Отзыв научного руководителя (Спектральные асимптотики в задачах с самоподобным весом)

Отзыв научного руководителя о диссертации Н.Б. Растегаева "Спектральные асимптотики в задачах с самоподобным весом" Исследованию спектров краевых задач с сингулярным весом посвящена обширная литература как отечественных, так и зарубежных авторов. Поскольку в общем случае трудно надеяться па получение продвинутых результатов, основные усилия здесь сосредоточены на задачах. в которых весовая функция обладает дополнителыюй структурой — самоподобие,м,.

Эти задачи тесно связаны с операторами на фрактальных структурах — чрезвычайно популярной тематикой в последние десятилетия. Кроме самостоятельного интереса, у этих задач имеются приложения в теории гауссовских случайных процессов. Поэтому тема диссертации является актуальной. Для задачи Штурма — Лиувилля с самоподобным весом прорывный результат был получен в работах К1нап11 — 1.арк1пв и Соломяка-Вербицкого в 1990х годах.

Было показано, что главный член асимптотики собственных чисел имеет классический (степенной) вид в случае неарифметичегкого еамоподобия весовой меры. В случае же пеари4метически саллоподобного веса главный член асимптотики содержит периодический по 1и® множитель. Далее было показано (А.И. Назаров), что этот множитс.ль — непрерывная функция, и высказана. гипотеза, что оп не может вырождаться в константу ни для какой арифметически самоподобной сингулярной меры.

Эта гипотеза была подтверждена, для "ровной" (канторовской) меры в работах Владимирова — Шейпака, в которых было открьгго свойство спектпраяьной периодичнотпи для задач Неймана и Робэна,. Более того, с помощью полученного ими аппроксимационного критерия сингулярности меры авторам удалось установить тонкую структуру изучаемой периодической функции. В диссертации Н.В.

Растегаева гипотеза о непостоянстве периодической компоненты в асимптотике спектра подтверждена и результат Владимирова;Шейпака о структуре этой компоненты установлен для произвольных арифметически самоподобных мер с непустыми промежуточными интервалами. Это дает основания надеяться па закрытие проблемы в обозримом будущем. Отмечу, что для самоподобия с резонансом 1: 1:: 1 диссертантом установлена спектральная квазипериодичноеть для задачи Робэна (это обобщение свойства спектральной периодичности введено в диссер- тации). В слу'1ае Об1цего рез01ганса пи Одно из этих свойств места не име- ет., и задача решается с помощью вс.сьма тонкого анализа связи между спектрами задач на отрезке и на подотрезках. Кроме того„ в диссертации изучена. спектральная асимптотика теизорного произведения операторов с почти регулярными маргинальными асимптотиками (примерами таких операторов как раз являются операторы краевых задач с самоподобными весами).

Эта задача решена при всех возможных комбинациях параметров, с наложением лишь в некоторых случаях небольших технических ограничений, для чего потребовалась довольно изощренная аналитическая техника. Научный руководитель, д.ф.-м.н., профессор А. И. Назаров Подпись НАЗАРОВА Александра Ильича заверяю: 1 . ' ',".У О ТОБЕРЯЮ ' / 1ПОИОа1НИй' О1РО1тООО ГОМИ РАН '', '.

~ —.6':=» — -~'-' —.-==зяГ ' Н.В. Растегаев проявил в работе самостоятельность, настойчивость и изобретательность и сумел получить интересные результаты, свидетельствующие о квалификации автора. .