Отзыв официального оппонента (Решение минимаксных задач размещения на плоскости с прямоугольной метрикой на основе методов идемпотентной алгебры)

ОТЗЫВ официального оппонента на диссертационную работу Плотникова Павла Владимировича "Решение минимаксных задач размещения на плоскости с прямоугольной метрикой на основе методов идемпотентной алгебры", представленную к защите на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальностям 05.13.17 — "Теоретические основы информатики" и 01.01.09 — "Дискретная математика и математическая кибернетика" Актуальность избранной темы Во многих областях возникают оптимизационные задачи, решение которых упрощается, если их описать на языке тропической математики. Примером таких задач могут быть задачи оптимального размещения объектов в некоторой области.

Это могут быть задачи размещения центров сбора и обработки данных, собранных системами видеонаблюдения в здании, проектирования систем автоматического пожаротушения в зданиях, оптимального размещения объектов экстренной помощи населению в городах, размещения компонентов на микросхеме и другие важные практические задачи. В этих задачах размещения для вычисления расстояния между объектами часто разумно использовать прямоугольную метрику (11- метрика). Важно отметить, что только простейшие из таких задач имеют аналитические решения, а более сложные задачи можно решать только численно. Такой подход не позволяет получить все решения аналитически в виде явных формульных зависимостей, удобном для дальнейшего анализа и непосредственных расчетов.

Таким образом, существует необходимость в разработке новых методов для получения аналитических решений таких задач с использованием методов тропической математики. Вышесказанное позволяет утверждать, что тема диссертационного исследования "Решение минимаксных задач размещения на плоскости с прямоугольной метрикой на основе методов идемпотентной алгебры" обладает актуальностью.

Степень обоснованности научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации Автором проведен глубокий анализ результатов, полученных в области тропической математики. Выяснилось, что полученные ранее в этой области результаты не позволяют находить аналитические решения минимаксных задач размещения объектов с прямоугольной метрикой.

Поэтому требуется разработка новых математических методов для решения этих задач. С этой задачей автор диссертации успешно справился, при этом он методически корректно использовал известные методы научных исследований, чем обеспечил высокую обоснованность результатов. В диссертационной работе изучалась минимаксная задача размещения на плоскости с прямоугольной метрикой (задача Ролса), которая была сформулирована на языке идемпотентной алгебры.

Задача решалась путем методически грамотного сведения задачи размещения к экстремальным задачам, решение которых было получено с помощью методов тропической математики. Были при этом получены аналитические зависимости, позволяющие на основе известных данных о размещении обслуживаемых объектов (групп населения, камер видеонаблюдения или иных источников потока информации, пожароопасных объектов и др.) найти оптимальные зоны размещения обслуживающих объектов (например, маршрутизаторов, серверов, центров управления систем видеонаблюдения и т.д.). В решаемых задачах необходимо разместить новый обслуживающий объект так, чтобы минимизировать расстояние от этого объекта до самого удаленного из обслуживаемых объектов (решается минимаксная задача).

Обоснованные автором в диссертации результаты позволяют находить не только точку, где размещение будет оптимальным, а выбирать достаточно обширную область оптимального размещения. Это чрезвычайно важно для практики, т.к. позволяет учесть при проектировании, например, информационных систем, возможность наиболее полного использования земельных участков, зданий и сооружений. Кроме того, важной характеристикой предложенного автором решения является простота полученных аналитических решений, что облегчает их использование на практике, т.к. все необходимые научные обоснования и проработки уже выполнены автором диссертации. Работу отличает логичность изложения материалов. Так, с использованием доказанных теорем, в диссертации разработаны приложения для решения задач оптимального размещения центрального сервера управления в сети локальных коммуникаций и оптимального размещения центра управления системой видеонаблюдения.

Рассмотрены задачи оптимального размещения на плоскости с прямоугольной метрикой точечного объекта без ограничений на область размещения, а также с ограничениями. Также поставлена и методически корректно решена минимаксная задача размещения точечного объекта в трехмерном пространстве, которая заключается в поиске оптимального места размещения в трехмерном пространстве нового объекта среди уже имеющегося набора объектов так, чтобы расстояние от нового объекта до самого дальнего объекта из имеющегося набора было бы минимальным. Степень достоверности результатов диссертации Достоверность результатов обеспечивается строгими постановками задач и математическими доказательствами, использованием апробированной методологии и методов исследований, подбором достоверных исходных данных, а также проведением тестовых расчетов с использованием разработанных соискателем программных средств.

Кроме того, достоверность результатов подтверждается их близостью к результатами, ранее полученными с использованием альтернативных методов исследования другими специалистами. Научная новизна результатов исследования Научная новизна заключается в разработке автором новых, оригинальных математических методов оптимального размещения точечных объектов на плоскости и в пространстве с прямоугольной метрикой. При этом отличие этих методов состоит в том, что они базируются на исследовательских приемах и аналитических инструментах идемпотентной алгебры. Разработанный автором новый научно-методический аппарат позволяет находить решения указанных выше задач в явном виде.

Такие решения более удобно, чем численные методы, использовать при решении многих практических задач, и, кроме того, предложенные методы имеют меньшую вычислительную сложность в сравнении с известными численными алгоритмами. В диссертации получены новые основные результаты, которые можно разделить на две части. В первой части получены новые результаты в области идемпотентной алгебры, в том числе: — научно обоснованы математические методы решения класса минимаксных задач, заданных на идемпотентных полуполях с несколькими переменными, которые основаны на решении расширенной задачи в векторной форме с использованием экстремального свойства идемпотентного спектрального радиуса матрицы, а также на процедуре трансформации задачи оптимизации в систему параметризованных неравенств с последующим нахождением всех ее решений (стр.

33-71); Во второй части эти результаты применяются для решения некоторых научно-практических задач, в том числе: — получены явные прямые решения минимаксных задач размещения с прямоугольной метрикой на плоскости и в трехмерном пространстве (с ограничениями и без ограничений) для осуществления оптимального выбора местоположения объектов обработки и хранения информации в информационных системах (стр.

78-100). Для этих решений приведена оценка вычислительной сложности соответствующих алгоритмов (стр. 117- 122); -предложены научно обоснованные рекомендации по применению разработанных аналитических методов для решения задач оптимального размещения центрального сервера управления в сети локальных коммуникаций и оптимального размещения центра управления системой видеонаблюдения для обеспечения высоконадежной обработки информации и помехоустойчивости информационных коммуникаций (стр. 73-77); — разработана программная реализация алгоритмов численного определения областей оптимального (по минимаксному критерию) размещения точечных объектов на плоскости с прямоугольной метрикой в условиях действия ограничений, базирующаяся на применении методов идемпотентной алгебры (стр.

117-122). Полученные в диссертации результаты направлены на дальнейшее развитие известных теоретических подходов и математических методов решения научных и технических, фундаментальных и прикладных оптимизационных задач теоретической информатики. Предложенные в диссертации методы решения, в отличие от использовавшихся ранее, основаны на применении инструментария идемпотентной алгебры и математического программирования.