Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (Методичка с лекциями (Галкин С.В.)), страница 10

Выше это было показано, 1 1 Теорема, Для того чтобы функция 1(х) была диффсренцмруема в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. «з Докажем неабхадимослгь, Пусть функция дифференцируома в точке, тогда 4гДх,хо) = А(хо)Ы+ а(х,хо)Ьх, где а(х,хо) — б.м. при Ьх — > О. 1 * В курсе срелией школы часто диффсрен циру смой функцией навьи шюг Фу нкцию, згмегощую конечную производну|о.

Насколько зтс оправдано7 Оказывается, что для функций одной переменной зтн понятия зквнвалентны. Однако для числовых Функций кескольких переменных, тем более для функций общего нида, понятие производной нсскольхо нное (ергументов больше одного и по каждому аргументу аюжно ввести производную — «частную производную»). Ззгссь понятия дифференцирусмой Функции н функции, имеющей конечные часппне произволные, уже не зквияаяентньь 58 разделим обе части равенства на Ьх и перейдем к пределу при стремлении г)х к нулю; 1(гп — = 4(хо)+ 11ш а(х,хо) =.4(хо) ох-+О Ьх Ьх-го Следовательно, существует конечный предел н левой части, т, е. производная функции и точке х причем А(хо) =г"'(хо). Заметим, что дифференциал независимой переменной гг'х =х Ьх— О' этому справедлива форма записи дифференциала г(ахо) = П Докажем дослгатачнасгпь.

Пусть производная функции в точке хо сушествуетнконечна, т, е, Игп — = )" (хо). Тагдапотеоре Ь/' о ме о свяЬх->0 Ьх — +а х х ),где зифункцнн пределанбесконечномалай — шз' (хо)+агх, 01, д » Ьх а(,х ) — бм. прн г5»-> О, Умггожая обе части на Ьх, получим 1)Лх*хо)=~'(хо)»1»+и(х,хо)бх, где а(х,хо)- б,м. при г5х-ь . Следовательно, функция дифференцируема в тачке х, г ! Теорема, Если функция днфференцируема в тачкехо, то она непрерывна в этой точке.

Так как фгункция дифференцируема в точке х0 ,(1г(х,х )»»А(хо)Ах+а(х,хо)ьх, где а(х,хо) — бм лР нав П 0,5 ОО= гь 7" -ь О, следовательно, Функция непрерывна точке хо по одному из определений непрерывности. 1 и 1 е енцируемость. РассмотЗяьгечаигге. Из непрерывности нс следует дифф р Ру Рнм напр "ер Лх) =И Эта Функция непрерывна в В внавточкех О нонедя ерен цирусма в втой точке, так как ес производная а втой точке не существует.

сям леле, )" (-0) = -1, у'" ( 0) = 1 у" (-0) и у" (+О) =г ~" (О)- не существует. с(х+ Ьх)у(х) Найдем производную где ~х(до,Ьд) — б.м. при Ьд — о О. 60 прлвил~ дие мренцировлнии (лекция 13) ! . Производная постоянной равна нулю, с-с 1пп — = О, ах-чо Ьх 2. Производная суммы (разности) функций равна сумм сти) их производньгк.

(Х(х)+й(х))' Нш ~~Пх)+й(х)) 1, г1~~|( )+ Ьд Ьх-+О Лх ах->0~ Ьх Ь ~~Х(х), л.~~> = 1пп — + 1пп — '' =Х'(х)+ '(х). Ьх-+О Съх ах-+О Пх З.П оизво лая р д произведения функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй: (Х(х)я(х)) = Х'(х)я(х)+Х(х)д'(х), Запиш впишем приращение произведения функций: Ь(Х(х)я(х)) = Х(х+ бх)я(х+ ~1х) — Х'(х)я(х) = =Х(х+б )й(х+бх)-Х(х)б(х+б )+Х(х)б( 0 )-Х(х)д( )= =(Х(х+ ~Ь) — Х(х))Их+ бх)+ Х(х) Ых+ ~х) — д(хИ.

Найдем производную; ,Х(х)„„,, „„л(Х(х)~(х» ах-+О ЬХ Айх), 1(ш а (х+ Ьх)+ Х(х) 1!ш — = ах о Ь~ а ~о а~~о Ь~ = Х'(х'д(х)+ а(х)Х'(х), Заметим 3 " ме™ ЗК (х)ей(х)непрерывна=: й ( с )— Ьх-+ 0 4. Производная частного функций с Х(х) Х (х)ы(х) Х(х)я (х) ( ) 0 8(х)3 д~(х) Запишем приращение частного функций с Х(х)1 Х(х+ Ьх) Х(х) Х(х+ Ьх)д(х) — Х(х)д(х+ Ьх) д(х)~ я(х+ Ьх) я(х) я(х+ Ьх)л(х) (Х(~+ ь~)- Х(х)1Ф~) - Х(~)(г(~+ Ь~) -я( )1 Х(х) = !пп Г, бХ( ) . бй(.)1 1пп — я(х) — 1!ш Х(х) — ~ Ьх — з О в(х + Лх)д(х) ~ах-> О Ьх ах-'Π— (Х'(х)я(х) — Х(х)б'(х)3, г'(х) 5, Производная сложной функции.

! Теорема. Пусть задана сложная функция у(х)=Х(8(х)) Пусть функция д(х) дифференцнруема (имеет конечную производную) в точке хо, а функция Х(я) дифференцируема (имеет конечную производную) в точке яо =я(хо). Тогда сложная функция у(х) = Х(я(х)) дифференцируема (имеет конечную производную) в точке хо, причем у'(хо) = Х'(во)а'(хо) функция Х(д) имеет конечнУю производную ~о, то она дифференцируема в этой точке (выше была доказана.теорема об эквивалентности этих угверждений). Следовательно, ее приращение в точке дс можно представить в виде Фу= ьХ(яо)=Х'(аоИЗ+ц(ао,М)бб, Таккак функция д(х) дифференцируема в точке х, то ее приращение в этой точке можно представить в виде ба=к'(хо)~х+Р( о,б )~1х, где ()(хо „Лх) — б.м. прн Ьх -э О, Кроме того, из дифференцируемости функции я(х) в точке х следует ее непрерывность в этой точке, поэтому 6х -э 0 =э Ьй -э О, бу т.е.и(яо Ьй)-бм, прн Ьх -> О.

Запишем — „подставляя Ьд в выра! Ьх жение для бу' ) ( ) +а(яо,М)Ь (хо)+н("о' йб г Ьх В этом выражении а(яо,Ьй) — б.м, при Ьх — э О, (я'(х )+ !э(хо,х)) ограничено прн Ьх-» О, так как я'(хо)- конечное число, а 1э(хо,х) ограничена прн Ьх-э 0 как функция, имеэощая нулевой предел.

Следовательно, второе слагаемое в рассматриваемом вьэраэкспин— это б.м, при Ьх-» О, Переходя к пределу при Ьх-» О, получим производную сложной функции: у'(хо)= 1пп — =!"'(до) !пп — = 1'(яо)я'(хо), О а.-эо Ьх ах-эо Ьх б, Производная обратной функции, Теорема. Пусть функция У = ~(х) строго монотонна н непрерывна в окрестности точки хо, пусть функция ! (х) днфференцируема в точке хо и У'( с О) и О. Тогда функция х = и(У), обратная по отношению к функции 1"(х), дифференци!эуема в точке у О = Х(хо) з По теореме о непрерывности обратной функции в условиях данной теоремы существует монотонная и непрерывная в некоторой окрестности точки У 0 = !" (хо) обратная функция х = й(у) Докажем дифференцируемость обратной функции в точке уо. В силу непрерывности обратной функции (Ьу -э 0 =е Ьх -э 0) имеем Ьх, 1 1 х'(у,) = 1пп — =цт — = , э> '~ р 4' У'( )' — 1ппах О— Ьх б2 Формулы производных основных элементарных функций 1.

Производная степенной функции (х~ ) = Рх Ьх " 1+ — — 1 (х") = 1пп (х+Ах)" -х",, х =*~' ц — =и ях-э О ЬХ ях-э 0 х Полезнозапомнить что!- ! =- — (/х) г- х х' х 2.Производная показательнойфункции:(д ) = д 1пд; (е ) = е, х+Ьх „х дух (дх) цш д — д д. цш — '' =да!пд. Ьх-эо Ьх Ьх-э 0 Ьх Р 3. ПРоизводнаЯ логаРифмической фУнкции: (1обд х) = 1„д! ° 1 (1 )'=-, 1ой,~1+ — ! 1 рх +ь )-ыв.* 1,, 0*6 *~ =ц~ х ~о ш Ьх-э О Лх х х-э Ьх) сх 1 — ц, 1ой„1+ — =-1ой„е=+ -„ьхэо "~ х) х В этих пунктах использованы пределы, вычисл слеп ные ранее на осно ве второго замечательного предела.

4. Производные тригонометрических функц нкций: а)(зшх) =соэх. 63 .