой цилиндрической оболочке подвнутренним давлением и о растяжении в плоскости круглой мембраны.Решение представлено в квадратурах. Для случая потенциала Черныха дляплоской мембраны получено аналитическое решение.8Глава 4 посвящена осесимметричным деформациям оболочки вращения.За основу взяты следующие уравнения:d  0 1 dr dz r T1 0   T2  qr 0  0,0d r  1 d r drd  0 1 dz dr r T1 0   qr 0  0,0d r  1 d r drdrdz 1 cos  , 1 sin  .00drdr(2)В этих соотношениях  — угол между осью вращения и нормалью ксрединной поверхности в деформированной конфигурации, T1 ,T2 — усилия,действующие в срединной поверхности в меридиональном и окружномнаправлениях, а 1 , 2 — кратности удлинений, x и r — координатысрединной поверхности.

Для случая потенциала (1) связь между напряжениямии деформациями будет иметь следующий вид:002h  n2h  nT1 1  3n  , T2 2  3n n1n2Решение уравнений (2) строилось с применением численных методов.Проведено исследование влияния параметра n в упругом потенциале (1) назависимость «нагрузка-максимальный прогиб». Эта зависимость имеет точкуэкстремума для всех n  3 . Для случая n  2 эта зависимость представлена нарисунке 4 сплошной линией. Символом «0» отмечены экспериментальныеточки.Безразмерное давление (qR/h)2Эксперимент1.5Расчет10.5000.511.522.533.5Безразмерный прогиб в центре (z(0)/R)Рисунок 4Вид сбоку деформированной мембраны, полученный расчетным путемотображен на рисунке 5 в виде сплошных линий. Символом «звездочка»отмечены экспериментальные точки.91.5Q=1.801zQ=1.84Q=1.200.5Q=0.17000.20.40.60.811.2rРасчетная формаРеальный объектРисунок 5Аналогичные результаты получены для кольцевой мембраны,защемленной по внешнему и внутреннему контуру.

Для случая мембраны сжестким центром, нагруженной нормальным давлением (конструкциярассматривается как амортизирующее устройство) построены зависимости«осадка-вертикальная нагрузка на жестком центре». Для различных значенийдавления эти зависимости отображены на рисунке 6.6r0=0.55q=0.543Pq=1.52q=210-1q=2.500.511.52z02.533.54Рисунок 6В задаче о растяжении мембраны с жестким центром без поверхностнойнагрузки расчетные зависимости между осадкой и вертикальной нагрузкойбыли линейными, в отличии от результатов, представленных на рисунке 6.Форма растянутой мембраны представлена на рисунке 7. Символом«звездочка» отмечены экспериментальные данные.10Расчетная формаРисунок 7Реальный объектСферическая оболочка.

Для замкнутой сферической оболочкизависимость между внутренним давлением и относительным изменениемрадиуса определяется из соотношения 2T1   ,    R0 q 2 .Эта зависимость имеет точку экстремума для случая n<3. Для случая n=2на рисунке 8 эта зависимость изображена сплошной линией, символом«звездочка» отмечены экспериментальные точки. Аналогичные зависимостиполучены и для эллипсоидальных оболочек.600500q400300n=22001000012345Рисунок 8Задача о сжатии сферической оболочки растянутой нормальнымдавлением между двумя плоскостями и задача о растяжении сферическойоболочки в цилиндрической трубке решались с применением численныхметодов.

Зависимость между относительным изменением радиуса оболочки ивнутренним давлением для задачи о контакте с плоскостями отражена нарисунке 9. Символом «звездочка» отмечены экспериментальные точки.1187Давление65432100.20.40.60.81z(0)/z0Рисунок 9Вид сжатой плоскостями сферической оболочки при конкретномдавлении отображен на рисунке 10.P2Зона контактаz1Q=1.070-1-2-3-2-1P0x123Рисунок 10Зависимость междуотображена на рисунке 11.поперечнымиразмерамиизоной3Зона контакта2.521.510.5011.522.5Поперечный размерРисунок 111233.5контактаЗависимость между внутренним давлением и максимальным поперечнымразмером при растяжении сферической оболочки в трубке отображена нарисунке 12.1.5Q10.5Контакт0051015z(0)Рисунок 12Зависимость между поперечными размерами и зоной контакта такжеявляется линейной. Расчетные данные с точностью до 10% согласуются сэкспериментальными.Также в этой главе описана методика проведения эксперимента порастяжению сферической оболочки с отверстием нормальным давлением,решена соответствующая задача и проведено сопоставление теоретическихрезультатов с экспериментальными.

Приведены численные методы,используемые в работе, а также отмечены некоторые особенности численногорешения нелинейных краевых задач.Глава 5 посвящена прямоугольной мембране, растягиваемой в плоскостикраевыми нагрузками. Решается задача наложения малых деформаций набольшие в предположении, что основное напряженное состояние являетсяоднородным. Задача сводится к построению решения системы уравнения11 2 x10 2 A x10 2 2 x200 x1  x2 A 2 x20 2 0,0 x1  x2 x2 2 x10 2 x1  22 x1 2 x20 2, 0. x2в которой  x1 ,  x2 — смещения в направлении координатных осей, апостоянные коэффициенты 11,  A ,  ,  22 выражаются через частныепроизводные от упругого потенциала.