Автореферат (Влияние возмущающей силы, изменяющейся по заданному закону, на движение малого небесного тела), страница 2

Более современные результаты по этой проблемеполучены в работах Беттина [6] и Болтца [7, 8].Многочисленные исследования показали, что, если целью являетсяувеличение большой полуоси орбиты, например, в случае межпланетного перелета, оптимальным является тангенциальное ускорение T. Так, в[18] изучается переход между компланарными круговыми орбитами поддействием T. В [5] исследуется плоский спиральный разгон космическогоаппарата при T = const.6Для получения аналитического решения дифференциальных уравнений могут применяться различные приближенные методы. В работах[11, 10, 9, 20] используется следующий приём: вариация быстрой переменной аппроксимируется отбрасыванием слагаемых, содержащих компоненты ускорения, и в уравнениях для медленных переменных осуществляется переход от дифференцирования по времени к дифференцированию побыстрой переменной.

Эффективным методом исследования эволюции орбит на космогонических временах является осреднение по быстрым переменным. В случае задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением этот метод позволяет исследовать вековое изменение траектории под влиянием добавочного возмущения, но до сих пор применяетсяон редко и только в частных случаях. Например, в [15] используется метод осреднения для вычисления аналитического решения для восходящейорбиты при постоянном тангенциальном ускорении в присутствии земнойтени. В [17] в результате аппроксимирующих преобразований осредненныхвариационных уравнений движения получены осредненные по времени скорости изменения орбитальной энергии и эксцентриситета под действиемтолько T, а затем найдено выражение производной энергии по эксцентриситету.

В [13] компоненты возмущающего ускорения S, T, W представленыв виде рядов Фурье по эксцентрической аномалии, затем уравнения Гауссаосреднены.Из вышесказанного можно сделать вывод, что задача одного притягивающего центра с дополнительным ускорением до сих пор разработананедостаточно, незаслуженно редко для получения аналитического решенияприменяется метод осреднения.Цели и задачи работы. Основной целью диссертации является получение уравнений движения малого тела в центральном поле тяготения поддействием добавочного постоянного по модулю возмущающего ускорения,применение к ним осредняющего преобразования, решение уравнений вновых переменных для ряда частных случаев, применение полученных результатов к движению астероида со встроенным двигателем малой тягии движению искусственного спутника под действием малой возмущающейсилы.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:• Вывести универсальные уравнения типа Эйлера для часто используемыхоскулирующих элементов орбиты, пригодные для любой системы координат, и уравнения типа Эйлера для трех наиболее употребительныхсистем координат — основной (инерциальной) и двух сопутствующих.• Рассмотреть шесть конкретных уравнений, отвечающих трем вышеука-7занным системам отсчета при постоянном модуле возмущающего ускорения, и выполнить осредняющее преобразование уравнений движениятипа Эйлера в первом порядке по малому параметру, соответствующемуотношению возмущающего ускорения к основному.• Получить норму разности оскулирующих и средних элементов.• Исследовать осредненные уравнения и найти все существующие интегралы движения.

Если их окажется достаточное количество, то построитьфазовый портрет системы и тем самым найти все качественно различные траектории. При недостаточном количестве интегралов движениявыявить качественные следствия из интегралов движения.• Применить полученные результаты к движению астероида и ИСЗ.Научная новизна.• Выведены универсальные уравнения типа Эйлера для пятнадцати часто используемых оскулирующих элементов орбиты, получены уравнения типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат –основной (инерциальной) и двух сопутствующих. В такой общей постановке ранее подобные работы не проводились. Уравнения типа Эйлераизменения оскулирующих элементов известны давно и даже предпринимались отдельные попытки записать их в универсальной форме.

Однако представление правых частей через инвариантные (вектор площадей,радиус-вектор, вектор скорости, вектор возмущающего ускорения), а длясвязанных с ориентацией элементов - полуинвариантные (орт k) величины получено впервые. Их основное достоинство - возможность применения в любых системах отсчета, а также удобство программирования всистемах компьютерной алгебры, поскольку во всех уравнениях, кромевектора площадей, встречаются всего лишь три соотношения указанныхвеличин.• Выведены в первом приближении по малому параметру осредненныеуравнения движения в новых переменных и функции замены переменных. Соответствующие функции найдены в замкнутой форме, без использования разложений по степеням эксцентриситета, или наклона, илиотношения радиуса центрального тела к большой полуоси.

Ранее методосреднения для решения подобных задач применялся только в частномслучае – T ̸= 0, остальные компоненты дополнительного ускорения полагались равными нулю перед процедурой осреднения.8• Получены аналитические решения осредненных уравнений движения вполе возмущающего ускорения, постоянного в O1 , в ряде частных случаев.

Эта задача никем ранее не рассматривалась, так что все результатыздесь – новые.Теоретическая и практическая значимость работы. Множествопромежуточных результатов диссертации обладает собственной научнойи практической ценностью.В первой главе приведены дифференциальные уравнения для 15 наиболее популярных элементов орбиты в универсальной форме, из которыхможно легко вывести выражения для шести независимых переменных внужной системе координат, выразив скалярные и смешанные произведениячерез оскулирующие элементы и проекции вектора возмущающего ускорения на оси выбранной системы отсчета.

Далее из универсальных уравненийполучены скорости изменения тех же 15 элементов в трех наиболее частоупотребляемых системах координат.Во второй главе выведены уравнения движения в средних элементахи функции замены переменных для основной и двух сопутствующих системкоординат.В третьей главе получена формула для вычисления нормы разностиоскулирующих и средних элементов, позволяющая оценить влияние периодических возмущений, а также величину погрешности положения малоготела, возникающую за счет простой замены оскулирующих элементов средними.

Оказалось, что среднеквадратичная норма в O1 зависит только откомпонент вектора возмущающего ускорения, большой полуоси и эксцентриситета оскулирующего эллипса.В четвертой главе рассмотрены решения уравнений движения в средних элементах для O1 при e = 0 (круговые орбиты) и в случаях, если хотябы одна из компонент возмущающего ускорения равна нулю. В этих частных случаях система интегрируется в квадратурах. На практике можносвести многие задачи к такому виду при надлежащем выборе системы отсчета. Для первой сопутствующей системы координат осредненные уравнения движения решены методом рядов Ли по степеням времени.Приведенные выше результаты применены к задачам изменения орбиты сближающегося с Землей астероида (АСЗ), снабженного двигателеммалой тяги, и спутника-ретранслятора.

Получена норма разности оскулирующих и средних элементов для нескольких малых тел и ИСЗ. Оцененвременной интервал, необходимый для существенного изменения элементоворбиты АСЗ при малом возмущении. Оказалось, что двигатель малой тяги,действительно, может быть эффективен для предотвращения астероидно-9кометной опасности, особенно в отношении тел диаметром до 100 м.Методология и методы исследования. Вывод универсальных уравнений типа Эйлера, пригодных для любой системы координат, и уравненийтипа Эйлера для конкретной системы координат выполнен аналитическиметодами аналитической геометрии и векторного анализа. Осредняющеепреобразование уравнений движения типа Эйлера осуществлено методомосреднения Крылова–Боголюбова. Средние значения функций, встречающихся при осреднении уравнений типа Эйлера, и неопределенные интегралы, необходимые для нахождения функций замены переменных, а такжерешения частных случаев осредненных уравнений движения для O1 найдены аналитически методами дифференциального и интегрального исчисления.

Радиус сходимости рядов, полученных в главе 2, найден методамитеории функций комплексной переменной.Положения, выносимые на защиту.• Вывод универсальных уравнений типа Эйлера для пятнадцати оскулирующих элементов (из которых 6 независимых). Для независящих от ориентации системы отсчета элементов правые части выражены через инвариантные относительно группы вращений трехмерного пространствавеличины. Для зависящих от ориентации элементов (наклон орбиты косновной плоскости, долгота узла, аргумент перицентра) правые частивыражены через величины, инвариантные относительно группы вращений плоскости. Явные выражения через элементы получены для трехосновных в небесной механике систем отсчета.• Выполнение процедуры осреднения в основной и двух сопутствующихсистемах отсчета.

Получены в замкнутой форме как правые части осредненных уравнений, так и функции замены переменных. В O и O1 всефункции элементарны. В O2 правые части осредненных уравнений содержат также полные эллиптические интегралы. Функции замены медленных переменных содержат также неполные эллиптические интегралы. Соответствующие функции для быстрой переменной содержат также интегралы от неполных эллиптических интегралов. Средствами компьютерной алгебры для них получены представления в виде рядов постепеням эксцентриситета.

Найден их радиус сходимости, оказавшийсяравным единице.• Интегрирование осредненных уравнений. В O1 найдены решения уравнений движения в средних элементах при e = 0 и в случаях, если хотя бы10одна из компонент возмущающего ускорения равна нулю. В этих частных случаях система интегрируется в квадратурах. Для O1 осредненныеуравнения движения решены методом рядов Ли по степеням времени.Степень достоверности и апробация результатов.

Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, а также на научных конференциях: намеждународной конференции «Околоземная астрономия-2013» (Туапсинский р-н Краснодарского края, п. Агой, 7–11 окт. 2013 г.); на 38-х Академических чтениях по космонавтике (г. Москва, РАН, 28–31 янв. 2014 г.); на43-й и 44-й международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2014–2015 гг.); на 1-й всероссийской научнойконференции «Экология и космос» им.

акад. К.Я.Кондратьева (г. СанктПетербург, 7 февраля 2014 г.).Достоверность результатов диссертации обеспечена корректным применением апробированных методов математики и небесной механики, атакже совпадением с результатами исследований других авторов в сопоставимых случаях.Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы (95 наименований) и 3 приложений. Общийобъем диссертации — 191 страница, из них 16 страниц приложений. Работасодержит 9 рисунков и 8 таблиц.Первая глава «Уравнения движения типа Эйлера» содержит в себевывод универсальных уравнений типа Эйлера, пригодных для любой системы координат, и уравнений типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат — основной (инерциальной) и двух сопутствующих.В настоящей работе получены универсальные уравнения движениятипа Эйлера для 15 часто используемых элементов орбиты — 11 инвариантных (кроме средней аномалии эпохи) и 4 полуинвариантных.