Автореферат (Ренормгрупповой анализ моделей турбулентного переноса и магнитной гидродинамики)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Санкт-Петербургский государственный университет»На правах рукописиГулицкий Николай МихайловичРенормгрупповой анализ моделейтурбулентного переноса и магнитнойгидродинамики01.04.02 – Теоретическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукСанкт-Петербург – 2014Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственныйуниверситет»Научный руководитель:Антонов Николай Викторович,д.

ф.-м. н., профессорОфициальные оппоненты:Деркачев Сергей Эдуардович, д. ф.-м. н.,Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова РАН,вед. науч. сотр.Чхетиани Отто Гурамович, д. ф.-м. н.,ст. науч. сотр., Институт физики атмосферыРАН им. А. М. Обухова, зав. лаб. геофизической гидродинамикиВедущая организация:Объединенный Институт Ядерных ИсследованийЗащита состоится «»декабря2014 г. вчасов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., В.О.,д. 41/43, ауд. 304С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. ГорькогоСПбГУ и на сайтеhttp://spbu.ru/science/disser/Автореферат разослан «»2014 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт-Петербург, Ульяновская ул., д.1,корпус И, каб.

421.Ученый секретарьдиссертационного совета,д.ф.-м.н.Аксёнова Елена Валентиновна3Общая характеристика работыАктуальность темы исследования. На данный момент теоретическое описание развитой турбулентности и, в частности, аномального скейлинга в ней, в значительной степени остается нерешенной задачей. Эксперименты и численное моделирование показывают, что отклонения от предсказанийклассической теории Колмогорова — Обухова для переноса пассивного скаляра проявляются сильнее, чем для самого переносящего его поля скорости.Кроме того, оказывается, что проблема переноса достаточно просто поддается теоретическому описанию: даже упрощенные модели, описывающие перенос каким–либо «синтетическим» ансамблем скорости с заданной гауссовойстатистикой, воспроизводят многие из аномальных свойств реального турбулентного переноса массы или тепла, наблюдаемые в эксперименте.

Поэтомупроблема турбулентного переноса, сама по себе имеющая важное практическое значение, может рассматриваться как исходная точка при изучении развитой гидродинамической турбулентности в целом.Наиболее значительные успехи на этом пути были достигнуты для модели Крейчнана с нулевым временем корреляции, в которой корреляционнаяфункция поля скорости выбрана в виде hvvi ∝ δ(t − t′ ) · k −d−ξ , где k является волновым числом, d — размерностью пространства, а ξ — произвольнымпоказателем, являющимся характеристикой вещества.

Впервые бесконечныйнабор аномальных показателей был вычислен на основе микроскопическоймодели в рамках регулярной теории возмущений.Степень разработанности темы исследования. Наибольшие успехи при изучении аномального скейлинга в статистических моделях турбулентного переноса были достигнуты с помощью применения методов ренормализационной группы (РГ) и операторного разложения (ОР). При таком подходеаномальный скейлинг является следствием существования составных полей(«составных операторов» в терминологии квантовой теории поля) с отрицательными критическими размерностями. В течение последних лет методыРГ + ОР были применены к различным задачам турбулентного переносапассивных векторных полей — как непосредственно к модели Крейчнана,так и к различным ее обобщениям — конечному времени корреляции, анизотропии, сжимаемости, нелинейности наиболее общего вида и т.

д. Былиполучены аналитические выражения для членов первого и второго порядковξ–разложения. В рамках метода нулевых мод были получены точные ответыдля парной корреляционной функции магнитных полей.Целью диссертационной работы является изучение аномального скейлинга в моделях магнитогидродинамической (МГД) турбулентности метода-4ми теоретико–полевой ренормгруппы и операторного разложения.

Рассматривается приближение, в котором влиянием магнитного поля на динамикужидкости можно пренебречь («кинематическая модель динамо»), тогда проблему можно рассматривать как описание турбулентного переноса пассивного векторного (магнитного) поля в заданном турбулентном течении. Для описания движения проводящей среды привлекаются статистический ансамбльКазанцева–Крейчнана (поле скорости гауссово и имеет нулевое время корреляции), его обобщение на случай сильной анизотропии с одним выделенным направлением (ансамбль Авельянеды–Майда) и стохастическое уравнение Навье–Стокса для несжимаемой вязкой жидкости.

Также рассматривается обобщенная модель для динамики пассивного векторного поля, в которойнелинейность имеет наиболее общий вид, совместимый с галилеевой симметрией (т. н. A–модель). В качестве частных случаев она содержит кинематическую модель динамо и линеаризованное уравнение Навье–Стокса, а также позволяет рассматривать влияние нелокальных вкладов давления. Дляобщности две модели из трех рассматриваются в произвольной размерностипространства.

Необходимо установить наличие либо отсутствие аномальногоскейлинга в асимптотике инерционного интервала парной корреляционнойфункции, а также вычислить соответствующие аномальные показатели.В соответствии с целью исследования для каждой из трех моделей былипоставлены следующие основные задачи:(1) Построить квантовополевую формулировку данной модели и установить ее ренормируемость.(2) Установить наличие ИК–притягивающей неподвижной точки, определяющей асимптотику инерционного интервала.(3) Используя технику РГ и ОР, вычислить аномальные размерности составных операторов, определяющих асимптотическое поведение парной корреляционно функции.Научная новизна.

Все основные результаты диссертации полученывпервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных имеждународных журналах, и включают следующее:(1) Для A–модели в случае, когда поле скорости обладает анизотропиейи описывается статистическим ансамблем Авельянеды–Майда (модель №1),обнаружено нарушение аномального скейлинга. Вместо степенной асимптотики инерционного интервала корреляционные функции обладают логарифмической зависимостью. Показано, что в силу тождественного равенства нулюстарших членов асимптотика корреляционных функций полностью определяется первым членом ξ–разложения.5(2) Для модели МГД в случае, когда поле скорости описывается статистическим ансамблем Казанцева–Крейчнана (модель №2), установлен аномальный скейлинг корреляционных функций в инерционном интервале, проверено сохранение иерархии анизотропных вкладов при включении в рассмотрение второго члена ξ–разложения; вычислены аномальные показатели вовтором порядке разложения по константе связи g.(3) Для A–модели с полем среды, описываемым с помощью уравненияНавье–Стокса (модель №3), аномальные показатели вычислены в первом порядке разложения по константе связи g; установлено наличие аномальногоскейлинга корреляционных функций и иерархия анизотропных вкладов.Теоретическая и практическая значимость.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при описании различных процессов в солнечной короне, ионосфере и межзвездном газе. Результаты работы должны стимулировать экспериментальные исследования по аккуратному измерению аномальных показателей в МГД турбулентности. Развитыеметоды могут быть применены к другим подобным стохастическим задачам,таким как турбулентный перенос тензорных полей, описание турбулентногопереноса с помощью стохастического уравнения Навье–Стокса при наличиианизотропии и сжимаемости и т. п.Методология и методы исследования. В работе активно используются метод ренормализационной группы, в частности для вычисления координат ИК–притягивающих неподвижных точек и асимптотического поведения корреляционных функций, и операторного разложения, позволяющийсвязать асимптотическое поведение парной корреляционной функции составных операторов с асимптотическим поведением самих составных операторов.Достоверность результатов обеспечивается использованием мощного и хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля исравнением с результатами, известными ранее для различных частных случаев.Основные положения, выносимые на защиту:(1) Для модели турбулентного переноса пассивного векторного поля приналичии крупномасштабной анизотропии в случае, когда поле скоростей обладает конечным временем корреляции и описывается стохастическим уравнением Навье–Стокса для несжимаемой вязкой жидкости (модель №3), установлено существование аномального скейлинга в инерционном интервале масштабов, а соответствующие показатели вычислены явно в главном (однопетлевом) приближении ренормгруппы, включая показатели анизотропныхвкладов.