Автореферат (Аналитико-численные методы исследования скрытых колебаний), страница 3

Åñëè ïðè ýòîì ye2 = ... =ye2m = 0, òî ye2m+1 ÿâëÿåòñÿ m-îé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîé Lm .Îòìåòèì çäåñü, ÷òî èç ðàâåíñòâ xe h2 (2π) = 0 è yh0 1 (2π, h) = 0 ñëåäóåò, ÷òîL1 íå çàâèñèò îò ∆T (h), òàê êàê T1 = 0 è yeh0 1 (2π)Te2 = 0, à Lm≥2 çàâèñèò îò{Tek }2≤k≤2m−1 . Ðåàëèçàöèÿ ýòîãî àëãîðèòìà â MATLAB ïðèâåäåíà â [30]. ÅñëèL1,...,n−1 = 0 è Ln 6= 0, òîãäà, ñëåäóÿ ìåòîäó Áàóòèíà11 , ìîæíî â îáùåì ñëó÷àå ïîñòðîèòü n ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ ñ ïîìîùüþ ìàëûõ âîçìóùåíèéêîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû, ïðè ýòîì âíóòðåííèå óñòîé÷èâûå öèêëû áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü ñêðûòûì êîëåáàíèÿì.Ïîèñê ñêðûòûõ êîëåáàíèé â ìíîãîìåðíûõ ñèñòåìàõ. Îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ïîèñêà è ëîêàëèçàöèè ñêðûòûõ êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ãîìîòîïèè è ïðîäîëæåíèè ïî ïàðàìåòðó.

Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèñòåì, ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ áëèçêè ê äðóã äðóãó, òàê, ÷òîáû íà÷àëüíàÿòî÷êà äëÿ âû÷èñëåíèÿ àòòðàêòîðà ìîãëà áûòü ïîëó÷åíà àíàëèòè÷åñêè. ×àñòîìîæíî âûáðàòü íà÷àëüíóþ ñèñòåìó òàê, ÷òîáû àòòðàêòîð â íåé áûë ñàìîâîçáóæäàþùèìñÿ. Çàòåì ìîæíî ÷èñëåííî îòñëåæèâàòü èçìåíåíèå ýòîãî àòòðàêòîðà, ïðè ïåðåõîäå îò ñèñòåìû ê ñèñòåìå.  ñöåíàðèÿõ ïåðåõîäà ê õàîñó â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ÷àñòî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïàðàìåòð λ ∈ [a1 , a2 ], èçìåíåíèåêîòîðîãî ïðèâîäèò ê òàêîìó ñöåíàðèþ. Îäíàêî òàêîé ïàðàìåòð ìîæåò áûòüòàêæå ââåäåí â ñèñòåìó èñêóññòâåííî. Ïóñòü λ èçìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëå [a1 , a2 ],ãäå λ = a2 ñîîòâåòñòâóåò èçíà÷àëüíî èññëåäóåìîé ñèñòåìå, è âûáåðåì ïàðàìåòða1 òàê, ÷òîáû â ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìå ïðè λ = a1 ìîæíî áûëî áû íàéòè ÷èñëåííî èëè àíàëèòè÷åñêè íåêîòîðûé íåòðèâèàëüíûé àòòðàêòîð.

Òàêèì îáðàçîì,11 Í.Í.Áàóòèí, Ïîâåäåíèå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âáëèçè ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, Ãîñòåõèçäàò, 1949.12çäåñü âìåñòî àíàëèçà ñöåíàðèÿ ìîæåò ðåøàòüñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ñöåíàðèÿ.Äàëåå ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {λj }m1 , λ1 = a1 , λm = a2 , λj ∈ [a1 , a2 ]òàêóþ, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó λj è λj+1 äîñòàòî÷íû ìàëû, è áóäåì ÷èñëåííîèññëåäîâàòü èçìåíåíèå ôîðìû àòòðàêòîðà, ïîëó÷åííîãî äëÿ ñòàðòîâîé ñèñòåìû ïðè λ1 = a1 .

Åñëè ïðè ïåðåõîäå îò λj ê λj+1 ïîñëåäíÿÿ âû÷èñëåííàÿ òî÷êàäëÿ àòòðàêòîðà ïðåäûäóùåé ñèñòåìû íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ àòòðàêòîðà ñëåäóþùåé ñèñòåìû, òî äëÿ ïîñëåäíåãî çíà÷åíèÿ λm = a2 áóäåò âû÷èñëåíàòòðàêòîð â èñõîäíîé èññëåäóåìîé ñèñòåìå.Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñèñòåìó ×óà, çàïèñàííóþ â âèäå [13]dx= P0 x + qε(ψ(r∗ x) − kr∗ x), x ∈ R3dt1ψ(r∗ x) = m1 r∗ x + (m0 − m1 ) (|r∗ x + 1| − |r∗ x − 1|)2−α(1+k)α0−α1P0 = , q=, r=1−1 1 0 00−β −γ00,k=−αγ + ω02 − γ − βα(1 + γ)c ïàðàìåòðàìè α = 8.4562, β = 12.0732, γ = 0.0052, m0 = −0.1768, m1 =−1.1468, ω0 = 2.0392.

Çäåñü ∗ îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ïðåäëîæåííàÿïðîöåäóðà ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì óâåëè÷åíèè ε îò çíà÷åíèÿ ε1 = 0.1 äî ε10 = 1ñ øàãîì 0.1 ïîçâîëÿåò ëîêàëèçîâàòü (Ðèñ. 1) ñîñóùåñòâóþùèå ñèììåòðè÷íûåñêðûòûå àòòðàêòîðû (Ðèñ. 2). Çàìåòèì, ÷òî íà ïåðâîì øàãå ïðè ε1 = 0.1 àòòðàêòîð â ñèñòåìå áóäåò ñàìîâîçáóæäàþùèìñÿ è ìîæåò áûòü ëîêàëèçîâàí ïðèïîìîùè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà èç îêðåñòíîñòè íåóñòîé÷èâîãî íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íà÷àëüíûå äàííûå íàïåðâîì øàãå ìîæíî âûáðàòü, ïðèìåíèâ ìåòîä îïèñûâàþùèõ ôóíêöèé (ñì. [6]).Ñàì Ëåîí ×óà, àíàëèçèðóÿ12 ðàçëè÷íûå òèïû àòòðàêòîðîâ â ñâîåé öåïè, ïîëàãàë, ÷òî àòòðàêòîðû â ñèñòåìå ìîãóò áûòü íàéäåíû òîëüêî äëÿ íåóñòîé÷èâîãîíóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî åñòü ïîëàãàë, ÷òî â ñèñòåìå íåò ñêðûòûõàòòðàêòîðîâ.Ïðèìåíåíèå ìåòîäà îïèñûâàþùèõ ôóíêöèé äëÿ ïîèñêà ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íà ïåðâîì øàãå â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ îäíîéñêàëÿðíîé íåëèíåéíîñòüþdx= Px + qψ(r∗ x),dt12 L.x ∈ Rn ,(9)Chua, A zoo of strange attractors from the canonical Chua's circuits, Proceedings of the IEEE 35th MidwestSymposium on Circuits and Systems, 2, 1992, 916-926.13ε= 0.3(b)ε= 0.5(c)151510105515105z−5−5−5−10−10−10−15−15−15−15−15−10−100−50−5050x501015y15y(f)1515101010555zz00−5−5−5−10−10−10−15−15−15−15−15−15−10−10−5−10−55−5055015x05510501015−5yyε= 1.0150−5xε= 0.9(e)010−5x055ε= 0.8(d)−10−5510z0z0z015−5yx010x−5yÐèñ.

1: Ëîêàëèçàöèÿ ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ ×óà.ãäå P ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà n × n, q, r ïîñòîÿííûå âåêòîðû ðàçìåðíîñòè n,ψ(σ) íåïðåðûâíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, òàêàÿ ÷òî ψ(0) = 0. Èñïîëüçóÿ ãàðìîíè÷åñêóþ ëèíåàðèçàöèþ è íåîñîáóþ ëèíåéíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ, ñëåäóÿ [6],ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå ñèñòåìû (9) ê âèäóẏ1 = −ω0 y2 + b1 ϕ(y1 + c3 ∗ y3 ),ẏ2 = ω0 y1 + b2 ϕ(y1 + c3 ∗ y3 ),(10)ẏ3 = A3 y3 + b3 ϕ(y1 + c3 ∗ y3 ),ãäå y1 , y2 ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû; y3 , b3 è c3 (n − 2)-ìåðíûå âåêòîðû, b1è b2 âåùåñòâåííûå ÷èñëà; A3 ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè (n − 2) × (n − 2), âñåñîáñòâåííûå ÷èñëà êîòîðîé èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Ïóñòüíåëèíåéíîñòü ϕ(σ) èìååò ñïåöèàëüíûé âèä ϕ1 (σ),∀ |σ| ≤ ε, ε3 ϕ∀ |σ| > ε.ϕ(σ) = 2 (σ),(11)z14yx1,2Ðèñ.

2: Ñîñóùåñòâîâàíèå ñèììåòðè÷íûõ ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ Ahiddenâ öåïè ×óà.Çäåñü ϕ1 (σ) è ϕ2 (σ) êóñî÷íî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíû óñëîâèÿ|ϕ1 (σ)| ≤ µ|σ|,Zεb (c ∗ b2 3 3−ε+ b1 )ϕ1 (σ) + b1 ω0 σ ϕ1 (σ)dσ = Lε3 + O(ε4 ),(12){νi } âîçìîæíûå òî÷êè ðàçðûâà, µ > 0 è L íåêîòîðûå ÷èñëà. Íàïðèìåð,òàêèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò íåëèíåéíîñòü µσ,∀ |σ| ≤ ε, M ε3 sign(σ),∀ |σ| > ε,ϕ(σ) = (13)ãäå M íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Ââåäåì îïèñûâàþùóþ ôóíêöèþΦ(a) =2π/ωZ 0ϕ2 a sin(ω0 t) sin(ω0 t)dt.0 ðàáîòå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:(14)15Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëîa0 > 0, a0 ∈/ {νi },íåíû óñëîâèÿ2b1 Φ(a0 ) = − 2 2 L,ω0 a0Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõε>0äëÿ êîòîðîãî âûïîë-4dΦ(a) < 2 3 L.b1da a=a0 ω0 a0ñèñòåìà(10)(15)èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøå-íèå ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèy1 (0) = O(ε2 ), y2 (0) = −a0 + O(ε), y3 (0) = On−2 (ε2 )è ñ ïåðèîäîìT =Ñëåäñòâèå 1.

Äëÿ íåëèíåéíîñòè2π+ O(ε2 ).ω0(13)èìååì:2L = b2 (c3 ∗ b3 + b1 )µ + b1 ω0 µ,3r(16)Φ(a0 ) =4Mω0y1 (0) = O(ε ), y2 (0) = − − 3ω0µb1 M b2 (c3 ∗ b3 + b1 )µ + b1 ω0 + O(ε), y3 (0) =On−2 (ε2 ).2èÒåîðåìà 1 è àëãîðèòì, ïðèâåäåííûé âûøå äëÿ ëîêàëèçàöèè àòòðàêòîðà ×óà,ïîçâîëèëè ïîñòðîèòü ðàçëè÷íûå êîíòðïðèìåðû ê ãèïîòåçàì Àéçåðìàíà è Êàëìàíà (ñì.

[6, 15]).Âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ðàçâèòèþ ìåòîäîâ îöåíêè è âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè è èõ ïðèìåíåíèþ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ èñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ èçâåñòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.Êîíöåïöèÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè áûëà ïðåäëîæåíà Kaplan è Jorke â 1979ãîäó13 è çàòåì ðàçâèâàëàñü è îáîñíîâûâàëàñü ìíîãèìè ó÷åíûìè.  íàñòîÿùååâðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíû ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê îïðåäåëåíèþ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, åå âû÷èñëåíèþ è îáîñíîâàíèþ ôîðìóëû KaplanJorke: îñíîâàííûå íà ýðãîäè÷åñêèõ ñâîéñòâà ñèñòåìû (Ledrappier14 è äðóãèå) èíà òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ (Constantin, Eden, Foias, and Temam15 ).

Âäàííîé ðàáîòå âñå ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿòèÿ è èõ íåîáõîäèìûå ñâîéñòâà ïîëó÷à13 J.L.Kaplan and J.A. Yorke (1979). Chaotic behavior of multidimensional dierence equations. In FunctionalDierential Equations and Approximations of Fixed Points, pages 204227. Springer.14 F. Ledrappier (1981).

Some relations between dimension and Lyapounov exponents. Communications inMathematical Physics, 81(2):229238.15 P. Constantin, C. Foias, and R. Temam (1985). Attractors representing turbulent ows. Memoirs of theAmerican Mathematical Society, 53(314); A. Eden, C.

Foias, and R. Temam (1991). Local and global Lyapunovexponents. Journal of Dynamics and Dierential Equations, 3(1):133177. [Preprint No. 8804, The Institute forApplied Mathematics and Scientic Computing, Indiana University, 1988].16þòñÿ, èñõîäÿ èç ðåçóëüòàòîâ Douady è Oesterle16 îá îöåíêå ñâåðõó õàóñäîðôîâîéðàçìåðíîñòè ÷åðåç ëÿïóíîâñêóþ ðàçìåðíîñòü îòîáðàæåíèé.Ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê îöåíêà ñâåðõó òîïîëîãè÷åñêîé, õàóñäîðôîâîé è ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòåé.Äëÿ îöåíêè ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè ñóùåñòâóþò êàê ðàçëè÷íûå ÷èñëåííûå ìåòîäû (ñì., íàïðèìåð, MATLAB ðåàëèçàöèþ ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà QR èSVD äåêîìïîçèöèè, â [7,11]) òàê è ýôôåêòèâíûé àíàëèòè÷åñêèé ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé Ã.À.

Ëåîíîâûì â 1991 ãîäó17 . Ìåòîä Ëåîíîâà îñíîâàí íà ïðÿìîì ìåòîäåËÿïóíîâà è ðàññìîòðåíèè ñïåöèàëüíîãî êëàññà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. Ïðåèìóùåñòâî ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí íå òðåáóåò ëîêàëèçàöèè àòòðàêòîðàâ ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâå, ÷òî îñîáåííî âàæíî ïðè íàëè÷èè â ñèñòåìå ñêðûòûõàòòðàêòîðîâ. äàííîé ðàáîòå ïðîâåäåíî îáîñíîâàíèå ìåòîäà Ëåîíîâà ÷åðåç äîêàçàòåëüñòâî èíâàðèàíòíîñòè ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè îòíîñèòåëüíî äèôôåîìîðôèçìîâ [3, 17] è ïîëó÷åíî îáîáùåíèå ìåòîäà Ëåîíîâà íà äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìûñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì [2]. Ïðèìåíåíèå ðàçðàáîòàííûõ â ðàáîòå ïîäõîäîâ èìåòîäà Ëåîíîâà ïîçâîëèëî äîêàçàòü ãèïîòåçó18 î äîñòèæåíèè ìàêñèìóìà ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè â ñòàöèîíàðíûõ òî÷êàõ è ïîëó÷èòü òî÷íóþ ôîðìóëóðàçìåðíîñòè àòòðàêòîðîâ äëÿ ðÿäà èçâåñòíûõ ñèñòåì.Ðàññìîòðèì ãëàäêóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó {ϕt }t≥0 â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå(U, || · ||): {ϕtq}t≥0 , (U ⊆ Rn , || · ||) ñ íåïðåðûâíûì èëè äèñêðåòíûì âðåìåíåìt.

Çäåñü ||u|| = u21 + · · · + u2n åâêëèäîâà íîðìà âåêòîðà u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn .Ïóñòü íåïóñòîå ìíîæåñòâî K ⊂ U ⊆ Rn èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû {ϕt }t≥0 . Ðàññìîòðèì ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó Dϕt (u), êîòîðàÿñîñòîèò èç ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé {y i (t)}ni=1 ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìûDϕt (u) = y 1 (t), ..., y n (t) ,Dϕ0 (u) = I,(17)ãäå I åäèíè÷íàÿ n × n ìàòðèöà.Ïóñòü σi (t, u) = σi (Dϕt (u)), i = 1, 2, .., n ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöûDϕt (u) (ò.å. σi (t, u) > 0 è σi (t, u)2 ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû Dϕt (u)∗ Dϕt (u) ñó÷åòîì èõ êðàòíîñòè), óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâàíèþ: σ1 (t, u) ≥ · · · ≥ σn (t, u) > 0äëÿ âñåõ u ∈ U , t ≥ 0.16 A.Douady and J.