BILETY (18-19 ответы 2 рк)

БИЛЕТ 11. Дать определение открытой окрестности и открытого множества в R n .Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит внего вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, вчастности, на числовой прямой).Открытая окрестность для точки или множества — открытое множество,содержащее данную точку или данное множество.2. Записать формулу для вычисления частных производных неявнойфункции z  x, y  , заданной уравнением F  x, y, z   0Если функция F  x, y, z  дифференцируема по переменным x,y,z в некоторойпространственной области D и Fz  x, y, z   0 , то уравнение F  x, y, z   0определяетоднозначнуюнеявнуюфункциютакжеz  x, y  ,дифференцируемуюF   x, y , z z yyFz  x, y, z F   x, y , z z xxFz  x, y, z 3.

Сформулировать необходимое условие экстремума ФНПЕсли функция f  x, y  дифференцируема в точке  x0 , y0  и имеет экстремумв этой точке, то ее дифференциал равен нулю:df  x0 y0   0 f x  x0 y0   0  f y  x0 y0   04. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиx3  y3  z 3  5xyz в точке  2;1;1Решение:Найдем частные производные первого порядка:F  x, y, z   x 3  y 3  z 3  5 xyzF x  3x 2  5 yzF x M  3  22  5 11  12  5  7F y  3 y 2  5 xzF y M  3 12  5  2 1  3  10  7F z  3z 2  5 xyF z M  3 12  5  2 1  3  10  7Уравнение касательной плоскости:1Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   00007  x  2   7   y  1  7   z  1  07x  7 y  7z  0x yz 0Уравнение нормали:x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )z  z0Fz ( x ; y ; z000)x  2 y 1 z 17775.

Исследовать на экстремум функцию z  4 y3  2 xy  x 2  3Решение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума z32 x   4 y  2 xy  x  3 x  2 y  2 x  02 y  2 x  0  z212 y  2 x  0   4 y 3  2 xy  x 2  3  12 y 2  2 x  0y yРешим данную систему2 y  2 x  0212 y  2 x  02 y  12 y 2  02 y 1  6 y   016y1  0y2 x1  0x2  16 1 1Следовательно, две точки M1  0;0  , M 2   ;  6 6A2 z2 z2;B 2;x 2xyC2 z 24 yy 22 z2 z2;B 2;x 2xyC2 z 24  0  0y 2Для точки M1  0;0 AAC  B2  2  0  22  4  0 не является точкой экстремума2 1 1Для точки M 2   ;  6 62 z2 zA  2  2; B  2;xxy2 z1C  2  24   4y6AC  B2  2  4  22  8  4  4  0иA  0 точка 1 1M 2   ;  является точкой 6 6минимума6. Исследовать на экстремум функцию11 1x2 y 2 43z1 1x yпри условииБИЛЕТ 21.

Дать определение предельной точки, граничной точки множества изамкнутого множества в R n .2. Записать формулу для вычисления производной ФНП по направлению.Для функции двух переменныхДля функции трех переменныхz zz cos   cos a x Ay Au uuu cos   cos   cos a x Ay Az A3.

Сформулировать достаточное условие экстремума ФНППусть функция нескольких переменных f: Rn → R определена в окрестностиU(a) точки a, дважды непрерывно дифференцируема в U(a) и df(a) = 0. Тогда:1)если квадратичная форма d2f(a) в точке a положительно определенная, то вэтой точке функция f(x) имеет строгий локальный минимум;2)если квадратичная форма d2f(a) в точке a отрицательно определенная, то вэтой точке функция f(x) имеет строгий локальный максимум;3)если квадратичная форма d2f(a) в точке a знакопеременная, то в этой точкефункция f(x) не имеет экстремума.ИлиПусть функция f(x, y) определена в окрестности U(a, b) точки P (a, b), дваждынепрерывно дифференцируема в U(a, b) и df(a, b) = 0.

Тогда:1) если A > 0 и AC − B2 > 0, то в точке P (a, b) функция f(x, y) имеет строгийлокальный минимум;2)если A < 0 и AC − B2 > 0, то в точке P функция f(x, y) имеет строгийлокальный максимум;3)если AC − B2 < 0, то функция f(x, y) не имеет в точке P экстремума.где A 2 z2 z;B;x 2xyC2 zy 24.

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхностиxz  y  ln в точке 1;1;1zРешение:Найдем частные производные первого порядка:4xF  x, y, z   y  ln  z  y  ln x  ln z  zz11F x F x M   1x1F y  1F y M  11F z    1z1F z M    1  21Уравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   0( x0 ; y0 ; z0 )0001  x  1  1  y  1  2   z  1  0x 1  y 1 2z  2  0x  y  2z  0Уравнение нормали:x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )z  z0Fz ( x ; y ; z000)x 1 y 1 z 11125. Исследовать на экстремум функцию z  11x2  16 xy  6 y 2  60 x  44 yРешение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума z22 x   11x  16 xy  6 y  60 x  44 y  x  22 x  16 y  60  022 x  16 y  60  0  z16 x  12 y  44  0   11x 2  16 xy  6 y 2  60 x  44 y   16 x  12 y  44  0y yРешим данную систему22 x  16 y  60  016 x  12 y  44  011x  8 y  304 x  3 y  1144 x  32 y  12044 x  33 y  121 y 1y  1x2Следовательно, одна точка M  2; 1A2 z2 z22;B 16;x 2xyДля точки M  2; 1C2 z 12y 25AC  B2  22   12   162  264  256  8  0и A  0 точка M  2; 1 является точкой максимума6.

Исследовать на экстремум функцию z  4 x 2  9 y 2  103xy 26при условииБИЛЕТ 31. Дать определение ограниченного и связного множества в Rn2. Перечислить основные свойства градиента ФНПСвойства градиента:· Градиент направлен по нормали к поверхности z=ƒ(х; у) в точке М0.· Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания функции иравен по величине мгновенной скорости возрастания функции (то естьпроизводной по этому направлению).· Производная по направлению вектора, перпендикулярного квектору, равна нулю.3. Сформулировать необходимые условия условного экстремума ФНПМетод множителей Лагранжа состоит в том, что для отысканияусловногоэкстремумасоставляютфункциюЛагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называютмножителемЛагранжа).

Необходимые условия экстремума задаются системойуравнений, из которой определяются стационарные точки:.Или составляем функцию Лагранжа:L  x, y,    z  x, y     x, y Необходимое условие условного экстремума: Lx  x, y,    0 Ly  x, y,    0 L  x, y,    04. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности1 xy  e xz  0 в точке  5;  ;0 5 Решение:7Найдем частные производные первого порядка:F  x, y, z   xy  e xzF y  x11F x M    e50  0  55F y M  5F z  e xz  xF z M  e50  5  5F x  y  e xz  zУравнение касательной плоскости:Fx ( x ; y ; z )   x  x0   Fy000Уравнение нормали:( x0 ; y0 ; z0 )  y  y0   Fz ( x ; y ; z )   z  z0   000011   x  5  5   y    5   z  0   0551 x  1  5 y  1  5z  051 x  5 y  5z  2  05x  x0y  y0Fx ( x ; y ; z ) Fy0 0 0( x0 ; y0 ; z0 )x 515z  z0Fz ( x ; y ; z000)15  z 055y5.

Исследовать на экстремум функцию z  x3  y3  xy  2Решение:Найдем частные производные и воспользуемся необходимым условиемсуществования экстремума z332 x   x  y  xy  2  x  3x  y  03x 2  y  0 z 23 y  x  0   x3  y 3  xy  2   3 y 2  x  0y yРешим данную систему83 x 2  y  0 23 y  x  0y  3 x 23  3 x 2   x  0227 x 4  x  0x  27 x 3  1  0x1  027 x 3  1  0x2  132y1  3  021 1y2  3      3 3 1 1Следовательно, две точки M1  0;0  , M 2   ;   3 3A2 z2 z6x;B 1;x 2xyДля точки M1  0;0 C2 z 6yy 22 z2 z2 z600;B1;C 60  0x 2xyy 2AC  B2  0  0  12  1  0 не является точкой экстремумаA 1 1Для точки M 2   ;   3 32 z2 z 162;B 1; x 2xy 3AC  B2  2   2   12  4  1  3  0AC2 z 1 6      22y 3 1 1и A  0 точка M 2   ;   является точкой максимума 3 36.

Исследовать на экстремум функцию z  e x  y при условии y  x  5Решение:Составляем функцию Лагранжа:L  x, y,    e x  y    y  x  5Находим частные производные, приравниваем их к нулю, находим точкиподозрительные на локальный экстремум: Lx  e x    0 Ly  1    0  L  y  x  5  0x  0y  5  19Находим вторые производные:Lxx  e x ; Lxy  0;Lyy  0Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функцииЛагранжа   1Составим матрицу:0 x y xLxxLxy y0 1 1Lxy  1 1 0  0  0  0  1  0  0  1  0Lyy1 0 0является точкой условного минимума.10следовательно, точка (0;5)БИЛЕТ 41.