Автореферат (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации), страница 2

Пусть имеется динамическая система (1).Тогда для любого > 0 найдутся натуральные N, L, M ∈ N такие, что длялюбого u∗ ∈ A выполняетсяπm u∗ − JN,L,M (u∗ ) < .Поскольку JN,L,M является комбинацией полиномиальных отображений, множество{u ∈ Rn |πm u − JN,L,M (u) = 0}(2)является алгебраическим.В качестве примера системы, к аттрактору которого можно применитьтеорему 1 рассмотрим хорошо известную систему, заданную отображениемХенона ([9]):(u1n+1 = 1 − a(u1n )2 + u2n ,u2n+1 = bu1n ,a, b ∈ R, n = 0, 1, .... Положим a = 1.4 и b = 0.3.

Для этих значений параметров доказано существование глобального B-аттрактора динамической системы, заданной отображением Хенона. Можно легко убедиться, что даннаясистема удовлетворяет теореме 1. На рисунке 1 изображены аппроксимацииглобального B-аттрактора системы Хенона для различных значений N, L, M .Во второй главе в качестве фазового пространства используются многообразия; вкратце даются определения, которые позволяют рассматриватьдинамические системы на многообразиях, приводится в качестве примерамногообразия плоский цилиндр.

После этого рассматриваются динамическиесистемы на проективном многообразии. Приводится пример доопределениядинамической системы, заданной на евклидовом пространстве до системына проективном многообразии. Основным результатом данной главы является интегральное представление точки, лежащей на глобальном B-аттракторетакой системы.Через RP n обозначается n-мерное вещественное проективное многообразие. Атлас RP n , использованный в этой главе — стандартный атлас дляRP n , основанный на проективных координатах.70.40.2-1.0-0.50.51.00.51.0-0.2-0.4(a) N =2, L=2, M =20.40.2-1.0-0.5-0.2-0.4(b) N =4, L=2, M =2Рис. 1: Аппроксимации глобального B-аттрактора системы Хенона.В оригинальной теореме Фояша-Темама важную роль имеет интегральное представление точки, лежащей на аттракторе, и для того, чтобыперенести данную теорему на случай RP n необходимо адаптировать это интегральное представление для RP n .

Основная сложность при такой адаптации заключается в том, что решение может находиться в разных картахмногообразия. Далее приводятся некоторые обозначения и утверждения длятеоремы, дающей такую адаптацию.Введем следующее обозначения:(j − 1, i < js̃(j, i) =j, i > j,(i, i < (j + 1)õ(j, i) =i − 1, i > (j + 1).Также, за ei , i = 1, ..., n обозначим вектор с единицей на позиции i и с нулямина всех остальных позициях.Через ψi,j обозначается отображение перехода из карты xi в карту xj .8Утверждение 1. Отображение ψj,i представляется в виде1ψj,i (u) = õ(j,i) (B̃j,i u + es̃(j,i) ),uгде u ∈ D(ψj,i ), i, j = 1, 2, ..., n, i 6= j.

При этом для i < j0 ... ...0 Ii−10 ... ...0  0 ... 00...00Ej,iB̃j,i =  0 ... 00 ... 0  , 0 ...... 0  0 ......0In−j0 ...... 00где Ii−1 – единичная матрица (i − 1) × (i − 1); Ej,i– (j − i) × (j − i + 1)матрица с единицами на позициях (l, l + 1), l = 1, 2, ..., (j − i) и нулями наостальных позициях; In−j – единичная матрица (n − j) × (n − j).Для i > j имеет место аналогичное представление с точностью доразмеров блоков и положения нулевой строки, а также сдвига диагонали вовтором блоке.Пусть имеется векторное поле F , задающее дифференциальное уравнениеϕ̇(t) = F (ϕ(t)),(3)где F : RP n → T RP n .

Пусть (3) задает динамическую систему({ϕt }t∈R+ , (RP n , ρ)).(4)Потребуем также, чтобы динамическая система (4) имела глобальный Bаттрактор A. Пусть также в любой карте xi , i = 1, ..., n + 1 атласа представление векторного поля F является неким полиномиальным отображением.Рассмотрим некоторую точку p ∈ A и рассмотрим последовательностьT (ϕ(·) (p)) = {Tk }k∈β ⊂ R− ∪ {−∞},(5)где p ∈ A, β = {z ∈ Z+ | z ≤ z∗ }, где z∗ ∈ Z+ , либо z∗ = ∞. При этомпотребуем, чтобы:(B1) T0 = 0;(B2) Tk−1 > Tk , где k, k − 1 ∈ β;(B3) для любых Tk , Tk−1 существует карта xik−1 такая, что для любых t таких, что Tk ≤ t ≤ Tk−1 , k, k − 1 ∈ β, точка ϕt (p) остается в областиопределения xik−1 ;9(B4) для любых k − 1, k + 1 ∈ β существует t такое, что Tk+1 < t < Tk−1 иϕt (p) ∈/ D(xik−1 );(B5) верно, что[(Tk , Tk−1 ] = R− ;k,k−1∈β(B6) верно, что любое множество вида [T̃ , 0], T̃ < 0 покрыто конечным количеством отрезков [Tk , Tk−1 ], k, k − 1 ∈ β;(B7) для любого k : k − 1 ∈ β верно, что kxik−1 (ϕt (p))k ≤ M1 , M1 > 0.Утверждение 2.

Для системы (4) и точки p ∈ A существует T (ϕ(·) (p)).Пусть также в любой карте xik представление векторного поля F имеетформуFik (u) = −Aik u − Rik (u),где Aik – положительно определенная симметричная n × n матрица.Зафиксируем некоторую точку p∗ ∈ A. Пусть ϕ(·, p∗ ) - решение задачиКоши (3), ϕ(0) = p∗ . Далее, для краткости будем обозначать его через ϕ.Черезxik (ϕ(t))(6)будем обозначать координатное представление точки ϕ(t) в карте xik . Черезixik−1(ϕ(t))kбудем обозначать координату с индексом ik−1 вектора (6).Введем обозначения Bik−1 := B̃ik ,ik−1 , ϕ(t) ∈ D(xik )∩D(xik−1 ), o(ik−1 ) :=õ(ik , ik−1 ) и s(ik−1 ) := s̃(ik , ik−1 ), такжеHK (τ ) :=KXh k−1Yc(k, τ )1o(ij−1 )xij(ϕ(Tj ))iAik−1 (τ −Tk−1 )eRik−1 (xik−1 (ϕ(τ ))) .k=1j=1для k ∈ β.Также пусть(c(k, τ ) := Pk−1Bij−1 e l=1 Ail−1 (Tl −Tl−1 )1, τ ∈ [Tk+1 , Tk )0, τ ∈/ [Tk+1 , Tk ).Теорема 2. При выполнении требований, описанных выше, а также еслиβ — конечное множество с максимальным элементом K, имеет местопредставлениеZ 0K−1X1es(ik−1 ) .xi0 (ϕ(0)) = −HK (τ )dτ +o(i(k−1) )−∞(ϕ(Tk ))k=1 xik10В третьей главе рассматривается стратификация — разбиение подмножества многообразия M на непересекающиеся подмногообразия M, называемые стратами, по определенным правилам, подробно описанным ниже.

Вконтексте теории динамических систем стратификация может быть интересна тем, что позволяет описывать структуру аттракторов с помощью изучения стратификации самих аттракторов, либо их аппроксимаций (например,если точная форма аттрактора неизвестна или слишком сложна для изучения). Рассматривается специальный вид стратификации — стратификацияУитни. Основной результат третьей главы — доказательство того, что процедура цилиндрической алгебраической декомпозиции (Cylyndrical AlgebraicDecomposition, CAD), примененная к алгебраическому множеству в R2 даетстратификацию Уитни. Также вводится понятие максимальной стратификации Уитни и алгоритм ее получения.Определение 2.

Стратификацией множества S ⊂ Rn называется разбиение S на связные гладкие подмногообразия {Si }i∈J пространства Rn такие, что набор {Si }i∈J локально конечен в каждой точке S (то есть длялюбой точки u ∈ S верно, что существует некоторая ее окрестность, которая пересекает лишь конечное подмножество {Si }i∈J ). Множество Jздесь – некоторое множество индексов. Элементы набора {Si }i∈J называются стратами.Рассмотрим стратификацию Уитни множества S ⊂ Rn .Напомним, что Gn,k,, (n, k ∈ N, k ≤ n) – это набор всех k-мерных подпространств Rn .

Хорошо известно, что Gn,k имеет структуру вещественногоаналитического многообразия размерности n(n − k) и называется грассманианом.Определение 3. Пусть P, Q – подмногообразия S, dim Q = m. Если для∞любых последовательностей точек {uk }∞k=1 и {vk }k=1 , принадлежащих Pи Q соответственно, сходящихся к точке u ∈ P с последовательностьюкасательных пространств {Tvk Q}∞k=1 , сходящейся к L в топологии грассма→ниана Gn,m , верно, что последовательность линий {−u−k vk }, содержащих 0 иvk − uk , сходится к прямой l ⊂ Rn в топологии Gn,1 и l ⊂ L, говорят, чтоP, Q удовлетворяют условию Уитни.Определение 4.

Стратификация, в которой каждая пара страт удовлетворяет условию Уитни называется стратификацией Уитни.Дополнительно к этому мы потребуем выполнения следующего свойства: Если Si ∩ Sj 6= ∅ , тогда Si ⊂ Sj (граничное условие) .11Теорема Уитни ([10]) утверждает, что при довольно общих условияхстратификация Уитни существует. В частности, она существует для алгебраических множеств.Определение 5.

Пусть S = Vn (P1 , ..., Pk ) – алгебраическое множество,заданное системой из k полиномов {Pi }ki=1 , пусть A(u) – k × n матрица∂Pi( ∂uj (u)), i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., n. Пусть κ – максимальный ранг A(u) наS. Точка u ∈ S называется регулярной если rank A(u) = κ, иначе точканазывается сингулярной.Множество регулярных точек множества S обозначается Sreg .Начнем с описания свойств CAD. Пусть имеется алгебраическоемножество S = Vn (P ), где P —некий полином. Мы не умаляем общности здесь, поскольку каждое алгебраическое множество, описанное какVn (P1 , P2 , ..., PK ), где P1 , P2 , ..., PK — некие полиномы, заданные на Rn , можетP2быть описано как Vn ( Ki=1 Pi ), то есть с помощью единственного полиномаPK2i=1 Pi .Назовем точку (u1 , u2 ) ∈ S разбивающей для S, если она являетсяизолированной или сингулярной точкой S или такой, что касательная к S вэтой точке параллельна оси u2 .Назовем точку (u1 , u2 ) точкой разбиения для S, если существует разбивающая точка u с координатами (u1 , u2∗ ).CAD алгебраического множества S является разбиение S на набормножеств {Sl }, l = 1, 2, ..., L, L ∈ N со следующими свойствами:S(C1) Ll=1 Sl = S;(C2) для любых i, j = 1, 2, ..., L, i 6= j верно, что Si ∩ Sj = ∅;(C3) для любого l = 1, 2, ..., L верно, что Sl является либо точкой разбиенияS, либо графиком некоторой непрерывной функции fl : I ⊂ R → R от u1 , гдеI – открытый интервал, при этом график fl не содержит точек разбиения S,либо интервалом прямой, параллельной оси u2 , не содержащим сингулярныхточек S;(C4) не существует i, j = 1, 2, ..., L таких, что Si ∪ Sj является графикомнекоторой непрерывной функции от u1 , заданной на открытом интервале.В оригинальной работе по CAD (см.

[11]) гарантируется свойство (С3), но егоможно усилить и доказать следующее свойство:(C3’) функция fl из свойства (C3) является вещественно-аналитической.Далее мы рассматриваем только алгебраические множества S, входящие в R2 .Утверждение 3. Пусть множества Si , Sj являются элементами набора{Sl }Ll=1 , описанного выше. Если Si ∩ Sj =6 ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, ..., L, то121. Sj ⊂ Si ;2. Sj является неизолированной точкой разбиения S.Утверждение 4. Пусть {Sl }Ll=1 , L ∈ N – CAD алгебраического множестваS, тогда {Sl }Ll=1 , L ∈ N является стратификацией Уитни S.Введем понятие максимальной стратификации Уитни.Определение 6. Стратификацию Уитни {S 0 i }Ki=1 множества S называется максимальной, если для любой другой стратификации Уитни {Sj }Mk=1множества S верно, что любая страта Sj является подмножеством некоторой страты S 0 i .Определение 7.