Диссертация (Трансформация мод и излучение зарядов в круглом волноводе с однородной и двухслойной областями), страница 6

Его решением, с учетом граничныхусловий (1.1.29), являются функции J1  cn r  при r  b,1Fn   iJ 0  dn a  J1  cnb   1H 0   dn a HrJrпри b  r  a.1dndn1Ja00dndnПоскольку собственные числа hn2(1.1.30)самосопряжённого оператора вещественны, то, при2отсутствии диссипации в среде, получаем, что коэффициенты  cn,dn также являются2вещественными. Для определенности будем считать, что для  cn,dn   cn,dn выполнено либоусловие Re  cn,dn   0 , либо условие Im  cn,dn   0 .Собственныезначенияhn2  определяютсяиздисперсионногоуравнения,необходимого для удовлетворения граничным условиям:Fdisp   c dn J1  cnb  1  dn    d  cn J 0  cnb  0  dn   0,(1.1.31)1где функции J 0,1  x  есть функции Бесселя первого рода, N 0,1  x  - функции Неймана, H 0,1 x- функции Ханкеля первого рода,  0,1  dn   J1,0  dnb  N 0  dn a   J 0  dn a  N1,0  dnb  .Для комплекснозначной функцииhn    hn2  физический лист римановойповерхности фиксируется условием Im  hn   0 при    (при учете диссипации в среде).

При26отсутствиидиссипациидляраспространяющихсяволнбудемполагать,чтоRe  hn   0 при   0 .Как известно, собственные функции самосопряженного оператора обладают свойствамиполноты и ортогональности [83]. Соответствующее условие ортогональности собственных r имеет видфункций оператора La Fn , Fm    F n Fm0rdr  Gm nm ,(1.1.32)где  nm  1 при n  m и  nm  0 при n  m . Используя выражение (1.1.30), нетрудно получитьявный вид для квадрата нормы собственной функции:b2Gm 2 cJ12  cmb  222J   b  J  b   J1  cmb   J 0  cmb   cmb 0 cm 1 cm  2 d 02  dm  42b 1  dm  0  dm  2 2 2 2  b  0  dm   b2 12  dm  если  cm  , dm   dm I12   cm b 2b2  22Gm I 0   cm b  I1   cm b    I 0   cm b   I1   cm b  2 cm b2 c  2 d 0  dm  42b 1  dm  0  dm  2 2 2 2  b  0  dm   b2 12  dm  если  cm  i  cm . dm   dmИзсвойствсобственныхфункцийсамосопряженногооператора(1.1.33)(1.1.34)следует,чтонеизвестную функцию H  r , z ,   можно представить в виде разложения по собственнымфункциям Fn  r ,   :H  r, z,    Bn   Fn  r,  exp  ihn   z .(1.1.35)n1Отметим, что выбор знака в выражении exp  ihn   z  it определяет направлениераспространения волны: положительный знак соответствует распространению волны в сторонуувеличения z .

Так как мы исключаем из рассмотрения случай так называемой «левой» среды (вкоторой направление фазовой и групповой скорости взаимно противоположны), то в27рассматриваемом случае обычной («правой») среды данные скорости направлены в одну и туже сторону.Таким образом, мы получили, что Фурье-образ магнитной компоненты ТМ-поляпредставлен в виде разложения по собственным модам двухслойного волновода H n :H n  r , z ,    Bn   Fn  r ,   exp  ihn   z  .(1.1.36)Остальные компоненты Фурье-образа электромагнитного поля определяются с помощьюуравнений Максвелла (1.1.1) и могут быть представлены в виде разложения по собственныммодам  Ez n , Er n  Ez  r , z ,      Ez n  r , z ,      , где Er  r , z ,    n1  Ern  r , z ,   E z n  r , z ,    F  r ,   Fn  r ,   Bn    n exp  ihn   z  ,rricErn  r , z ,    cBn   Fn  r ,   hn   exp  ihn   z  .(1.1.37)(1.1.38)1.2 Трансформация моды, падающей со стороны однороднойобластиРассмотрим задачу о трансформации моды, падающей на поперечную границу внутри круглоговолновода (рисунок 1.2).

Волновод состоит из двух полубесконечных областей, одна изкоторых заполнена средой с характеристиками  c , c , а вторая состоит из цилиндрическогодиэлектрического слоя   d ,  d  и соосного канала   c , c  . Свойства сред заполнения описаныв начале раздела 1.1. Отметим, что среды могут обладать малой диссипацией, то естьIm   c,d   0 для   0 . Цилиндрическая система координат определена таким образом, что осьz совпадает с осью волновода, поперечная граница расположена при z  0 .

На границу состороныоднороднозаполненнойобласти«падает»поперечно-магнитнаяаксиально28симметричная мода TM 0i . При этом она может быть как распространяющейся, так иэванесцентной.Рис. 1.2. Падение моды со стороны однородно заполненной области волновода1.2.1 Вывод системы уравненийКак известно, электромагнитное поле TM 0i моды круглого волновода при гармоническойзависимости от времени ( exp(i t ) ) имеет вид [73, 82](1.2.1)(1.2.2)ici riiE z J 0 i  exp ih  z , c a  a i  riJ1 i  exp ih  z , c  a chiEr  i   J  r  exp ih i  z ,H1 i  a(1.2.3)2iгде i - ноль функции Бесселя J 0  x  , h     kc2  i2a– продольное волновое числоIm  h    0 , i обозначает номер падающей моды. Для простоты мы приняли за единицуinкоэффициент в формуле (1.2.3) и опустили гармоническую временную зависимость.29Решение задачи будем строить методом сшивания [73].

Для этого представимнеизвестные поля в области z  0 (отраженное поле) и z  0 (проходящее поле) в видеразложения по соответствующим собственным модам. Тогда Фурье-образы компонентотраженного поля имеют следующий вид [73, 82]:icrrE z   Ezn  cn 1 Rn  n J 0 n a  exp  ihn r  z ,a(1.2.4) Rn   hn r  J1 n a  exp  ihn r  z ,(1.2.5)crrEr   Ern   cn 1rn 1rn 1 rrrrH   H n   Rn   J1 n  exp ihn  z . an 1n 1(1.2.6)2Здесь Rnr- неизвестные коэффициенты разложения отраженного поля, hn     kc2  n2 –a   rпродольное волновое число Im hn   0 .Проходящее поле представляется в виде разложения по собственным модамдвухслойного волновода (1.1.36) – (1.1.38)icttE z   Ezn  Fn  r ,   Fn  r ,   t  exp ihn z ,rrn 1n 1 Tn   ttTn   hn  Fn  r ,   exp  ihn  z ,cttEr   Ern n 1(1.2.7)(1.2.8)n 1n 1n 1t   t   T  F r ,  exp ih t  z ,H Hn  n  nn(1.2.9)2где Tn - неизвестные коэффициенты разложения проходящего поля, hn   kc2,d   cn,dn –t   tпродольное волновое число проходящего поля Im hn   0 .30Отметим, что, так как по определению Im hni ,r ,t 0при    , то требованиеубывания амплитуды электромагнитного поля при его распространении предопределяет выборirtзнаков в функциях exp ihn  z , exp ihn  z и exp ihn  z .Для вывода уравнений, позволяющих определить неизвестные коэффициенты Rn и Tn ,используем свойство непрерывности тангенциальных компонент поля на поперечной границеz  0:H   H  irz 0t  Hz 0, E   E  irrrz 0t Erz 0.(1.2.10)Подставляя в данное выражение падающее поле (1.2.1) – (1.2.3) и разложения для отраженногополя (1.2.4) – (1.2.6) и проходящего (1.2.7) – (1.2.9) поля, получаем систему уравнений нанеизвестные коэффициенты: r rJ1 i    Rn J1 n    Tn Fn  r ,   , a  n 1 a  n 1(1.2.11) r r irth  J1 i    hn  Rn J1 n   c  Tn hn  Fn  r ,  . a  n 1 a   n 1(1.2.12)Полученная система уравнений может быть упрощена.

Для этого умножим уравнения (1.2.11),(1.2.12) на функцию J1  m r a  r и проинтегрируем их по радиусу волновода, используясвойство ортогональности функций Бесселя [84]ara2 2 r  J1 n a  J1 m a  rdr  2 J1 m   nm .0(1.2.13)Данное действие позволяет избавиться от суммирования по модам в левой части уравнений(1.2.11) , (1.2.12).После некоторых математических преобразований получаем бесконечную системулинейных алгебраических уравнений на коэффициенты мод в проходящем поле AmnTn  Ym , m  1, 2...n 1(1.2.14)31и связь между коэффициентами мод в отраженном и проходящем поляхRm 2a 2 J12  Tn I1   cn ,m  n1  m m    I 2   dn ,     im ,a a (1.2.15)где  im - символ Кронекера (напомним, что i - номер падающей моды).

Здесь введеныследующие обозначения для вектора правой части системы Y и матрицы системы A:iYm  a 2 J12 i  h  im ,(1.2.16)   r  rtt  Amn  hm   hn  I1   cn , m    hm   c hn   I 2   dn , m  ,da  a  (1.2.17)b rI1   cn , m    J1  cn r  J1  m  rdr ,a  0 a(1.2.18)1aH 0   dn a m  iJ1  cnb  J 0  dn a   1 J1 m r  rdr.I 2   dn ,HrJrdndn11  aa J 0  dn a  0  dn b(1.2.19)Отметим, что интегралы в выражениях (1.2.18), (1.2.19) могут быть вычислены аналитически[84]. После громоздких преобразований получаем:Amn ab2 2 cna m22 2 dna m2 b bm J 0 m a  J1  cnb  Q1mn   cn aJ 0  cnb  J1 m a  Q2 mn  ,(1.2.20)Rm 2bJ12 Tnm  a n1m J 0 m b a  J1  cnb  Q3  a cn J 0  cnb  J1 m b a  Q4 mn2 22 2 cna  m2  dna  m2где tt 2 2 r 2 2   r   c t  Q1mn   dna hm  hn    cna  hm hn   m2 c hn  1  d  ,dd c rtr 2 22 2  d   r   c t  Q2 mn   dna hm   hn    cnahn   m2 hm   1  d hm c d c,  im ,(1.2.21)32Q3 a 2 2c2 nd2  nc2  , Q4mn   dn2 a2  dc cn2 a 2  m2  dc  1 .Отметим, что система уравнений (1.2.14) при произвольных параметрах волноведущейструктуры может быть решена только с использованием численных алгоритмов.

Однакоприближенное аналитическое решение задачи может быть найдено в специальном случаетонкого диэлектрического слоя.1.2.2 Случай тонкого диэлектрического слояПолучим приближенное аналитическое решение поставленной задачи в двухслойной областиволновода в случае тонкого диэлектрического слоя, когдаd 1 , где d  a  b - толщинаaдиэлектрического слоя.Определим приближенное решение дисперсионного уравнения (1.1.31). Для этогоtпредставим величины  c,d и продольное волновое число h  в виде разложения в ряд помалому параметру d a , ограничившись первыми тремя членами: c,d   c ,d   c ,d012 d3 d2 d  c ,d 2  O  3  ,a aa (1.2.22)2 d3 tt  0 t 1 dt  2  dhh O  3 .h ha aa2 (1.2.23)Подставляя вид решения (1.2.22), (1.2.23) в дисперсионное уравнение (1.1.31) иприравнивая величины одинакового порядка малости, получаем следующие выражения длякоэффициентов:2 1  a2 0 1  2    3  cn  2  c  1  5  1 ,,  cn1  c dn 2  ,  cn cn 0aa   d n 2  cn d cn 2 cnn0n  0 dn kd2 kc2n2a22(1.2.24)1,  dn 1  0  cncn  dn0 2,  dn 1 cn202 dn 0   2  cncn  dn02 0   1 cncn 0 32 dn2,(1.2.25)331  0 121  0   12   0 22 cn cn cnt  0 t 1t  2 2 ncncnhn kc  2 , hn, hn cn cn3 .t  0 t  0 t  0 t 0ahn2hnhn2hn  (1.2.26)Используя разложения (1.2.22), (1.2.23), представим в виде разложения по степеняммалого параметра элементы матрицы Amn :Amn d2 01 d Amn  Amn  O  2  ,a a (1.2.27)где 0    a 2 h r  J 2  ,Amnmnm 1  m(1.2.28)t 1hm    c 2 r 2a hm J1 m   1   при m  n,r d h2m1  Amn a 1  a 2 J1 n  J1 m 2 02 0cn  QQпри m  n,m 1mnn 2 mn  1 2 22  2  02 n n  m  a  dn  m  (1.2.29) r 0t 0t 0 t 0  0 2  r Q1mn  a 2 dnhm  hn    n2  hm   c hn     m2 hn    c  1 ,d d  r  t 0  0 0 2rt 0r Q2 mn  a 2 dn hm   hn    n2 d  hm   c hn     m2 hm  1  d  .c d c Как видно из формул (1.2.28), (1.2.29), только диагональные элементы матрицы системы Aсодержат члены нулевого порядка малости, в то время как остальные элементы являютсявеличинами не более чем первого порядка малости.Решение системы уравнений (1.2.14) проведем методом Крамера, согласно которомунеизвестные коэффициенты определяются следующим образом:Tk k,(1.2.30)где  - определитель матрицы системы A ,  k - определитель матрицы системы, в которойстолбец с номером k заменен на вектор правой части системы Y .34Вид определителей  и  k несложно найти исходя из вида матрицы системы (1.2.27):21 0  d 0   O  d , A 0   1,   AmmAll   Amm 2  00a l 1m 0m 0a (1.2.31)21 0  d Y 0   O  d  при k  i,YAAA i  mm mm  a 2 ia l 1 ll m0 m 0l im i ,l m ik  2 d1 0   O  d  при k  i.YAA a i ki  mm a 2 m 0m i ,k(1.2.32)mlКак видно из выражения (1.2.32), вид определителя  k зависит от номера проходящеймоды: только в случае когда номер рассматриваемой моды k совпадает с номером падающеймоды, определитель содержит слагаемое нулевого порядка малости.Используя правило (1.2.30), находим приближенные выражения для коэффициентовразложения проходящего поля по собственным модам двухслойного волновода:1 d2 Aki  dTk   ik  O  2 .a  0 aAkk(1.2.33)Приближенные выражения для коэффициентов мод отраженного поля могут быть полученыподстановкой в формулу (1.2.21) выражений (1.2.24) – (1.2.26) и (1.2.33):d 1 dRm  Tm  aaJ1 m  a 1 m2 Q3  i2 1  ci  Q4 0mi  при m  i,i   0 2 22   di a  m  2 J1 i i2 m2r111hi i2  d2   c2 d  Q4ii Q2ii Q4ii i при m  i,Ri 20  d  c a  Q 0  Q 0  Q 0  a 1Q2iici2ii4ii 4ii(1.2.35)где11  r   Q2ii  2ai ci hi 1  d c  t 1 2 20 0 2a k d  kc2 , Q4mi   di a 2  m2  d m2  i2 ,  hic(1.2.34)35011  Q4ii  a 2 k d2  kc2 , Q4ii  2a ci i 1  d c.Таким образом, трансформация мод в случае тонкого диэлектрического слоя является эффектомпервого порядка малости относительно параметра d a .1.3 Трансформация моды, падающей со стороны двухслойнойобластиВ данном разделе рассмотрим трансформацию поперечно магнитной TM 0i моды, падающей награницу z  0 со стороны волновода, частично заполненной диэлектриком (рисунок 1.3).