Операция матан-все серьезно (Матан для СМ)

1. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. [Л. 18]Теорема (Ролля). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема наинтервале (a,b), и пусть f (a) = f (b). Тогда на интервале (a, b) найдётся точка c такая, что f (c) = 0.\Доказательство:Пусть дана функция y = f (x ) .1. Определена и непрерывна на отрезке [ a; b] .2. Дифференцируема на интервале ( a; b) .3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. f ( a ) = f (b) .Тогда найдется, по крайней мере, 1 (•) E , принадлежащая интервалу ( a; b ) : f ′( E ) = 0 .Доказательство: Т.к. функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a; b] , то согласно 2 теоремеВейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.m = min f ( x ) , x ∈ [ a; b] ,M = max f ( x ) , x ∈ [ a; b] .Случаи:m = M ⇒ f ( x ) = const , E - любое из интервала ( a; b)m ≠ M ⇒ в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального илимаксимального достигается функцией во внутренней точке интервала ( a; b) .Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале ( a; b) влюбой точке, то по теореме Ферма существует E : f ′( E ) = 0 .1.2.2.

Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. [Л. 18]Теорема (Лагранжа). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема наинтервале (a, b). Тогда на этом интервале существует точка c такая, что f (b) − f (a) = f (c) · (b − a).Доказательство:Пусть функция y = f (x) .1. Определена и непрерывна на отрезке [ a; b] .2. Дифференцируема на интервале ( a; b) .Тогда существует E из интервала ( a; b ) : f (b ) − f ( a ) = f ′( E ) ⋅ (b − a ) .Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функциюF ( x ) = f ( x ) − λ ⋅ x , где λконстанта.λ : F (a ) = F (b)f (a ) − λ ⋅ a = f (b) − λ ⋅ bλ=f (b) − f (a )b−a1. Она непрерывна на [ a; b]2.

дифференцируема на ( a; b) .Все условия теоремы Ролля выполняются ⇒ существует E из ( a; b ) : F ′( E ) = 0F ′( x ) = f ′( x) − λ ⇒ f ′( E ) = λ =f (b ) − f ( a )b−a-3. Сформулируйте и докажите теорему Коши. [Л. 18]Теорема (Коши). Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы наинтервале (a, b), причём g (x) отлична от нуля в каждой точке этого интервала. Тогда на (a, b)найдется точка c такая, чтоf (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ ( a, b) .g (b) − g ( a ) g ′(ξ )Доказательство:Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы наинтервале (a,b); 3) g ′( x ) ≠ 0∀x ∈ ( a , b ) тогдаf (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ ( a, b) .g (b) − g ( a ) g ′(ξ )Доказательство: g (b) ≠ g ( a ); Вводим вспомогательную функциюf (b ) − f ( a )* ( g ( x) − g ( a )) .

Эта функция удовлетворяет всем условиямg (b ) − g ( a )теоремы Ролля: 1) F (x ) непрерывна на [a,b]; 2) F (x ) дифференцируема на (a,b); 3)F ( a) = F (b) = 0 .F ( x) = f ( x) − f ( a) −∃ξ ∈ ( a, b) : F ′(ξ ) = 0 (по теор. Ролля). f ′(ξ ) −f (b ) − f ( a )* g ′(ξ ) = 0 .g (b ) − g ( a )f (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ ( a, b) .g (b) − g (a ) g ′(ξ )4. Сформулируйте и докажите теорему Ферма. [Л. 18]Теорема (Ферма). Пусть функция f (x) определена на промежутке I и в некоторой внутренней точкеx0 этого промежутка принимает наибольшее (или наименьшее) значение на этом промежутке.Тогда, если существует производная f (x0 ), то эта производная равна нулю.Доказательство:(Для наибольшего значения). Пусть f (ξ ) > f ( x ), ∀x ∈ ( a; b).

∃f ′(ξ ) = limx →ξf +′ (ξ ) = limx →ξ + 0f ( x) − f (ξ )≤ 0;x −ξ∃f ′(ξ ) ⇒ f +′ (ξ ) = f −′ (ξ ) = 0 .f ′(ξ ) = limx →ξ + 0f ( x) − f (ξ ).x −ξf ( x) − f (ξ )≥ 0 ; Т.к.x −ξ5. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли -Лопиталя для пределаотношения двух бесконечно малых функций. [Л. 18]0Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы вx → a , причем g ′( x ) ≠ 0 вРассмотрим { xn → a, xn ∈x →∞f ′( x)0U (a) , представляют собой б.м.ф. приf ′( x)f ( x)f ( x)U (a) . Если ∃ lim g ′( x) ⇒ lim g ( x) , lim g ′( x) = lim g ( x) .Доказательство:x→ax→ax→ax→a0U (a) . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0,g(a)=0). Тогда на [a, xn ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; xn ) f(x) и g(x) дифференцируемы.

По теоремеf ( x n ) − f (a) f ′(ξ n )f ( x n ) f ′(ξ n )=⇒=при n → ∞, x n → a ⇒ ξ n → a поg ( x n ) − g (a) g ′(ξ n )g ( x n ) g ′(ξ n )f ′(ξ n )f ( xn )f ( x)f ′( x)⇒ lim⇒ ∃ lim= limусловию теоремы ∃ lim>Замечание 1: точка а может бытьx → ∞ g ′(ξ )x →∞ g ( x )x →a g ( x)x → a g ′( x )nnКоши ∃ξ n ∈ ( a; x n ) :0бесконечной, тогда0U (a) = (b;+∞) или U (a) = (−∞; c). Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены идифференцируемы на (b;+∞ ) и представл.

Б.м.ф. при x → +∞ , причем g ′( x ) ≠ 0, ∀x ∈ (b;+∞ ). Еслиf ′( x)f ( x)f ′( x)⇒ ∃ lim= lim. Замечание 2: если f ′(x ) и g ′(x) удовлетворяют всем условиям Бx → +∞ g ′( x )x → +∞ g ( x )x → +∞ g ′( x )f ′′( x)f ′( x)f ′′( x)f ( x)Л и ∃ lim, то ∃ lim= ∃ lim= limи т. д.x → a g ′′( x )x → a g ′( x )x → a g ′′( x)x →a g ( x )∃ lim6.Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе внеравенстве. [Л 5]Теорема (о предельном переходе в неравенстве).

Пусть функции f (x) и g(x) определены впроколотой окрестности U (x0 ) точки x0 , причем для любого x ∈ U (x0 ) выполняется неравенство f(x)>= g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы a = (x→x0) lim f (x) и b =( x→x0) lim f (x), то a>=b.Пусть f 1 ( x ) при x → a имеет конечный предел А1, f 2 ( x ) при x → a имеет конечный предел А2, и00существует U (a) : f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для ∀x ∈ U (a) , тогда A1 ≤ A2 . Доказательство:∃ lim f1 ( x ) = A1 ⇔ ∀{xn } n→ a , x n ≠ a ⇒ { f1 ( xn )} n→ A1→∞→∞x→a∃ lim f 2 ( x ) = A2 ⇔ ∀{xn } n→ a , xn ≠ a ⇒ { f 2 ( xn )} n→ A2→∞→∞x→a∀E > 0∃N1 ( E ) : ∀n > N1 ( E ) ⇒| f1 ( xn ) − A1 |≤ E∀E > 0∃N 2 ( E ) : ∀n > N 2 ( E ) ⇒| f 2 ( xn ) − A2 |≤ EA1 − E ≤ f1 ( xn ) ≤ f 2 ( xn ) ≤ A2 + E ⇒ A1 ≤ A2Пусть E <| A2 − A1 |2Это неравенство выполняется для любого n > 0 , N = max( N 1 ( E ); N 2 ( E )) отсюда A1 ≤ A27.

Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченностифункции, имеющей конечный предел.Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f (x), имеющей(конечный) предел при x → x0 существует проколотая окрестность этой точки, на которой даннаяфункция ограничена.Доказательство. Пусть a = (x→x0)lim f (x).

Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0такое, что при 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство |f (x) − a| < 1. Отсюда |f (x)| = |f (x) − a +a|<= |f (x) − a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f (x)| < 1 + |a|, и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δокрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) точки x0 .8.Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.

[Л 5]Теорема (о пределе промежуточной функции). Пусть для всех x из некоторой проколотойокрестности U (x0 ) точки x0 выполняется двойное неравенство f (x)<g(x)<=h(x) , и пустьсуществуют пределы lim f(x) и lim h(x), равные од ному и тому же числу a. Тогда и lim (x→x0)g(x)= a.Доказательство:Пусть функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеет конечный предел А при x → a и пусть00∃ U ( a ) : f 1 ( x) ≤ g ( x) ≤ f 2 ( x), тогда ∃ lim g 1 ( x) = A, ∀x ∈ U ( a )x →aДоказательство:∃ lim f1 ( x) = A ⇔ ∀{xn } n→ a , x n ≠ a ⇒ { f1 ( x n )} n→ A→∞→∞x →a∃ lim f 2 ( x) = A ⇔ ∀{xn } n→ a , x n ≠ a ⇒ { f 2 ( x n )} n→ A→∞→∞x →a∀E > 0∃N 1 ( E ) : ∀n > N 1 ( E ) ⇒| f1 ( x n ) − A |< E∀E > 0∃N 2 ( E ) : ∀n > N 2 ( E ) ⇒| f 2 ( x n ) − A |< EРассмотрим N = max( N 1 ( E ); N 2 ( E )) , начиная с некоторого номера N { f 1 ( x )} и { f 2 ( x )} ,будут одинакого выполняться A − ε < f 1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) < A + ε , ∀n > N .

Значит,0| g ( x) − A |< ε ⇒ ∃ lim g1 ( x) = A, ∀x ∈ U ( a )x →a9. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции. [Л. 6]Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция f (x) определена в проколотой окрестноститочки x0 и принимает значения в проколотой окрестности V (y0 ) точки y0 , причём lim(x→x0)f (x) = y0 .Тогда, если функция g(y) определена на V (y0 ), и lim(y→y0) g(y) = a, то и lim (x→x0)g(f (x)) = a.Доказательство.

Пусть задано ε > 0. Т.к. lim g(y) = a, то для ε найдётся δ = δ(ε) > 0 такое, чтопри 0 < |y − y0 | < δ выполняется неравенство |g(y) − a| < ε. Для положительного числа δ в силуравенства lim (x→x0)f (x) = y0 существует число η = η(δ) > 0 такое, что при всех x, 0 < |x − x0 | < η,имеет место неравенство |f (x) − y0 | < δ; при этом в силу того, что f (x) ∈ V (y), и,следовательно, f (x) = y0 , выполняется также неравенство |f (x) − y0 | > 0. Таким образом, позаданному ε > 0 мы нашли η > 0 такое, что при всех x, 0 < |x−x0 | < η, выполняется неравенство0 < |f (x) − y0 | < δ; в таком случае для всех указанных x выполняется неравенство |g(f (x)) − a| <ε. Это означает, что lim(x→x0)g(f (x)) = a.10.