Диссертация (Бессеточные методы Монте-Карло решения краевых задач для уравнений в частных производных), страница 24

В этом случае стандартная схема Неймана-Улама позволяет построить несмещенные оценки решений интегрального уравнения и функционалов от него. Именно такие ал-188горитмы здесь и будут рассмотрены. Изложение, в основном следует работам[14, 48, 65].Главная часть оператораПусть (X, A) — измеримое пространство, µ : A → [0, +∞] — счетноаддитивная мера на A, B — банахово пространство µ-интегрируемых функцийна X, такое что |f | ∈ B при f ∈ B.

Для измеримого отбражения k : X 2 → R1определим интегральный оператор K с ядром k(x, y)µ(dy):ZKu(x) = k(x, y)u(y)µ(dy) + f (x).XБудем считать, что K — ограниченный оператор в пространстве B, как иоператор K с ядром |k(x, y)|µ(dy). Назовем ограниченный интегральный оператор K1 главной частью оператора K, если для оператора K2 = K − K1 спектральный радиус ρ(K2 ) < 1.Если функция u удовлетворяет уравнениюu = Ku + f,(3.3.30)и функция h = K1 u известна, или легко несмещенно оценивается, то уравнение(3.3.30), очевидно, равносильно уравнениюu = K2 u + h + f,(3.3.31)к которому применима схема Неймана-Улама.Внутренняя задача НейманаПрименим метод выделения главной части к решению внутренней задачиНеймана (3.3.28) в выпуклой области D.189Используя формулу Грина, получим представление решения для x ∈ Dв видеZk(x, y)u(y)dy S + F (x).u(x) =(3.3.32)ΓЗдесь k(x, y) = (y − x, νy )/(σn |x − y|n ) — ядро Гаусса, аZF (x) =ϕ(y)dy S +(n − 2)σn |x − y|n−2Zf (y)dy =(n − 2)σn |x − y|n−2DΓ= F1 (x) + F2 (x).

(3.3.33)Таким образом, решение задачи является функционалом от своего сужения награницу области. Выполняя в (3.3.32) предельный переход при x → x0 ∈ Γ и используя свойства потенциала двойного слоя, получаем интегральное уравнениедля функции u(x) на границе областиZu(x) = 2k(x, y)u(y)dy S + 2F (x),(3.3.34)Γв котором ядро интегрального оператора является стохастическим.Применяя формулу Грина к функциям u(y) и v(x) = |x − y|2 , получимдля x ∈ Γ тождествоZZ2|x−y| ϕ(y)−2(y −x, νy )u(y) dy S +f (y)|x−y|2 +2nu(y) dy = 0. (3.3.35)DΓПоскольку решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью допроизвольной постоянной, интеграл от функции 2nu(y) можно считать равнымнулю.Определим теперь оператор K1 , действующий в C(Γ) равенствомZK1 u(x) = α(x) 2(y − x, νy )u(y)dy S,Γгде α(x) — непрерывная и положительная на Γ функция.190Из формулы (3.3.35) следует, чтоZ2(y − x, νy )u(y)dy S =H(x) = K1 u(x) = α(x)ΓZ2Z|x − y| ϕ(y)dy S + α(x)= α(x)f (y)|x − y|2 dy.DΓИнтегральный оператор K2 имеет субстохастическое ядро(1 − α(x)σn |x − y|n )2k(x, y)dy S,если для x ∈ Γ выполнено условие(1 − α(x)σn |x − y|n ) > 0.Последнее неравенство справедливо, например, при α(x) = 1/(σn dn ),где d > diam(D).

Очевидно, что спектральный радиус ρ(K2 ) < 1.Несмещенные оценки для u(x) естественно строить на траекториях блуждания по границе Γ, которое стартует из точки x. Для построения следующейточки траектории xi+1 по текущей xi моделируется случайное направление Ωв полупространстве Πx = {y ∈ Rn |(y − x, νx ) < 0} и определяется точка пересечения луча, выходящего из точки xi в направлении Ω с границей Γ. Еслиначальная точка лежит внутри области, то первое направление определяетсявектором, изотропным во всем пространстве. Обрыв траектории в точке xi+1происходит с вероятностью α(xi )σn |xi − xi+1 |n . В начальной и первой точкеблуждания обрыв траектории не происходит.Пусть τ — момент обрыва траектории. Тогда Eτ < ∞ и стандартнаяоценка по столкновениямξ = F (x0 ) +τ −1X(H(xi ) + 2F (xi ))i=1является несмещенной и имеет конечную дисперсию .191При практической реализации оценки ξ функции H(x) и F (x) также оцениваются несмещенно по одному свободному узлу.

При этом следует включатьособенности подинтегральных функций в плотность.Записывая ньютонов потенциал F2 (x) в сферических координатах, дляточек области D получаем равенстваZF2 (x) =r(Ω)Zf (y)1dy=Ef (x + rΩ)rdr =(n − 2)σn |x − y|n−2n−2D0=Er2 (Ω)f (x + ρr(Ω)Ω),2(n − 2)в которых Ω — изотропный вектор в пространстве, ρ = max(θ1 , θ2 ), а θ1 , θ2 —случайные величины, распределенные равномерно на отрезке [0, 1]. Все случайные элементы предполагаются независимыми.

Функция r(ω) — расстояниеот точки x до точки y ∈ Γ, видимой из x в направлении ω.В точности так же оценивается 2F2 (x) при x ∈ Γ. Вектор Ω, при этом,должен быть изотропным в полупространстве Πx .Аналогично оценивается при x ∈ Γ величинаZH2 (x) = α(x) f (y)|x − y|2 dy.Dα(x)σnH2 (x) =E2r(Ω)Zα(x)σn rn+2 (Ω)n+1f (x + rΩ)r dr =Ef x + ρr(Ω)Ω ,2n+20где Ω — изотропный вектор в полупространстве Πx , ρ = max(θ1 , θ2 , . . . , θn+2 ), аθ1 , θ2 , .

. . , θn+2 — случайные величины, распределенные равномерно на отрезке[0, 1].Пусть x0 — фиксированная точка области D, Ω — изотропный вектор впространстве, y(Ω) — точка, видимая из x0 в направлении Ω. При x ∈ Γ, величина|x − y(Ω)|2 |x0 − y(Ω)|nα(x)σnϕ(y(Ω))(y(Ω) − x0 , νy )192несмещенно оценивает интегралZH1 (x) = α(x)|x − y|2 ϕ(y)dy S.ΓТруднее всего оценить потенциал простого слояZϕ(y)dy S.F1 (x) =(n − 2)σn |x − y|n−2ΓПусть x0 ∈ D, ω — точка на единичной сфере с центром в нуле, y(ω) — точка наΓ, видимая из x0 в направлении ω, ω0 — единичный вектор в направлении из x0в x. Для потенциала F1 (x) справедливы равенстваZϕ(y)F1 (x) =dy S =(n − 2)σn |x − y|n−2ΓZ=|x0 − y|n (y − x0 , νy )ϕ(y)dy S =(n − 2)(y − x0 , νy )σn |x0 − y|n |x − y|n−1ΓZ=|x0 − y(ω)|n ϕ y(ω)dω S =(n − 2) y(ω) − x0 , νy σn |x − y(ω)|n−1S1 (0)Z=|x0 − y(ω)|n ϕ y(ω) |ω0 − ω|n−2dω S =(n − 2) y(ω) − x0 , νy σn |x − y(ω)|n−2 |ω0 − ω|n−2S1 (0)Z=ψ(x, ω)ϕ y(ω)dω S,σn |ω0 − ω|n−2S1 (0)где|x0 − y(ω)|n |ω0 − ω|n−2ψ(x, ω) =.(n − 2) y(ω) − x0 , νy |x − y(ω)|n−2Очевидно, что скалярное произведение (y(ω) − x0 , νy ) > const > 0.

Если R0 — расстояние от x0 до границы Γ, то, при |x − x0 | > R0 /2, выполненонеравенство |y(ω) − x| > R0 |ω − ω0 |/2. В противном случае верно неравенство|y(ω) − x| > R0 /2. Таким образом, функция ψ(x, ω) ограничена.193Заметим, что |ω − ω0 |2 = 2 − 2(ω0 , ω) = 2(ω − ω0 , ω). Следовательно,Zψ(x, ω)ϕ(y(ω))2(ω − ω0 , ω)dω S.F1 (x) =σn |ω0 − ω|nS1 (0)Определим Ω1 как изотропный вектор в полупространстве Πω0 , то есть изотропный вектор, удовлетворяющий условию (Ω1 , ω0 ) 6 0.

Если Ω = Ω(ω0 , Ω1 ) —точка на S1 (0), видимая из ω0 в направлении Ω1 , тоF1 (x) = Eψ(x, Ω)ϕ(y(Ω)).Внешняя задача НейманаПусть De = Rn \ D, функции f ∈ C(De ) ∩ C 1 (De ), ϕ ∈ C(Γ). Внешняязадача Неймана состоит в определении функции u ∈ C(De ) ∩ C 2 (De ), удовлетворяющей уравнениям−∆u(x) = f (x),∂u(x)= ϕ(x),∂νex ∈ De ,x ∈ Γ,(3.3.36)∂u( y)∂u(x)обозначает предельное значение производнойпо∂νe∂νнаправлению внешней нормали νx , когда точка y стремится к граничной точкегде выражениеx изнутри области De .Выделяя из решения ньютоновский потенциалZ1v(x) =|x − y|2−n f (y)dy,(n − 2)σnDeлегко свести задачу к поиску гармонической в области De функции, удовлетво∂v(x)∂u(x)ряющей краевому условию= ϕ(x) −.

Поэтому будем считать, что∂νe∂νf (x) ≡ 0. Будем также предполагать, что u(∞) = 0, то есть решение стремится к нулю на бесконечности. В классе таких функций задача Неймана имеетединственное решение [5] и, оно представимо в виде потенциала простого слояZu(x) = |x − y|2−n µ(x)dy S.Γ194Потенциал простого слоя непрерывен во всем пространстве и является гармонической функцией в области D.∂u(x) ∂u(x)Используя равенство−= 4πµ(x), из (3.3.32, 3.3.33) получаем∂νi∂νeпри x ∈ D равенствоZu(x) = k(x, y)u(y)dy S + F (x),(3.3.37)Γв котором k(x, y) = (y − x, νy )/(σn |x − y|n ) — ядро Гаусса, аZϕ(y) + (n − 2)σn µ(y)dy S =F (x) =(n − 2)σn |x − y|n−2ΓZϕ(y)dy S + u(x). (3.3.38)=(n − 2)σn |x − y|n−2ΓВыполняя предельный переход, получаем для точек x ∈ Γ равенствоZu(x) = 2k(x, y)u(y)dy S + 2F (x).ΓОтсюда получаем уравнение для неизвестной функции на границе ΓZu(x) = − 2k(x, y)u(y)dy S − Fe (x),(3.3.39)ΓгдеZFe (x) = 2ϕ(y)dy S.(n − 2)σn |x − y|n−2(3.3.40)ΓРавенство (3.3.39) является уравнением теории потенциала и, функцияu(x) является его единственным решением.

Однако, теперь потребуются болеежесткие ограничения на границу Γ, обеспечивающие выделение главной частиоператора с известным его значением на решении u(x). А именно, потребуемчтобы поверхность Γ была класса C 2 и ее гауссова кривизна в любой точкебыла отличной от нуля. Тогда, в силу теоремы Адамара область D будет строговыпуклой и (y − x, νy )/|y − x| > 0. Следовательно, при x ∈ Γ(y − x, νy )> 0.y∈Γ |y − x|c(x) = inf195Пусть d — диаметр области D, тогда2k(x, y) > 2c(x)/dn−1 > 0.Пусть точка x0 ∈ D.

Определим оператор K1 в C(Γ) равенствомZα(x) (y − x0 , νy )f (y)dy S,K1 f (x) = −σn|x0 − y|nΓгде α ∈ C(Γ). Из формул (3.3.37, 3.3.38) находим значение оператора на решении u(x):α(x)K1 u(x) =(n − 2)σnZψ(y)dy S.|x0 − y|n−2ΓВыберем непрерывную функцию α(x) так, чтобы выполнялось неравенство(y − x0 , νy )2c(x)>α(x)sup,ndn−1y∈Γ |x0 − y|тогда ядро оператора K2 = K − K1 будет субстохастическим иkK2 k = kK2 k = sup(1 − α(x)) < 1.x∈ΓТаким образом, построена главная часть оператора в уравнении (3.3.39).

Случайный процесс блуждания по границе и несмещенные оценки на его траекториях строятся также, как для внутренней задачи Неймана.3.4О сочетание схемы Неймана-Улама и методастохастической аппроксимацииВыделение главной части оператора с известным значением на реше-нии исходного интегрального уравнения возможно лишь в редких случаях. Вфункциональном анализе и математической физике довольно часто используется аппроксимация оператора конечномерным оператором. При этом исходноеуравнение второго рода сводится к решению системы линейных уравнений.196Рассмотрим уравнение второго родаu = Ku + f(3.4.1)в банаховом пространстве B. Пусть B1 — конечномерное подпространство в B сбазисом vm , m = 1, 2, .

. . , d. Тогда любая последовательность lm , m = 1, 2, . . . , dфункционалов, линейных и непрерывных в B, определяет конечномерный операторK1 u =dXlm (u)vm .(3.4.2)m=1Пусть, как и ранее, оператор K2 = K − K1 . Если оператор I − K2 имеет непрерывный обратный оператор R, то уравнение (3.4.1) эквивалентно уравнениюu = RK1 u + Rf.(3.4.3)При этом,RK1 u =dXdXlm (u)Rvm =lm (u)wm ,(3.4.4)m=1m=1а wm — единственное решение уравнения wm = K2 wm + vm . Полагая cm = lm (u),находим из (3.4.3) решение уравнения (3.4.1):u=dXcm wm + Rf.(3.4.5)m=1Применяя к полученному равенству функционалы lj , приходим к системе линейных уравнений для неизвестных коэффициентов cjcj =dXcm lj (wm ) + lj (Rf ),j = 1, 2, .

. . , d.(3.4.6)m=1Справедлива следующая лемма.Лемма 3.4.1 Система уравнений (3.4.6) одозначно разрешима тогда и только тогда, когда однозначно разрешимо уравнение (3.4.1).197Доказательство. Пусть постоянные cj удовлетворяют однороднымуравнениямcj =dXcm lj (wm ),j = 1, 2, . . . , dm=1иu=dPcm wm , тогда cj = lj (u). Далее, u =m=1dPlm (u)wm = RK1 u. Следова-m=1тельно, (I − K2 )u = K1 u, то есть функция u является решением однородногоуравнения u = Ku, поэтому, u = 0.