1, 2 (Лекции кафедральные (PDF)), страница 2

Лекции 1 - 24d   1Fd λ   λT 1  1 5  = −F ′ λ  λT 1 1 1  1− 5F  2 6 =05λ T λ λT  λ1откуда после сокращения λ 6 и обозначения x =получим уравнение с одной переменнойλTF ′ ( x ) x + 5 F ( x ) = 0 .Т.к. максимум функции существует, то у этого уравнения есть хоть одно решение, соответст1. Т.е.

длина волны, соответствующее глобальному максимуму x = xMAX . Тогда xMAX =λ MAX Tвующая максимуму спектральной плотности светимости обратно пропорциональна температуре АЧТ.Закон смещения Вина.Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светиbмости АЧТ обратно пропорциональная температуре АЧТ: λ MAX = .T−3Константа b = 2 ,9 ⋅10 м⋅К носит название постоянной Вина.Из этого закона следует, что при повышении температуры АЧТ, максимум функцииАЧТr ( ω,T ) (или r АЧТ ( λ ,T ) ) смещается в сторону коротких длин волн. (Отсюда и следует«странное» название – закон смещения.)Рэлей и Джинс попытались получить аналитическую зависимость спектральной светимости от частоты. Для этого они привлекли методы классической термодинамики.

Т.к. в плоскойэлектромагнитной волне энергия поровну распределяется между магнитным и электрическимполями, то можно считать, что каждой волне соответствует две степени свободы i=2, поэтомусредняя тепловая энергия переносимая электромагнитной волной равнаkT kT< ε >=< ε Э > + < ε М >=+= kT .22Подсчёт спектральной плотности количества волн (отношение возможного количества стоячихволн с частотами в интервале ( ω,ω + d ω) в некотором объёме к величине этого объёма) приво-dN ωω2= 2 3 . Следовательно, спектральная объемная плотность энергии будутdVπcdN ωω2ω2cравна uω,T =< ε >= 2 3 kT .

Откуда r АЧТ ω ,T = uω ,T = 2 2 kT .dV44π cπcОказалось, что формула Рэлея-Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными только в области больших длин волн (т.е. малых частот.) При этом с ростомчастоты объемная плотность энергии неограниченно возрастает. Т.к.

эта формула была получена с учётом классических представлений, но результат не согласуется с результатами эксперимента, то стало ясно, что классическое представление является неудовлетворительным. Такуюситуацию условно назвали «ультрафиолетовой катастрофой».Для объяснения поведения функции Макс Планк в 1900 году предложил гипотезу о квантах. Согласно этой гипотезе энергия системы может принимать только дискретные значения.При испускании электромагнитных волн энергия системы уменьшается на величину энергииизлучения. Поэтому энергия излучения тоже является дискретной.

Минимальную величинуэнергии излучения он назвал квантом. Квант энергии E = hν = ω пропорционален величинеизлучения..Коэффициент пропорциональности h ≈ 6, 626 ⋅10−34 Дж⋅с называется постоянной Планка.hСоответственно, приведённая постоянная Планка =≈ 1, 055 ⋅10−34 Дж⋅с.2πПостоянная Планка является принципиально новой константой и не может быть получена из констант классической физики.дит к величинеСеместр 4. Лекции 1 - 25Если рассмотреть равновесное излучение как термодинамическую систему, то к нейможно применить классическое распределение Больцмана. Вероятность нахождения системы водном из состояний со значением энергии En определяется выражением E exp  − n  kT pn = E ∑i exp  − kTi здесь суммирование проводится по полному набору дискретных значений { E0 ,E1 ,E2 ,...,EN } .Среднее значение энергии определится выражениемN< ε >= p0 E0 + p1 E1 + p2 E2 + ...

+ pN EN = ∑ pi Ei .i =0Для электромагнитной волны теплового излучения характерно излучение во всём диапазонечастот, поэтому набор энергий будет бесконечным {0 , ω, 2ω,...,nω,...} . Тогда∞∞ Ei  En  nω exp−Eexp−E∑ kT  i ∑ kT  n ∑ exp  − nω∞kT i =0n=0n=0< ε >= ∑ pi Ei = ∞= ∞=.∞ Ei  En  nω i =0exp  −exp  −exp  −∑∑∑ kT  kT  kT n=0i =0n =0Здесь для удобства немой индекс суммирования i заменён на n. Учтем, что в бесконечной геометрической прогрессии ω  2 ω  3ω 1, exp  − , exp  − , exp  −, … kT  kT  kT  ω  ω знаменатель прогрессии равен exp  − .

Если предположить, что exp  − < 1 , то сумма kT  kT равна∞1 nω  ω  2 ω exp  −.∑ = 1 + exp  − + exp  − + ... = ω  kT  kT  kT n =01 − exp  − kT Тогда среднее значение энергии∞ nω  ω  2ω  3ω exp  −∑ nω ω exp  − + 2ω exp  − + 3ω exp  − + ...kT kT kT kT n=0< ε >===∞ nω  ω  2ω  3ω −1+−+−+−+expexpexpexp...∑ kT  kT  kT  kT n=0  ω  2ω  3ω  ω  =  ω exp  − + 2ω exp  − + 3ω exp  − + ... ⋅ 1 − exp  − = kT  kT  kT  kT    ω  2ω  2ω  3ω  3ω = ω exp  − − ω exp  − + 2ω exp  − − 2ω exp  − + 3ω exp  − − ... = kT  kT  kT  kT  kT  ω  2ω  3ω  ω   ω = ω exp  − + ω exp  − + ω exp  − + ...

= ω exp  − 1 + exp  − + ... = kT  kT  kT  kT   kT  ω exp  −ω kT  =,= ω ω  ω 1 − exp  − exp  −1 kT  kT ∞6Семестр 4. Лекции 1 - 2ω. ω exp  −1 kT Следовательно, спектральная объемная плотность энергии будут равнаdN ωω2ωc1ω3АЧТuω,T =< ε >= 2 3. Откуда r ω ,T = uω ,T = 2 2.dVπc44π c ω  ω exp exp  −1 −1 kT  kT Закон излучения Планка.Спектральная энергетическая светимость АЧТ равна1ω3r АЧТ ω ,T = 2 2.4π c ω exp  −1 kT Следствия из формулы излучения Планка.т.е.

< ε >=ω1) Вид функции в законе Планка совпадает с формулой Вина r АЧТ ( ω,T ) = ω3 ⋅ F   .T 2) Найдем длину волны, соответствующую максимуму спектральной светимости АЧТ.3 2πc ω312πc12πc4π 2 c 2 λ АЧТАЧТ 2 πcТ.к. rλ ,T = rω ,T,= 2 2= 2 2=λ2λ2λ24π c4π c ω  2πc  2πc  5exp exp λ  exp  −1 −1 − 1 kT  kT λ  kT λ  2 2dd 4π c АЧТ=тоr( = 0 , откудаω ,T )dλdλ  5  2πc   λ exp  − 1  kT λ    2πc 4π2 c 2 ⋅ exp 2 22 2d 4π c 4π c  kT λ  2πc = 0 ,=−5+2dλ  5 kT λ 2 2πc    2πc  62πc5λ exp λ  exp  − 1 − 1 λ  exp  − 1  kT λ    kT λ   kT λ   2πc exp  2πc kT λ = 5. 2πc   kT λ exp  kT λ  − 1  2πcполучаем трансцендентное уравнение x ⋅ exp ( x ) = 5 ( exp ( x ) − 1) .Вводя обозначение x =kT λРешение этого уравнения x0≈4,965114232.

Откуда для длины волны λ MAX , соответствующеймаксимуму спектральной испускательной способности получаем выражение 2πc 2,9 ⋅10−3λ MAX =≈м.kT x0TСледовательно, вычисленное значение постоянной Вина b = 2 ,9 ⋅10−3 м⋅К практически совпадает с экспериментальным значением.3) Найдем интегральную светимостьСеместр 4. Лекции 1 - 273 ω +∞+∞+∞+∞3( kT )1ωk4x3 ω  kT 4=RT = ∫ r АЧТ ω ,T d ω = ∫ 2 2dω = ∫ 2 2 3dT∫0 exp ( x ) − 1 dx4π c4π c kT  4π2 c 2 3 ω  ω 000exp exp  −1 −1 kT  kT +∞x3Численный расчёт даёт значение ∫dx ≈ 6 ,5 , откуда RT ≈ 5, 65 ⋅10−8 ⋅ T 4 .expx−1()0Т.е. вычисленное значение постоянной Стефана-Больцмана практически совпадает с экспериментальным.1ω34) Если в законе излучения Планка r АЧТ ω ,T = 2 2устремить ω → +0 , то с учетом4π c ω exp  −1 kT 1ω3ω2ω ω АЧТразложения exp ,получимвыражениеr≈=kT ,1≈+ω ,T4π2 c 2 1 + ω − 1 4π2 c 2kT kT kTсовпадающее с формулой Рэлея-Джинса.

Т.е. формула Рэлея-Джинса описывает случай, когдаэнергия кванта излучения много меньше энергии теплового движения ω << kT .5) Для примера представим графики r АЧТ ω ,T для некоторых температур. Для этого введём переωи перепишем закон излучения Планка в видеменную x =k3 ω 331,38 ⋅10−23 )k)((k3x3x3k АЧТr ω ,T = 2 2 2= 2 2 2=⋅4π c 4π c exp x − 1 4π2 ⋅ 9 ⋅10−161, 0552 ⋅10−68 ω xexp exp   − 1 −1 kT T 4rАЧТω,TДж/м26,0E+205,0E+20T=400, K4,0E+20T=300, K3,0E+20T=200, K2,0E+20T=100, K1,0E+200,00,01,0E+032,0E+033,0E+034,0E+035,0E+036,0E+03x, KСеместр 4. Лекции 1 - 28Тогда r АЧТ ω ,T ≈ 6,6 ⋅1012x3.

Графики такой зависимости для различных Т представленыxexp   − 1T выше.ФотоэффектФотоэлектрическим эффектом или внешним фотоэффектом называется явление испусканияэлектронов металлами под действием падающего света. (Явление испускания электронов веществом под действием падающего света называется фотоэмиссией).Явление фотоэффекта открыл Герц в 1887 г.Александр Григорьевич Столетов в конце 19 века установил законы фотоэффекта:1) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи;2) сила тока насыщения возрастает с увеличением освещённости;3) испускаемые под действием света частицы имеют отрицательный заряд.

(Э. А. фон Ленард иДж. Дж. Томсон затем установили, что это – электроны.)В установке для исследования фотоэффекта свет сквозь кварцевое стекло освещает каВакуумIКАIHVПГUЗ0Uтод, который вместе с анодом находится в вакуумированной колбе. Напряжение между катодоми анодом V можно регулировать (положительным считается напряжение, при котором потенциал катода меньше потенциала анода). Наличие тока в цепи регистрируют гальванометром Г.Вольт-амперная характеристика фотоэффекта свидетельствует1) при освещении катода ток в цепи есть даже при нулевом напряжении между катодом и анодом. Это означает, что часть электронов, вылетевших с катода, попадает на анод.2) Наличие тока освещения говорит о том, что все электроны, вылетевшие с катода, попадаютна анод.3) При некотором обратном (задерживающем) напряжении фототок в цепи прекращается.