Автореферат (Алгебраическая аппроксимация глобальных аттракторов динамических систем на многообразии и некоторые вопросы ее стратификации)

На правах рукописиМалых Артем ЕвгеньевичАлгебраическая аппроксимация глобальныхаттракторов динамических систем на многообразиии некоторые вопросы ее стратификацииСпециальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2018Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:Райтманн Фолькер,доктор физико-математических наук,профессор кафедры прикладной кибернетикиСанкт-Петербургскогогосударственного университетаОфициальные оппоненты: Буркин Игорь Михайлович,доктор физико-математических наук, профессор,заведующий кафедрой математического анализаТульского государственного университета;Иванов Борис Филиппович,кандидат физико-математических наук, доцент,заведующий кафедрой высшей математикиВысшей школы технологии и энергетикиСанкт-Петербургскогогосударственного университетапромышленных технологий и дизайна.Ведущая организация:Санкт-Петербургский государственныйэлектротехнический университет «ЛЭТИ»имени В.И.

Ульянова (Ленина)Защита состоится « »2018 г. вчасов на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О.,д. 33/35, ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.М. Горького Санкт-Петербургского государственного университетапо адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 инасайтеhttps://disser.spbu.ru/disser/soiskatelyu-uchjonoj-stepeni/dislist/details/14/1699.html.Автореферат разослан «»Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.232.49,доктор физико-математических наук2018 г.Чурин Ю.В.Общая характеристика работыАктуальность темы. Данная работа посвящена изучению аппроксимаций глобальных аттракторов динамических систем с помощью алгебраических множеств.Динамические системы являются распространенной математическоймоделью в различных областях науки и техники, в том числе в физике,промышленности, метеорологии.

При этом важную роль играет существование глобальных аттракторов и их аппроксимация. В данной работе рассматривается аппроксимация алгебраическими множествами. Важным преимуществом алгебраических множеств является легкость их представлениядля компьютерных вычислений (как символьных, так и численных).Часто встречается ситуация, когда динамическую систему, моделирующую, например, механический процесс или систему управления, удобнорассматривать не в евклидовом пространстве Rn , а на общем многообразии.Среди многообразий, на которых заданы такие системы, часто встречаются плоский цилиндр и проективное многообразие.

Рассмотрение систем намногообразии, в частности, позволяет получить локализацию глобального аттрактора.Кроме аппроксимации глобального аттрактора часто возникает необходимость получить дополнительную информацию о его структуре. Однимиз инструментов для этого является стратификация Уитни.Степень разработанности темы.

Для аппроксимации глобальныхаттракторов динамических систем имеются разные подходы. Один из них– применение функций Ляпунова и поверхностей без контакта с векторнымполем ([1, 2]). Этот метод в применении к динамическим системам на цилиндре изложен в [3]. При использовании такой аппроксимации и локализацииаттрактора, можно получить оценки различных размерностных характеристик данного аттрактора ([4]). Для аттракторов диссипативных динамических систем в бесконечномерном фазовом пространстве можно построить конечномерные проекторы на конечномерные пространства. Нередко такимиаттракторами являются глобально устойчивые периодические или почти периодические решения системы.Второй подход при аппроксимации аттракторов заключается в построении инерциальных многообразий ([5]). Для некоторых классов аттракторовсуществование инерциальных многообразий доказано.

Недостаток данногоподхода заключается в том, что аппроксимирующие множества являютсягладкими многообразиями, тогда как аттракторы могут быть фрактальнымии множествами. Поэтому в работах [6, 7] изложен новый подход аппрокси3мации алгебраическими и аналитическими множествами. Такие множества вобщем случае уже не являются гладкими многообразиями и могут содержатьсингулярные точки.В работе [6] и в других работах тех же авторов рассмотрены эволюционные системы в линейных (конечномерных и бесконечномерных пространствах).Первые результаты распространения этих результатов на системы, заданные на многообразиях, изложены в [12], [8].

В данной работе эти исследования продолжаются.Цель и задачи работы. Целью работы является расширение результатов, полученных Фояшем и Темамом (см. [6]), в двух направлениях. Первоенаправление — получение аппроксимационной теоремы для динамических систем с дискретным временем на Rn , второе направление — получение результатов, позволяющих аппроксимировать динамические системы, заданные намногообразии.Методология и методы исследования. В работе применяются:• элементы теории аналитических и алгебраических функций и множеств;• аппарат проективной геометрии для аппроксимации аттрактора;• цилиндрическая алгебраическая декомпозиция как метод стратификации;• численные аппроксимации, а также символьные вычисления, выполненыев пакете Wolfram Mathematica.Положения, выносимые на защиту.1.

Получена адаптация для систем с дискретным временем аппроксимационной теоремы Фояша-Темама (см. [6]).2. Получено интегральное представление точки, лежащей на глобальноматтракторе динамической системы, заданной на проективном многообразии.3. Предложен алгоритм построения стратификации Уитни алгебраическогомножества в двумерном евклидовом пространстве на основе цилиндрической алгебраической аппроксимации.Степень достоверности и апробация результатов. Правильностьадаптации для динамических систем с дискретным временем аппроксимационной теоремы Фояша-Темама подтверждается численным экспериментом,проведенным для аппроксимации глобального аттрактора системы Хенона(см.

[9]). Правильность работы алгоритма стратификации алгебраического4множества подтверждается экспериментом, в ходе которого реализация предложенного алгоритма на языке Wolfram Mathematica применяется к двумалгебраическим множествам, в том числе к алгебраической аппроксимацииаттрактора системы Хенона.Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертационной работе, являются новыми.Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Полученные аппроксимационные результаты могут бытьиспользованы для изучения аттракторов, возникающих при моделированииразличных физических систем.Аппробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции «PHYSCON 2009» (Катания, Италия 2009), на международной конференции «Science and Progress» в рамках научного центраG-RISC (Санкт-Петербург, Россия 2011), а также на международной конференции «Equadiff 2017» (Братислава, Словакия 2017).Публикации на тему диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных работах (см. [13, 14, 12, 15]), в том числев двух статьях. Статьи [12, 15] опубликованы в изданиях, индексируемыхсистемой Scopus.Вклад диссертанта в совместные работы. В работе [13] соавторам принадлежит постановка задачи, а также текст, диссертанту принадлежат теоретические результаты. В работе [12] первому соавтору (научномуруководителю) принадлежит постановка задачи, второму соавтору принадлежит численное моделирование, а также изложение оригинальной теоремыФояша-Темама, диссертанту принадлежат теоретические результаты. В работе [15] первому соавтору (научному руководителю) принадлежит постановказадачи, второму соавтору принадлежат результаты, касающиеся оценки размерности, диссертанту принадлежит алгоритм стратификации.Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоитиз введения, трех глав, заключения и списка литературы.Содержание работыВо введении аргументирована актуальность темы диссертации, приведен обзор соответствующей литературы, определены цели и задачи работы,обоснована их научная ценность.В первой главе в начале напоминаются вкратце некоторые основныепонятия теории динамических систем, затем вводится понятие алгебраического множества, после чего приводятся две аппроксимационные теоремы:5теорема Фояша-Темама об аппроксимации для систем с непрерывным временем, приведенная в статье [6], а также полученная автором модификацияэтой теоремы для случая систем с дискретным временем.Для начала дадим определение алгебраического множества.Определение 1.

Пусть для некоторого k ∈ N P1 , ..., Pk – многочлены от nпеременных с коэффициентами из Rn . Множество S называется алгебраическим, если верно, чтоS = Vn (P1 , ..., Pk ),где Vn (P1 , ..., Pk ) = {u ∈ Rn |Pi (u) = 0 ∀i = 1, 2, ..., k}.Рассмотрим дискретную динамическую систему, заданную отображениемut+1 = F (ut ), t ∈ Z,(1)гдеF (u) = −Au − R(u), u ∈ Rn ,и выполнены следующие свойства:(A1) A : Rn → Rn – линейный симметричный оператор;(A2) F обратимо;(A3) F −1 – отображение, которое является вещественно аналитическим в шареBr1 (v1 );(A4) R : Rn → Rn – отображение, которое является вещественно аналитическим в точке v2 с радиусом сходимости r2 > 0 таким, что F −l (Br1 (v1 )) ⊂Br2 (v2 ), где l ∈ N;(A5) λ1 , λ2 , ..., λn - собственные числа A, при этом |λ1 | ≥ |λ2 | ≥ ...

≥ |λn |, тогда|λn | < 1;(A6) у системы, заданной соотношением (1), существует глобальный Bаттрактор A. Пусть этот аттрактор содержится в шаре Br1 (v1 ) радиусаr1 с центром в точке v1 ∈ Rn .Пусть m — минимальное натуральное число, такое что |λm+1 | < 1, аπm - проектор на линейное подпространство Rn , порожденное собственнымивекторами, соответствующим собственным числам λm+1 , ..., λn матрицы A.Определим для любых N, L, M ∈ N, u ∈ Rn при фиксированных v1 , v2 ∈ Rnформальную суммуJN,L,M (u) := (−1)N (πm A)N u−N ++NX(−1)l (πm A)l−1 R̃(F̃ −l (u, v1 , L), v2 , M ),l=16где u−N = (F −1 )N (u), R̃(·, v2 , M ) – фрагмент ряда Тейлора длины M рядаТейлора функции R в окрестности v2 , F̃ −l (·, v1 , L) – фрагмент ряда Тейлора длины L ряда Тейлора функции F −l в окрестности v1 . Теперь приведемформулировку аппроксимационной теоремы.Теорема 1.