Автореферат (Ренормгрупповой анализ моделей турбулентного переноса и магнитной гидродинамики), страница 3

Данный факт выглядит случайным и может быть всего лишьследствием простой структуры однопетлевых диаграмм. Поэтому константаперенормировки ZA и аномальная размерность γA параметра A, описывающего нелинейность наиболее общего вида, могут содержать члены порядкаg 2 или выше.Четвертая глава посвящена ренормировке составных операторов в модели №1 (ансамбль скорости Авельянеды–Майда).

Показано, что матрицаренормировки дается своим однопетлевым приближением точно; приведенывыражение для матрицы аномальных размерностей и матрицы критическихразмерностей. В частности доказано, что матрица аномальных размерностейявляется нильпотентной, следствием чего является невозможность диагонализации матрицы критических размерностей.

В результате вместо степенной зависимости от внешнего масштаба асимптотика парной корреляционнойфункции является логарифмической.При вычислении аномальных показателей ключевую роль играют критические размерности ∆F составных операторов, построенных целиком изсамих полей θ. В работе рассматриваются скалярные операторыFN, p, m = (θiθi)p (nsθs )2m,N = 2(p + m),(11)где n — единичный вектор, задающий направление анизотропии. Они ренормируются мультипликативно, а константы ренормировки ZN, p, m = ZN, p, m (g, ξ, d)находятся из условия конечности 1–неприводимых функций RFN, p, m(x) θ(x1) . .

. θ(xn) 1-непр =−1−1F(x)θ(x)...θ(x)= ZN,N, p, m1n 1-непр ≡ ZN, p, m ΓN, p, m (x; x1, . . . , xn ). (12)p, mОказывается, что вследствие сильно анизотропного ансамбля скорости Авельянеды–Майда, расходящиеся части всех многопетлевых диаграмм тождественно равны нулю. Таким образом, однопетлевое приближение дает точный ответ.Показано, что в данной модели операторы смешиваются при ренормировке:ΓN, p, m ∝ 2m(2m − 1) · FN, p+1, m−1 + (2p + 8pm − 2m(2m − 1)) · FN, p, m ++ (4p (p − 1) − 2p − 8pm) · FN, p−1, m+1 − 4p (p − 1) · FN, p−2, m+2.(13)11Таким образом, УФ–конечный оператор F R имеет вид F R = F + контрчлены, где контрчлены являются линейной комбинацией самого оператораF и прочих операторов с тем же полным числом полей N , примешивающихсяк F при ренормировке.

Значения матричных элементов матрицы аномальныхразмерностей в неподвижной точке равныA2 · f2(d − 2 + A)A2 · f=−2(d − 2 + A)A2 · f=−2(d − 2 + A)A2 · f=−2(d − 2 + A)∗γN,p+1 = −∗γN,p∗γN,p−1∗γN,p−2· 2m(2m − 1) · ξ;(14a)· (2p + 8pm − 2m(2m − 1)) · ξ;(14b)· (4p (p − 1) − 2p − 8pm) · ξ;(14c)· (−4p (p − 1)) · ξ.(14d)Таким образом матрица критических размерностей оператора FN, p имеет вид∆N p, N p′ = −2(p + m) · δpp′ + γ̂N∗ p, N p′ ,(15)где −2(p + m) является его канонической размерностью, δpp′ — дельта–символ Кронеккера, а γ̂N∗ p, N p′ является матрицей аномальных размерностей вкритической точке.Для решения уравнений РГ необходимо диагонализовать матрицу ∆N p, N p′ ,т.

о. критическими размерностями операторов F ≡ {Fi } являются собственные числа данной матрицы.Оказывается, что для любого N матрица аномальных размерностей (14)является нильпотентной, а матрица критических размерностей (15) являетсявырожденной, причем все ее собственные значения равны −N :λ1 = . . . = λN/2+1 = −2(p + m) = −N.(16)Таким образом, матрица критических размерностей (15) не является диагонализуемой, а приводится к жордановой форме:−2(p + m)10 ...0...0−2(p + m) 1...e...(17)∆F = ...0.0......10...0 −2(p + m)12Диагонализующая матрица UF при этом является верхнетреугольной,u11u12 u13 .

. . . . . u1n uu22. . . . . . u2n−1 0  21.......  u31..UF = .. ... ...,...... . un−1 1 un−1 2un10... ... ...0(18)причем все элементы uik 6= 0 для любых i, k.Решение уравнения РГ для парной корреляционной функции двух составных операторовGik = hFi Fk i(19)имеет видN1 +N2· P(N1 +N2)/2 [ln µr] · Φ Mr, mr, f rξGRik ∝ (µr)∀i, k,(20)где Px является полиномом степени x, µ— ренормировочная масса, M и m —обратные величины к двум большим масштабам, характеризующим случайную силу (1b) и поле скорости, Φ — неизвестная функция трех безразмерныхаргументов.Представление(20), содержащее произвольную скейлинговую функциюΦ Mr, mr, f rξ , описывает поведение корреляционных функций при µr ≫1 и любом фиксированном значении Mr.

Инерционный интервал l ≪ r ≪ L,где L — масштаб накачки энергии, а l — малый масштаб, на котором существенную роль начинает играть вязкость, соответствует дополнительномуусловию Mr ≪ 1. По аналогии с теорией критического поведения, вид функции Φ (Mr) при Mr → 0 изучается с помощью операторного разложенияВильсона.В соответствии с ОР, одновременно́е произведение F1(x′)F2(x′′) двух ренормированных операторов при x ≡ (x′ + x′′ )/2 = const и r ≡ x′ − x′′ → 0представимо в видеXF1(x′)F2(x′′) =C e (r)Fe (t, x),(21)FFeгде коэффициентные функции CFe регулярны по M 2 , а Fe — всевозможныеренормированные локальные операторы, разрешенные симметрией задачи.Применяя ОР к выражению (20) получаем, чтоG = hFN1 , p1 FN2 , p2 i ∝ωe f rξ .∝ ν dG · M −N1 −N2 · P(N1 +N2 )/2 [ln µr] · P(N1 +N2 )/2 [ln Mr] · Φ(22)13При этом главный член в выражении (22) равенωe f rξ ,(23)G ∝ ν dG · M −N1 −N2 · [ln µr](N1 +N2)/2 · [ln Mr](N1 +N2 )/2 · Φe f rξ — неизвестная безразмерная скейлинговая функция, ограниченгде Φная в интервале l ≪ r ≪ L.eFВ заключительном разделе данной главы доказано, что матрица ∆имеет вид (17) для любой размерности семейства операторов N .

Приведеноявное выражение для диагонализующей матрицы U (18): оказывается, чтоэлементы ui1 = 1 для всех i; все остальные элементы являются некоторойдробью, знаменатель которой связан простыми соотношениями со значениями аномальных размерностей γ ∗, см. (14), а в числителе стоят элементытреугольника Паскаля.В пятой главе методы ренормгруппы и операторного разложения применяются к изучению асимптотики корреляционных функций в моделях №2(ансамбль скорости Казанцева–Крейчнана) и №3 (скорость среды описывается с помощью стохастического уравнения Навье–Стокса).

Установлено наличие аномального скейлинга и вычислены соответствующие аномальные показатели в двухпетлевом (для модели №2) и однопетлевом (для модели №3)приближениях.Для моделей №2 и №3 тензорные составные операторы, построенныецеликом из полей θ, имеют видFN, l = θi1 (x) · · · θil (x) (θi(x)θi(x))p ,(24)где l ≤ N является числом свободных векторных индексов, а N = l + 2p —полным числом полей, входящих в данный оператор.Объектами изучения являются одновременные парные корреляционныефункции операторов (24).

Решение уравнения РГ вместе с ОР дают искомуюасимптотику инерционного интервала в видеhFN, l (t, x)FK, j (t, x′)i ∝ (µr)−∆N, l −∆K, j · (Mr)∆N +K, x ,(25)где ∆N +K, x — критическая размерность оператора FN +K, x , обладающего минимальной размерностью и дающего максимальный вклад в ОР.Поскольку для данных моделей ∆θ = −1 + O(ξ), критическая размерность оператора FN, l равна∆N, l = N (−1 + O (ξ)) + γF∗ N, l .(26)Для модели №2 аномальные размерности γF∗ N, l вычислены во втором порядке ξ–разложения. В наиболее интересном с физической точки зрения случае трехмерного пространства ответ имеет вид14(1)(2)γF∗ N, l = ∆N, l · ξ + ∆N, l · ξ 2,(27)∆N, l = −N (N + 3)/10 + l(l + 1)/5,(28)где(1)2N (N − 2) N (N + 3) 22 l(l + 1)(2)−+−∆N, l = −12530375i√82 h3(N − 2)2N (N − 4) + 3l(l + 1) −− 3π +−17515i√19(N − 2)1568 h−− 3π +N (N + 3) − 2l(l + 1) .350285(29)(1)Из выражения (28) для ∆N, l — первого порядка по ξ — следует, чтоаномальные размерности γF∗ N, l (27) удовлетворяют условию иерархии ∆N, l >∆N, l′ при l > l′ , которое удобно записать в виде неравенства ∂∆N, l /∂l > 0.Данный факт означает, что в присутствии крупномасштабной анизотропии ведущий вклад в асимптотику корреляционных функций в инерционноминтервале Mr → 0 дает изотропная «сфера» с l = 0, что является подтверждением гипотезы Колмогорова о локальном восстановлении изотропии инаблюдается как в настоящих экспериментах с турбулентностью в жидкости,так и в модели пассивного скалярного поля.2Из (29) следует, что член O ξ в разложении (27) также удовлетворяетэтому неравенству:(2)∂∆N, l /∂l ≃ (2 l + 1)(0.0053 N + 0.0482) > 0.(30)Это означает, что при включении в расчет второго члена разложения по ξиерархия анизотропных вкладов не только сохраняется, но и усиливается.Проведено сравнение с точным решением в случае парной корреляционной функции (см.

[8]), что подтверждает взаимную согласованность методовРГ + ОР и метода нулевых мод.Для модели №3 аномальные размерности γF∗ N, l вычислены в первом порядке ξ–разложения:∗γN,lгдеA2QN, l= ∗ ∗· ξ + O ξ2 ,u (u + 1) 3d (d − 1)QN, l = −(d − 1)(N − l)(d + N + l) + 2l(l − 1),(31)(32)а неподвижная точка u∗ является решением некоторого кубического уравнения.15Если функция βA тождественно равна нулю, то u∗ = u∗ (A), и в выражении (31) сохраняется зависимость от свободного параметра A.

Если же βAсодержит вклады старших порядков по g, то в уравнение (31) необходимоподставлять весь набор неподвижных точек {g ∗ , u∗, A∗}.При A 6= 0 амплитуда A2 /u∗(u∗ + 1) в (31) является положительнойдля любой физической неподвижной точки. Таким образом, для наиболееважного случая скалярного оператора с l = 0 аномальная размерность γN, lявляется отрицательной, и при фиксированном N монотонно возрастает сростом l. При A = 0 операторы FN, l являются УФ–конечными и не требуютренормировки.Из соотношения (31) следует, что также как и в модели №2, критическиеразмерности удовлетворяют условию иерархии ∆N, l > ∆N, l′ при l > l′.В Заключении диссертации представлены основные результаты и выводы, а также благодарности и список использованной литературы.В приложениях к Главе 1 рассматриваются следствия галилеевойинвариантности, вывод модели магнитной гидродинамики Казанцева–Крейчнана и согласование динамики с условием поперечности полей.В приложениях к Главе 2 рассматривается доопределение Θ–функциипри совпадающих аргументах, доказана невозможность существования двухпространственных масштабов в модели №1, а также приводится вычислениеканонических размерностей в модели №3.В приложениях к Главе 3 рассматриваются выводы и основные следствия теории ренормировки — вид оператора DRG , связь констант ренормировки Z, β– и γ–функций, а также инвариантный заряд и ИК–притягивающая неподвижная точка.БлагодарностиАвтор диссертации благодарит Антонова Николая Викторовича за научное руководство, терпение и неоценимую помощь в ходе выполнения настоящей работы.Автор выражает благодарность Аджемяну Лорану Цолаковичу, а такжеблагодарит преподавателей и сотрудников кафедры физики высоких энергийи элементарных частиц Санкт–Петербургского Государственного Университета и преподавателей школы №292 г.

Санкт–Петербурга, в особенности Дворсона Александра Наумовича, за воспитание любви и интереса к физике вцелом и теоретической физике в частности. Кроме того, автор благодаритсвоих родителей и друзей за участие и моральную поддержку.16Список публикаций по теме диссертации из перечняВАК1. N.V. Antonov, N.M. Gulitskiy. Two–Loop Calculation of the AnomalousExponents in the Kazantsev–Kraichnan Model of Magnetic Hydrodinamics //Lecture Notes in Comp. Science Vol. 7125, p. 128–135, 2012.2.