Автореферат (Точные решения в теории локализованных волн)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиТагирджанов Азат МухаммедовичТочные решения в теории локализованных волнСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2016Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательномучреждении высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКиселев Алексей ПрохоровичОфициальные оппоненты: Казаков Александр Яковлевич,доктор физико-математических наук, профессор,Cанкт-Петербургский государственный университетпромышленных технологий и дизайна,зав.

кафедрой высшей математики и информатикиФиалковский Игнат Витальевич,кандидат физико-математических наук,Федеральный Университет АБЦ (Бразилия),профессорВедущая организация:Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им.

Н.В. ПушковаРоссийской академии наукЗащита состоится «2» июня 2016 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212.232.24 на базе Санкт-Петербургского Государственного Университета по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43,ауд. 304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.

ГорькогоСПбГУ и на сайте http://disser.spbu.ru.Автореферат разослан «Ученый секретарьдиссертационного советаД. 212.232.24, д. ф.-м. н.»2016 года.АксеноваЕлена ВалентиновнаОбщая характеристика работыАктуальность темы исследования. Локализованные решения линейныхуравнений теории распространения волн давно вызывают интерес и в математике (как чистой, так и прикладной), и в разнообразных приложениях, средикоторых оптика, радиофизика, телекоммуникации и многое другое.Основой описания линейных волновых процессов является волновоеуравнение с постоянной скоростью распространения := + + − −2 = 0, = > 0.(1)Особое значение для приложений имеют гармонические по времени решения.Они имеют вид (,,,) = − (,,), где = > 0, а удовлетворяет уравнению Гельмгольца + + + 2 = 0, = /.(2)Интерес к построению локализованных решений уравнений (1) и (2) можно проследить начиная с работ Бейтмена начала XX века.

В 1960-е годы развитие лазерной техники послужило мощным толчком к исследованию гармонических повремени полей. Первые результаты были получены в рамках коротковолновогоприближения методом параболического уравнения [10], восходящим к работамЛеонтовича и Фока середины 1940-х годов. Особенное внимание уделялось такназываемой осесимметрической фундаментальной моде, бегущей вдоль оси ,(︂)︂12 2 =exp Ψ − 2 , Ψ = +,(3) − Δ⊥ Δ2⊥√︀где = 2 + 2 и√︂2( 2 + 2 )Δ⊥ =.(4)Выражение (3) является приближенным решением уравнения (2) в параксиальной области, определяемой неравенством 4 /| − |3 ≪ 1. При ≫ 1(5)оно описывает поле, гауссовски локализованное в окрестности оси .

Здесь Δ⊥характеризует ширину пучка.Следом за этим Изместьев в 1970 г. и Дешамп в 1971 г. независимо построили простое точное решение уравнения Гельмгольца, демонстрирующее гауссовскую локализацию в окрестности оси [11, 12]. Отправной точкой была√︀ функция Грина для уравнения Гельмгольца = exp()/, где = 2 + 2 + 2 , удовлетворяющая неоднородному уравнению + + + 2 = (,,)3(6)с точечным источником = −4(r), r = (,,), сосредоточенным в началекоординат. Сдвиг точки источника на мнимую постоянную переводит функциювexp (* )* =,(7)*где√︁* = 2 + 2 + ( − )2 , = > 0(8)— “расстояние до комплексного источника”.

Поля “комплексных источников” иих двумерные и нестационарные аналоги нашли применение в разных разделахтеории дифракции и распространения волн, в численных методах, в построениивейвлетов, в моделировании излучателей упругих волн и ряде других вопросов.Рассматривались также мультипольные обобщения и статические версии.Эти решения изначально были окружены некоторым ореолом таинственности как “возбуждаемые источниками в комплексном пространстве”. В рядеработ [12, 13] говорилось, что в результате комплексификации источник “удаляется в комплексную область”.

Из работ [14, 15] можно было бы сделать вывод,что источник “размазывается” по некоторой поверхности с краем в физическомпространстве, однако дело не зашло дальше качественного обсуждения.Однозначное определение * требует проведения разреза. В результате* имеет скачок на некоторой поверхности — антенне, на которой сосредоточена обобщенная функция — распределение токов, = supp .

При любомвыборе разреза антенна имеет край = {r : 2 + 2 = 2 , = 0}. Вопрос обантеннах и, в особенности, о токах оставался непроясненным.Аналогично возникает комплексифицированная нестационарная сферическая волна [15] (C )=, C = * − ,(9)*где форма волны (·) — произвольная функция. Выбором (·) можно добитьсялокализованности решения (в том числе гауссовской). Функция (9) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению = (,,,),(10)где нестационарное распределение токов сосредоточено на некоторой антенне , вид которой, как и в гармоническом по времени случае, определяетсявыбором ветви комплексного корня, входящего в * .

Антенны и распределениетоков на них не рассматривались.Другим, нежели теория “комплексного источника”, результатом развитиятеории приближенных гармонических решений, основанной на методе параболического уравнения, стало построение простых нестационарных точных реше4ний, являющихся спецификациями комплексифицированных решений Бейтмена [16],12= (B ), B = +, = > 0,(11) − − также содержащих произвольную форму волны (·). Здесь = − , = + (12)— характеристические переменные. Путем подходящего выбора формы волныпостроены решения волнового уравнения, описывающие гауссовски локализованные волновые пучки и волновые пакеты, см., например, [18].До сих пор рассматривались только функции без особенностей; тогда (11)удовлетворяет однородному волновому уравнению (1).

Если (·) имеет, например, полюс первого порядка, то волновое поле сингулярно в точке, бегущей соскоростью вдоль оси . Возникает вопрос, будет ли такое решение удовлетворять неоднородному уравнению с некоторым бегущим точечным источникомили же оно будет удовлетворять однородному уравнению и служить иллюстрацией теории распространения волновых фронтов по Хёрмандеру [17].Цели и задачи диссертационной работы:1. Явное описание антенн и токов для трехмерного гармонического по времени “комплексного источника” в общей ситуации.2.

Явное описание антенн и токов для трехмерного нестационарного по времени “комплексного источника”. Построение гауссовского волнового пакета на основе “комплексного источника”.3. Явное описание антенн и токов для двумерного гармонического “комплексного источника”.4. Исследование бейтменовского решения однородного волнового уравнения,имеющего степенную сингулярность в бегущей точке.Для решения поставленных задач использовались асимптотические методы, методы теории обобщенных функций и теории функций комплексной переменной.Научная новизна.

В диссертационной работе впервые дано явное описание источников в вещественном пространстве, соответствующих полям “комплексных источников”. В рамках теории “комплексного источника” построеныновые нестационарные решения волнового уравнения, обладающие гауссовскойлокализацией. Построен пример решения однородного волнового уравнения,имеющего степенную сингулярность в бегущей точке.

Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.5Положения, выносимые на защиту:1. Получены явные описания антенн и выражения для токов на них, возбуждающих гармонические поля “комплексного источника” в случае трех пространственных переменных.2. Результаты, полученные для гармонического “комплексного источника”,обобщены на нестационарный режим.

В рамках теории “комплексного источника” построено решение волнового уравнения с тремя пространственными переменными, описывающее гауссовский волновой пакет.3. Получены явные описания антенн и выражения для токов, возбуждающихгармонические поля “комплексного источника” в случае двух пространственных переменных.4. Исследовано построенное в рамках теории Бейтмена решение волновогоуравнения, имеющее степенную сингулярность в бегущей точке. Доказано,что это решение удовлетворяет однородному волновому уравнению.Теоретическая и практическая значимость. Работа направлена на развитие теории локализованных решений волнового уравнения, имеющей многочисленные приложения. Результаты диссертации вносят ясность в остававшиеся без надлежащего внимания вопросы теории “комплексного источника”.

Спрактической точки зрения эти результаты позволяют в принципе, управляя распределением токов на антеннах, возбуждать гауссовски локализованные поля, вчастности, излучать их преимущественно в одном направлении.Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре кафедры Высшей математики и математической физикиСПбГУ, на Санкт-Петербургском семинаре по теории дифракции и распространения волн в ПОМИ им. В.А.

Стеклова РАН, на Санкт-Петербургском семинарепо теоретической и прикладной акустике в ИПМАШ РАН, а также на следующих конференциях:– Международные конференции “Days on Diffraction” (Санкт-Петербург,2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014);– Международные конференции “Progress in Electromagnetics ResearchSymposium (PIERS)” (Москва, 2009; Стокгольм, 2013);– Международная конференция “Optics, Photonics and Metamaterials” (Харьков, 2009);– Международная конференция “Фундаментальные проблемы оптики”(Санкт-Петербург, 2010);6– Отраслевая научная конференция “Технологии информационного общества” (Москва, 2011).Публикации по теме диссертации.