Отзыв на автореферат 2 (Структурные аппроксимации временных рядов)

ОТЗЫВ на автореферат диссертации Звонарева Никиты Константиновича «Структурные аппроксимации временных рядов», представленной на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07-вычислительная математика. Г!редметом диссертационной работы Звонарева Н. К. является задача наилучшей аппроксимации временных рядов (вещественных векторов) так называемыми временными рядами конечного (малого) ранга, где ранг ряда определяется как ранг ганкелевой матрицы построенной по ряду. Таким образом, задача малоранговой аппроксимации эквивалентна малоранговой аппроксимации ганкелевых матриц с сохранением ганкелевой структуры, что отмечено автором в работе. Структурная аппроксимация ганкелевых матриц является актуальной задачей в прикладных научных исследованиях, таких как обработка сигналов и изображений, идентификация и понижение порядка динамических систем.

вычислительная квантовая химия. В обработке сигналов всплеск интереса к задачам структурной аппроксимации вызван недавними работами по теме сверхразрешения (ьцрепезо!апов) Э. Кандеса и соавторов. В диссертационной работе задача рассматривается в контексте оценки сигнала в модели «сигнал+ шум». Задачи структурной аппроксимации не имеют в общем случае явного решения, что обуславливает необходимость разработки эффективных методов нелинейной оптимизации. Современные алгоритмы основаны на подходах переменной проекции (Чаг)аЫе Рго)есйоп) и попеременных проекций !А11егпаг)пя Рго)ес1юпв); второй подход восходит к классическому алгоритма Кэдзоу.

В работе соискатель предлагает существенное развитие данных подходов и новые алгоритмы для решения задачи структурной аппроксимации. Все вынесенные на защиту результаты являются новыми. К наиболее интересным и практически важным результатам работы стоит отнести: 1) Новый алгоритм, основанный на итерации Гаусса-Ньютона. и имеющий следующие преимущества по сравнению с подходом переменной проекции, предложенным в работах И. Марковского и соавторов. а) Специальная параметрнзация многообразия рядов фиксированного ранга и явный вид соответствующего касательного подпространства !'Теоремы 1-3 в автореферате) позволяют существенно упростить итерацию Гаусса-Ньютона.

!э) Использование оригинального метода проекции на образ линейного оператора (а не на ядро, как в исходном подходе переменной проекции) повышает точность вычислений и позво иет их ускорить для нового класса весов (Алгоритм 1 в автореферате). 2) Эффективная модификация алгоритма Кэдзоу„основанная на: а) использовании взвешенной нормы Фробениуса, допускающей быструю реализацию итераций для ленточных весов; Ь) приближении нормы в пространстве рядов взвешенными нормами Фробениуса (Теоремы 5-6 в автореферате).

Диссертационная работа выполнена на высоком научном уровне. В работе используется целостный подход„включающий в себя быстрые алгоритмы линейной алгебры, анализ обусловленности операций, исследование статистических свойств оценок для модели «сигнал+шум» (Теорема 4, Лемма 1 в автореферате), численные эксперименты на основе статистического моделирования, примеры обработки реальных данных. Данные аспекты в работе хорошо сбалансированы и позволяют оценить преимущества разработанных методов. В то же время следует указать ряд замечаний по автореферату: 1. Автор предпочитает использование англоязычных терминов и аббревиатур. Даже для основной задачи повсеместно используются термин и аббревиатура Нагйе1 з1гисгцгес1 1оъ-гий арргохппабоп (НЯ.КА); термин ЧапаЫе Рго)есбоп тоже не переведен. С одной стороны, этот факт вполне объясним нехваткой русскоязычной литературы по теме диссертации, что в очередной раз подчеркивает актуальность исследования.

С другой стороны, автор мог бы предложить свой вариант русскоязычной терминологии, который мог бы использоваться в дальнейшем. К сожалению, в работе не подчеркнуты связи задачи НЯ).ВА с некоторыми друтими разделами вычислительной математики, как то: рациональная аппроксимация (например, аппроксимации Паде), малоранговая аппроксимация симметрических тензоров, аппроксимация тригонометрическими полиномами. Эти связи могли бы расширить область применимости результатов диссертационной работы. Хотя в целом результаты диссертации изложены в автореферате достаточно подробно, обзор пятой главы оформлен в весьма сжатом стиле, несмотря на то, что она занимает немногим менее четверти основного текста диссертации. Бьшо бы уместно добавить графики с результатами некоторых численных экспериментов из пятой главы, чтобы проиллюстрировать свойства и достоинства предлагаемых методов.

В автореферате весьма кратко упомянута программная реализация разработанных алгоритмов. Имело бы смысл дать больше информации о реализации, что было бы полезно для потенциальных пользователей. Из обзора четвертой главы не ясно, как именно задача аппроксимации весов связана с исходной задачей структурной аппроксимации, и можно ли количественно охарактеризовать выигрыш от наилучшей аппроксимации весов. Автореферат содержит ряд опечаток. Например, на стр. 5 используется термин Чаг1аЫе рго)ес11оп, а на стр.

11 1и далее) он же присутствует как ЧаПаЫе Судя по автореферату„опубликованным статьям и тексту диссертации, работа «Структурные аппроксимации временных рядов» отвечает требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям по специальности 01.0!.07, а ее автор Звонарев Н.

К. заслуживает присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук. Научный сотрудник национального центра научных исследований Франции, кандидат физико-математических ич Константин Дмитриевич «б!7» мй-~~~ 2018 года спаг8е Йе геспегспе Сепгге пайопа! г!е 1а геспегспе нау~щый сотрудник Национальный центр научных исследований Франции (НЦНИ) Центр исследований в области автоматики Нанси Доллсностгн Г)рганизаиия: зс1епг1!!цпе !СИКА) Сев!ге г1е Кес!гегс!те еп Лаборатория: Ацгощайг!пе г!е Хансу !СКАХ) Почтовый адрес: СКАХ-СХКБ Кампюс Сьянс — ВР 70239 Вандевр-ле-Нанси 54506 Франция +33751885419 Телефон; Электронная почта Веб-вайт; !гоп»гав!1п.цзеч!спГацп!ч-!огга1пеХг 'пггрд~чЗ.сгап.цпЬ-!огга!неХгЛгопзгапг!и.

цзен)сЬ Рго)ее!!оп; на стр. 1 присутствует опечатка в слове «специальность»; в алгоритме 1 на стр. 12 содержится слово гешгп. 7. В работе, по сути, не рассматривается случай нулевых весов (пропущенных наблюдений), который часто возникает в практических задачах. Также в работе не обсуждается применимость предложенных методов для многоуровневых ганкелевых матриц, возникающих в важных задачах обработки изображений.

Указанные выше замечания, в основном формальные, не влияют на корректность результатов, полученных соискателем и не умаляют научного вклада работы. Работа представляет собой законченное научное исследование, заключающееся в развитии новых эффективных вычислительных методов для структурной аппроксимации временных рядов. Полученные результаты имеют высокую научную ценность и практическую значимость. Результаты апробированы на международных конференциях и семинарах, опубликованы в нескольких рецензируемых статьях; исследования частично выполнены в рамках гранта 1'ФФИ. Нссомнснна актуальность, псрспективность н научная востребованность работы. .