Автореферат (Топологические свойства и конструкции, связанные с глобальной динамикой)

На правах рукописиПетров Алексей АлексеевичТопологические свойства и конструкции,связанные с глобальной динамикойСпециальность 01.01.04 — Геометрия и топологияАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2015Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.Официальные оппоненты:МАЛЮТИН Андрей Валерьевич, доктор физико-математических наук, ПОМИ РАН, ведущий научный сотрудникОСИПОВ Алексей Валерианович, кандидат физико-математическихнаук, Инвестиционная фирма "ОЛМА", менеджерВедущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций имени проф.

М. А. Бонч-БруевичаЗащита состоится “”2015г. на заседании диссертацион-ного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, В.О. 10 линия 33-35, ауд. 74.СдиссертациейМ.ГорькогоможноознакомитьсяСанкт-ПетербургскогоСанкт-Петербург,УниверситетскаявНаучнойуниверситетапонабережная,7/9библиотекеадресу:инаhttp://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-isvedeniya-o-zashchite.Автореферат разослан “Ученый секретарьдиссертационного совета”2015г.Нежинский В. М.им.199034,сайтеОбщая характеристика работыАктуальность темы.Одной из интенсивно изучаемых в последнее время задач теории диффеоморфизмов гладких многообразий является задача об отслеживании ихприближенных траекторий.Известно, что для диффеоморфизмазамкнутого многообразияследующие три утверждения эквивалентны:(1)удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности;(2)структурно устойчив;(3)обладает липшицевым свойством отслеживания.Часто диффеоморфизмы, удовлетворяющие одному из условий (1) или(2) (а, следовательно, и всем остальным), называют “системами с гиперболическим поведением”.

Кроме того, далее в тексте слово “система” будет длянас синонимом термина “диффеоморфизм гладкого многообразия”.В связи с эквивалентностью пунктов (1) и (3) представляется естественным исследовать условия наличия свойств отслеживания для систем,удовлетворяющих аксиоме А. Так, выполнение аксиомы А означает, чтонеблуждающее множество исследуемой системы достаточно “хорошо устроено” с точки зрения глобальной качественной теории (оно гиперболично, ив нем плотны периодические точки). Изучая такие системы в теории отслеживания, естественно предположить, что условия наличия свойства отслеживания могут быть выражены в терминах, описывающих взаимное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий неблуждающих траекторий.

Например, если эти многообразия трансверсальны в стандартномдифференциально-топологическом смысле (т.е. если выполнено строгое условие трансверсальности), то, как уже было сказано, система структурно устойчива и обладает липшицевым свойством отслеживания. В случае, если фазовое пространство системы(т.е. многообразие)двумерно, то, как бы-ло установлено математиком Казухиро Сакаем (Kazuhiro Sakai), необходимое и достаточное условия наличия свойства отслеживания формулируется в терминах пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий (аименно, устойчивые и неустойчивые многообразия должны пересекаться 0-трансверсально). Поэтому представляют интерес следующие два вопроса:можно ли сформулировать необходимое и достаточное условие свойства отслеживания и, в более частном случае, условия гельдерова свойства отслеживания (соответствующее определение приведено ниже) для систем с аксиомой А в терминах пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий3для произвольных размерностей (подчеркнем еще раз, что для двумерныхсистем и для стандартного свойства отслеживания условие состоит в 0-трансверсальности устойчивых и неустойчивых многообразий)? И возможенли какой-нибудь аналог отслеживания при не 0 -трансверсальномпересече-нии устойчивого и неустойчивого многообразий?Отметим также, что, по большей части, стандартные подходы к исследованию динамических систем позволяют доказать наличие свойств отслеживания гладких систем с гиперболическим поведением траекторий.

В связи сэтим представляется актуальным исследовать вопрос наличия свойства отслеживания у негладких систем (гомеомофризмов метрических пространств).Цель работыЦелью работы является изучение некоторых связей между свойствомотслеживания приближенных траекторий гомеоморфизмов метрических пространств (или, в частном случае, диффеоморфизмов гладких многообразий) иразличными объектами, характеризующими динамику этих гомеоморфизмов(диффеоморфизмов), например, типами пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий, наличием специальных аналогов функций Ляпунова ипр.Методы исследованийОсновными методами, используемыми в диссертации, являются методы теории гладких диффеоморфизмов. Кроме того, используются методы теории отслеживания псевдотраекторий в окрестности гиперболическогомножества, а также метод вспомогательных функций Ляпунова для доказательства наличия отслеживания, разработанный Х. Левовичем и его учениками и модифицированный в работах С.

Ю. Пилюгина и диссертанта.Основные результаты работыОсновные результаты работы заключаются в следующем.1. Показано,чтоестественноемногомерноеобобщениепонятия 0-трансверсальности, введенного Казухиро Сакаем, не является необходимым для наличия свойства отслеживания у диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А.2.

Приведены достаточные условия наличия свойства отслеживания у гомеоморфизмов компактного метрического пространства. Полученные4методы могут быть применены и к случаю негиперболических диффеоморфизмов.3. Показано, что значение показателя Гельдера гельдерова свойства отслеживания диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, зависит нетолько от характера пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий, но и от класса гладкости данного диффеоморфизма.4.

Для диффеоморфизмов поверхностей, удовлетворяющих аксиоме А,но не удовлетворяющих условию 0 -трансверсальности,показано, что,несмотря на отсутствие у них свойства отслеживания, диффеоморфизмможет обладать свойством отслеживания с плавающей точностью.Таким образом, в данной работе исследована связь между наличием свойстваотслеживания и различными свойствами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов (имеющими геометрическую или топологическую природу).Научная новизнаВсе результаты диссертации являются новыми.Теоретическая и практическая ценностьРабота носит теоретический характер.

Полученные результаты проясняют связь между наличием свойства отслеживания у систем и различнымиобъектами, характеризующими динамику этих систем.Аппробация работыРезультаты диссертационной работы были доложены на следующихсеминарах:1. Семинар по динамическим системам в лаб. им. П. Л. Чебышева—Санкт-Петербург, Россия, 2013, 2014, 2015;2. Петербургский топологический семинар им. В.

А. Рохлина — СанктПетербург, Россия, 2015;а также были включены в доклад автора на конференциии3. International Student Conference “Science and Progress”Петербург, Россия, 2014.Публикации5— Санкт-По материалам диссертации опубликованы работы [1-5]. Из них статьи [1–4] опубликованы в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК,ссылки на которые приведены в конце автореферата.Работы [1–3] написаны в соавторстве с научным руководителем. В этихработах С. Ю. Пилюгину принадлежат постановки задач; доказательства основных результатов этих работ проведены соискателем лично.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и спискалитературы.

Список литературы включает 24 названия. Объем диссертации96 страниц.Содержание диссертацииВ главе 0 приведены основные определения и известные результаты.В первой главе исследуется связь между свойством отслеживания итипами пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий дискретныхдинамических систем размерности 3, удовлетворяющих аксиоме А. Доказывается теорема, что условие 0 -трансверсальности не является необходимымдля наличия у системы свойства отслеживания.Пустьгомеоморфизм метрического пространства(,dist),и пусть > 0.Определение 1.

∈ Z}—Будем говорить, что последовательность = { ∈ |-псевдотраектория отображения , если выполнены неравенстваdist( ( ),+1 )Пусть≤ , ∈ Z.(1) > 0.Определение 2.Будем говорить, что точка-псевдотраекторию = { }, ∈ (, )-отслеживаетесли выполнены неравенстваdist((), ) ≤ , ∈ Z.(2)В дальнейшем, при рассмотрении некоторой фиксированной системы,.мы будем просто говорить, что точкаОпределение 3.