Диссертация (Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиПетров Алексей АлексеевичТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И КОНСТРУКЦИИ,СВЯЗАННЫЕ С ГЛОБАЛЬНОЙ ДИНАМИКОЙСпециальность 01.01.04 — «Геометрия и топология»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физ.-мат. наук, профессорПилюгин Сергей ЮрьевичСанкт-Петербург20152ОглавлениеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Основные определения и известные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Отслеживание для систем с аксиомой А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1Базовые понятия и определения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.2Условие 0 -трансверсальности для систем с аксиомой А. . . . . . . . . . . . .161.3Основной результат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.4Локальная конструкция . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .181.5Доказательство основного результата.32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Функции Ляпунова, свойство отслеживания и топологическая устойчивость 422.1Ляпуновские функции и отслеживание . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .422.2Топологическая устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.3Отслеживание в окрестности негиперболической неподвижной точки . . . . .522.3.1Одномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.3.2Случай размерности два: изолированная неподвижная точка . . . . . .552.3.3Случай размерности два: неизолированная неподвижная точка .

. . . .593 Отслеживание в случае кубического касания и в окрестности сепаратрисы 643.13.2Отслеживание в окрестности сепаратрисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643.1.1Предположения о системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.1.2Основной результат . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Отслеживание в случае кубического касания . . . . . . . . . . . . . . . . . . .783.2.1Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.2.2Формулировка основного результата . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .793.2.3Вспомогательные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .803.2.4Доказательство основного результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 94Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953ВведениеДанная диссертация посвящена изучению некоторых связей между свойством отслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств и диффеоморфизмов гладких многообразий и различными объектами, характеризующими динамикуэтих гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (например, типами пересечений устойчивых инеустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова и пр.).Отметим ряд результатов в этом направлении.Известно, что для диффеоморфизма замкнутого многообразия следующие три утверждения эквивалентны (доказательства содержатся в [1], [2], [3], [4], [5]):(1) удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;(2) структурно устойчив;(3) обладает липшицевым свойством отслеживания.Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или (2) (а, следовательно, и всем остальным), называют “системами с гиперболическим поведением”.

В даннойработе мы также будем придерживаться этого названия. Кроме того, слово “система” будетдля нас синонимом термина “гомеоморфизм метрического пространства” или “диффеоморфизм гладкого многообразия” (в зависимости от контекста).В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем, удовлетворяющих аксиоме А. Так,выполнение аксиомы А означает, что неблуждающее множество исследуемой системы достаточно “хорошо устроено” с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, и в нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут бытьвыражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий.

Например, если эти многообразия трансверсальны встандартном дифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладаетлипшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы (т.е.многообразие ) двумерно, то удается получить необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания, накладывая условия на характер пересечения устойчивых и4неустойчивых многообразий (а именно, устойчивые и неустойчивые многообразия должныпересекаться 0 -трансверсально) [6], [7].В главе 1 мы показываем, что если размерность фазового пространства системы больше 2,то никакие разумные обобщения понятия трансверсальности не применимы для получениянеобходимых условий отслеживания.

Результаты, изложенные в этой главе, содержатся вработе [8].Отметим также работу Левовича [9]. В ней, в частности, доказывается, что гладкий диффеоморфизм замкнутого многообразия топологически устойчив, если для него существуеттак называемая невырожденная функция Ляпунова. Отметим, что топологическая устойчивость сильнее, чем свойство отслеживания (и эти свойства эквивалентны для экспансивныхсистем на замкнутых многообразиях, см. [5]).В главе 2 мы исследуем связь между топологической устойчивостью, свойством отслеживания и наличием у системы аналогов функций Ляпунова.

Мы приводим достаточноеусловие наличия свойства отслеживания у гомеоморфизма компактного метрического пространства (само условие формулируется в терминах геометрических объектов, порожденныхдвумя функциями Ляпунова), а также исследуем наличие свойства отслеживания у негиперболических систем с помощью полученных условий. Результаты, изложенные в главе 2,содержатся в работах [10], [11].Как уже отмечалось, для диффеоморфизма замкнутой поверхности , удовлетворяющего аксиоме А, свойство отслеживания эквивалентно 0 -трансверсальности устойчивых инеустойчивых многообразий (данные результаты содержатся в [6] и [7]). В связи с этим представляют интерес следующие два вопроса: можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведенониже) в терминах пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий? И возможен ликакой-нибудь аналог отслеживания при не 0 -трансверсальном пересечении устойчивого инеустойчивого многообразий? В главе 3 мы исследуем эти два вопроса.

Мы показываем, чтодля модельного примера в случае кубического касания устойчивого и неустойчивого многообразий система класса гладкости 1 обладает гельдеровым свойством отслеживания споказателем Гельдера 41 , причем значение показателя Гельдера можно повысить до 13 , еслисистема обладает классом гладкости 2 , а также приводим пример системы класса гладкости 1 с кубическим касанием устойчивого и неустойчивого многообразий, не обладающейгельдеровым свойством отслеживания с показателем гельдера ∈ ( 14 ,1].Мы также изучаем в модельном случае отслеживание в окрестности сепаратрисы, ведущей из седла в седло. Конечно, как следует из результатов [6], в этом случае система необладает классическим свойством отслеживания.

Тем не менее, можно ожидать отслеживаемость псевдотраекторий специального вида, например, в случае, если пошаговая ошибкапсевдотраектории = { }, dist( ( ), +1 ), не превосходит dist( ,) , где , > 0, а —сепаратриса. Мы показываем, что в трубчатой окрестности сепаратрисы псевдотраектории5такого вида могут быть отслежены точной траекторией тогда и только тогда, когда > 1.Основной результат главы 3 содержится в работе [12].6Глава 0Основные определения и известныерезультатыСформулируем определения и основные результаты, которые потребуются нам в даннойработе.Пусть (, dist) — метрическое пространство, : → — гомеоморфизм или —гладкое замкнутое риманово многообразие с римановой метрикой dist, а : → – диффеоморфизм.

В данном тексте словосочетание “динамическая система” и слова “гомеоморфизм” и “диффеоморфизм” (в зависимости от контекста) являются для нас тождественными.Под фазовым пространством системы мы будем подразумевать то метрическое пространствоили многообразие, на котором эта система задана.Траекторией гомеоморфизма (и соответствующей ему динамической системы) будем,как обычно, называть последовательность { () | ∈ Z}, где ∈ . Положительной полутраекторией – последовательность { () | ∈ N ∪ {0}, где ∈ .Пусть > 0.Определение 1. Будем говорить, что последовательность = { ∈ | ∈ Z} —-псевдотраектория отображения , если выполнены неравенстваdist( ( ),+1 ) ≤ ,(0.0.1) ∈ Z.Пусть > 0.Определение 2. Будем говорить, что точка ∈(, )-отслеживает -псевдотраекторию = { }, если выполнены неравенстваdist( (), ) ≤ , ∈ Z.(0.0.2)В дальнейшем, при рассмотрении некоторой фиксированной системы , мы будем простоговорить, что точка -отслеживает псевдотраекторию .7Определение 3.