Диссертация (Исследование флуктуаций числа нуклонов-участников и отбор событий по центральности в экспериментах по столкновениям ультрарелятивистских ядер), страница 5

Остановимся на более подробном рассмотренииособенностей нуклонҫнуклонных столкновений.1.3.1Нуклонҫнуклонные столкновенияСпецифика нуклон-нуклонного взаимодействия заключается в том, что ихполное сечение неупругого рассеяния in весьма слабо зависит от энергии, то√есть остается практически постоянным в интервале 3 ГэВ < < 100 ГэВ√(in ≈ 40 мбарн) и логарифмически растет при > 100 ГэВ [19].

Для ука-занного диапазона энергии основной вклад в полное сечение рассеяния вноситнеупругое сечение, которое можно представить в виде суммы отдельных вкладов от различных процессов. В частности, одним из таких процессов являетсядифракционное рассеяние. Эти процессы дают малый вклад в общую множественность, поскольку они составляют около 10% всех неупругих процессов, и25в результате каждого дифракционного рассеяния рождается небольшое числочастиц.

В дальнейшем мы будем рассматривать неупругие процессы, имея ввиду только недифракцинные.1.3.2Зависимость числа рожденных частиц от энергииПусть в неупругом нуклон-нуклонном столкновении рождается определенное число заряженных частиц. Средняя множественность заряженных частицможет быть описана феноменологической формулой ([20]):N N(︂)︂ 2= 0.88 + 0.44 ln + 0.118 ln,00(1.3)где 0 = 1 ГэВ, а - энергия в системе центра масс.Кроме того, известна формула для псевдобыстротной плотности множественности заряженных частиц:(︂)︂N N 2|η=0 = 2.5 − 0.25 ln + 0.023 ln.00(1.4)Формула (1.4) получена с помощью параметризации данных эксперимента UA5 по протон-антипротоным () столкновениям, в диапазоне√50 ГэВ < < 2000 ГэВ [21].1.3.3Профильная функцияРассмотрим нуклонҫнуклонное столкновение при энергии√ и прицельномпараметре (см.

рис 1.2).Согласно [19] введем понятие вероятности неупругого нуклон-нуклонноговзаимодействия:)︁(︁() = 1 − |ıχ(b) |2 ≡ ()in .(1.5)Функция (), определенная уравнением (1.5), есть нуклон-нуклонная профильная функция, () - фазовый сдвиг налетающего ядра.26Рис. 1.2: Нуклон-нуклонное столкновение в плоскости поперечной к оси столкновения с прицельным параметром .Интеграл от () по всей области изменения прицельного параметра долженбыть равен∫︁2 () = in .Из условия (1.6) следует нормировка для профильной функции:∫︁2 () = 1 .(1.6)(1.7)Если рассматривать столкновение пучков без поляризации, то профильнаяфункция будет зависеть только от величины прицельного параметра.1.3.4Нуклон-ядерные столкновенияПрофиль ядерной плотностиНачнем рассмотрение модели Глаубера с простого случая, когда протон налетает на ядро. Предположим, как это делается в [19], что вероятность обнаружить нуклон в ядре с атомной массой на расстоянии от центра ядра r равнануклонной плотности деленной на число нуклонов.

При больших значениях ,например для свинца, нуклонная плотность может быть описана распределением Вудса-Саксона:0[︀ 0 ]︀)︀ , 1 + exp r−ra)︀(︀с параметрами: 0 = 1.121/3 − 0.86−1/3 фм,A () =(︀(1.8) = 0.54 фм,0 = 0.17 фм−3 . Параметр 0 описывает плотность ядерного насыщения.27Нуклон-ядерная профильная функция A () для ядра определяется из геометрических соображений (см. рис 1.3) и предположения, что положение нуклонов в ядре , то есть конфигурация нуклонов, во время процесса столкновенияне изменяется.Рис.

1.3: Нуклон-нуклонное столкновение в плоскости, поперечной оси столкновения , с прицельным параметром . ⃗A ҫ вектор, обозначающий положениенуклонов в ядре относительно его центра.Таким образом, для профильной функции A () получается выражение:A (⃗) =∫︁⃗A∫︁)︁⃗ ⃗A A (⃗A , ⃗A ) ⃗A − .2(︁(1.9)Предположим, что вектор ⃗A , расположенный в плоскости прицельного параметра определяет положение нуклонов в ядре относительно центра ядра.

Тогдадля плотности распределения нуклонов имеем:)︂(︂√︁⃗2A + ⃗A2 .A (⃗A , ⃗A ) = AУсловие нормировки получим из уравнения (1.7):∫︁2⃗ A (⃗) = 1 .(1.10)(1.11)Независимые столкновенияСогласно работе [19], величина A (⃗)in есть вероятность, с которой происходит одиночное нуклон-нуклонное столкновение в нуклон-ядерном столкновении с прицельным параметром ⃗. Если рассматривать все возможные нуклоннуклонные столкновения при нуклон-ядерном столкновении, как полностьюнезависимые и характеризуемые одинаковым сечением рассеяния, можно легко28определить вероятность числа таких столкновений. Она выражается биномиальным распределением с биномиальный коэффициентом An .]︁n]︁A−n [︁[︁n⃗⃗⃗A ()in .

(, , ) = A 1 − A ()in(1.12)Из уравнения (1.12) можно получить среднее число бинарных нуклоннуклонных столкновений:(, ⃗) =A∑︁ (, , ⃗) = A (⃗)in .(1.13)n=1Аналогично можно найти:2 (, ⃗)=A∑︁2 (, , ⃗) .(1.14)n=1Отсюда получаем значение дисперсии:]︁[︁22⃗⃗⃗⃗⃗△ (, ) = (, ) − (, ) = A ()in 1 − A ()in .2(1.15)Условие A (⃗)in ≪ 1 хорошо выполняется для профиля ядерной плотности.Для ≪ уравнение (1.12) может быть аппроксимировано распределениемПуассона: (, , ⃗) =[︁(, ⃗)]︁n[︁]︁⃗exp −(, ) .(1.16)!Так как величина, на которую изменяется нуклон-нуклонная профильнаяфункция, как правило, меньше, чем величина изменения ядерной плотности,можно заменить (⃗A − ⃗) в уравнении (1.9) на дельтаҫфункцию (2) (⃗A − ⃗).

Вэтом приближении A (⃗) представляет собой ядерную плотность в проекции наплоскость прицельного параметраA (⃗) =∫︁⃗A A (⃗, ⃗A ) ,а среднее число столкновений будет равно:∫︁⃗(, ) = in ⃗A A (⃗, ⃗A ) .(1.17)(1.18)291.3.5Ядро-ядерные столкновенияОпределим профильную функцию для ядро-ядерного столкновения, как этоделается в [19].

Геометрическое рассмотрение, показанное на рисунке (1.4), приводит к формуле для профильной функции:∫︁∫︁∫︁∫︁AB (⃗) = ⃗A 2⃗A A (⃗A , ⃗A ) ⃗B 2⃗B B (⃗B , ⃗B )(⃗ + ⃗B − ⃗A ) , (1.19)с соответствующим условием нормировки:∫︁2⃗ AB (⃗) = 1 .(1.20)AB (⃗)in показывает среднюю вероятность нуклон-нуклонного столкновенияпри столкновении ядер с прицельным параметром ⃗.В предельном случае, когда (⃗) → (2) (⃗), можно записать AB (⃗) в виде:∫︁∫︁∫︁∫︁2AB (⃗) = ⃗A ⃗A A (⃗A , ⃗A ) ⃗B B (⃗A −⃗, ⃗B ) = 2⃗A A (⃗A )B (⃗A −⃗) ,(1.21)или в более симметричном виде:(︂)︂(︂∫︁12AB (⃗) = A ⃗ + ⃗ B ⃗ −21⃗2)︂.(1.22)Рис.

1.4: Ядро-ядерное столкновение в плоскости, поперечной оси z, с прицельным параметром ⃗. ⃗A и ⃗B ҫ векторы, обозначающие положение нуклонов вядрах относительно их центров.С помощью ядро-ядерной профильной функции AB (⃗) можно вычислитьвероятность упругих бинарных нуклон-нуклонных столкновений в ядроядерном столкновении с прицельным параметром ⃗. Аналогично, как и при30нуклон-ядерном столкновении (1.12), получим]︁n]︁AB−n [︁[︁n⃗⃗⃗AB ()in . (, , ) = AB 1 − AB ()in(1.23)(, ⃗) = AB (⃗)in ,(1.24)Результаты вычислений для среднего числа столкновений (, ⃗) и дисперсии △2 (, ⃗) имеют аналогичный вид, подобный уравнениям (1.13) и (1.15),напримердля ≪ уравнение (1.23) можно аппроксимировать распределением Пуас-сона.1.3.6Раненые нуклоныМодель Глаубера позволяет также вычислить число нуклонов-участников.Чтобы быть более точными, определим различие между участниками, упруговзаимодействующими и участниками, которые взаимодействуют только неупруго.

Согласно статье [22], последние и называются ранеными нуклонами.В соответсвии с работой [19], укажем, что вероятность того, что нуклон ядра B ранен, есть:⃗AA (⃗BA , )1 , ..., ⃗i , , ⃗≡A (⃗Bi )=1−A [︁∏︁j=1]︁AB⃗1 − ( + ⃗i − ⃗j )in .(1.25)Теперь прицельный параметр ⃗ есть расстояние между траекториями центровядер, как показано на рис (1.1) и (1.4).После интегрирования по различным конфигурациям нуклонов в ядре В получается вероятность того, что B нуклонов в ядре В претерпевают, по крайнеймере, одно столкновение:[︁]︁B−ωBωBA ⃗A ⃗A1− (B , , , ⃗A,...,⃗,)=,)×,...,⃗(,⃗1AA1B[︁]︁ωBAA ⃗× (, ⃗1 , ..., ⃗A , ),(1.26)31где∫︁)︁(︁A ⃗BA= ⃗ B (⃗ ) ⃗ , , ⃗1 , ..., ⃗A , =⎛⎞∫︁A∏︁]︀[︀⎠.1 − (⃗B − ⃗A)= 2⃗B B (⃗ − ⃗B ) ⎝1 −inj⃗(, ⃗AA1 , ..., ⃗A , )2 BBj=1Среднее число раненых нуклонов в ядре (при фиксированном прицельномпараметре ) есть:⃗AB (, , ⃗AA , )1 , ..., ⃗=B∑︁B ωB =1=B∑︁ωB =1(︁⃗AB , , , ⃗AA, 1 , ..., ⃗)︁=(1.27)⃗B BωB (1 − )B−ω · ωB = · (, ⃗AA1 , ..., ⃗A , ) .Усредняя по конфигурации нуклонов в ядре , получим:∫︁∫︁A2 AAB (, , ) = ⃗1 A (⃗1 )...

2⃗AA) ×A A (⃗⎛⎞∫︁A∏︁ [︀]︀⎠=1 − (⃗B − ⃗A2⃗B B (⃗ − ⃗B ) ⎝1 −j )inj=1=∫︁(︃[︂2⃗B B (⃗ − ⃗B ) 1 − 1 −∫︁2⃗A A (⃗A )(⃗B − ⃗A )in]︂A )︃.Эту формулу можно упростить, если заменить нуклон-нуклонную профильную функцию дельта-функцией Дирака (⃗) → (2) (⃗) . ТогдаB (, , ⃗) = ∫︁(︁)︁ (︁]︀A )︁[︀BB⃗.

⃗ B − ⃗ × 1 − 1 − A (⃗ )in2 B(1.28)Поскольку число раненых нуклонов при столкновении ядер и представляетсясуммой раненых нуклонов в каждом из ядер, то отсюда получаем∫︁)︁(︁B2⃗⃗(, , ) = ⃗A ( − ⃗) × 1 − [1 − in B (⃗)] +∫︁)︁(︁A2⃗+ ⃗B ( − ⃗) 1 − [1 − in A (⃗)] .32Наконец, усредняя по различным прицельным параметрам, приходим к следующему выражениюAB =∫︀AB/2⃗)2⃗ · (, , ⃗) · (in.∫︀AB22⃗⃗ ( / )(1.29)inЕсли исключить упругие столкновения:∫︀ 2 ⃗ · (, , ⃗)ABin = ∫︀.AB /2⃗)2⃗(in(1.30)Заметим, что если в уравнение (1.30) положить = = 1, то получится ABin = 2. Это вполне ожидаемый результат для нуклон-нуклонного столкновения. Необходимо заметить, что число бинарных нуклон-нуклонных столкновений может сильно отличаться от числа раненых нуклонов.