LA-07 (Теория к экзамену), страница 2

В остальных случаях дальнейшее упрощение уравнения (7.9) сводится к упрощению вида линейных слагаемых.Если в уравнении (7.9) для i-й переменной yi реализуется случай 1), то по этой переменнойможно выделить полный квадрат:di 2 d2iλi yi2 + 2di yi = λi yi +− .λiλidi, yj0 = yj , j 6= i, этот случайλirX+2sX(7.10)di zi + h = 0,i=r+1ÔÍ-12где параметр r определяет количество переменных, для которых реализовался случай 2) (возможно, после выделения полного квадрата и соответствующего параллельного переноса). Дляостальных переменных реализуется случай 3) (после перестановки индексы от r + 1 до s) илислучай 4) (индексы от s + 1 до n).Если s = r, то случай 3) не встречается и в уравнении (7.10) линейные слагаемые будутотсутствовать. При s > r + 1 случай 3) реализуется для нескольких переменных.

ТогдаÔÍ-12ÌÃÒÓi=1λi zi2ÌÃÒÓсводится к случаю 2).Реализуем все такие параллельные переносы и, если необходимо, изменим порядок переменных (это равносильно перестановке векторов в базисе). Тогда уравнение поверхности (7.9) вновых переменных z примет видÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ(7.9)j=1ÌÃÒÓÔÍ-12+2i=1nXÌÃÒÓÌÃÒÓλi yi2ÔÍ-12ÔÍ-12nXÌÃÒÓНаиболее естественный способ упрощения уравнения (7.2) базируется на предварительномпреобразовании квадратичной формы поверхности.

Согласно теореме 6.2, существует новый ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Этот базиссостоит из собственных векторов матрицы A квадратичной формы, записанных в исходномортонормированном базисе. Матрица перехода от старого ортонормированного базиса к новомуортонормированному базису является ортогональной. Изменяя, если необходимо, направлениеодного собственного вектора на противоположное, можно считать, что определитель этой ортогональной матрицы положителен и потому равен единице.

Значит, существует такой поворотисходной системы координат, что квадратичная форма поверхности (7.2) в новых переменныхбудет иметь канонический вид.Пусть y1 , . . . , yn — новые координаты, в которых квадратичная форма поверхности (7.2)имеет канонический вид. Начало системы координат при этом не изменяется, и преобразованноеуравнение (7.8) поверхности сводится к следующему:После параллельного переноса системы координат yi0 = yi +ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ79ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАÌÃÒÓi=100в котором r > 0 (должно быть хотя бы одно слагаемое второго порядка), а коэффициент dr+1может быть нулевым.006= 0 и h 6= 0, то еще одним параллельным переносом, который определяетсяЕсли dr+1заменой переменного zr+1 по формулеh00dr+1,можно «убрать» слагаемое h.

Учитывая, что умножение уравнения на произвольное ненулевое число не меняет поверхности, мы заключаем, что исходное уравнение (7.2) путем заменысистемы координат приводится к одному из следующих видов:λi zi2 = 0,µi zi2 = 1,i=1rXµi zi2 = zr+1 .(7.13)i=1*Равенство (7.11) представляет собой первое из уравнений перехода от нового базиса к старому, котороереализуется обратной матрицей V −1 . Значит, первая строка матрицы V −1 состоит из коэффициентов в (7.11),тно V −1 = V , т.е. первая строка в V −1 является первым столбцом в V .ÔÍ-12В представлениях (7.13) параметр r является рангом квадратичной формы поверхностивторого порядка, который не зависит от выбора системы координат и при описанных преобразованиях не меняется.

В первом и втором случае ранг может иметь любые значения от 1 доn, в последнем случае r < n, т.е. этот случай возможен для поверхности второго порядка свырожденной квадратичной формой.Уравнения (7.13), к одному из которых приводится уравнение произвольной поверхностивторого порядка в Rn , назовем уравнениями канонического вида, а переменные, в которыхони записаны, — каноническими.ÌÃÒÓi=1rXÔÍ-120zr+1= zr+1 +ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12в которой блоки E представляют собой единичные матрицы порядков r и n−s, а блок V порядкаs − r отвечает переменным zr+1 , . . .

, zs и должен быть ортогональной матрицей. Элементами0, . . . , ds0 * . Такую матрицу можно постропервого столбца в этой матрицеявляются числа dr+10ить, взяв вектор dr+1, . . . , ds0 из (s−r)-мерного линейного арифметического пространства идополнив его в указанном пространстве до ортонормированного базиса.Итак, после выделения квадратов и выполнения параллельного переноса мы можем, еслинужно, выполнить дополнительный поворот так, что в конечном счете уравнение поверхности(7.2) преобразуется к видуrX00(7.12)λi zi2 + dr+1zr+1 + h = 0,ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓi=r+1ÔÍ-12ÌÃÒÓi=r+1а остальные переменные подбираются так, чтобы соответствующая замена переменных имелаортогональную матрицу U 0 .

Эта матрица при указанной замене переменных имеет блочнодиагональную структуру:E 0 0U0 =  0 V 0  ,0 0 EÌÃÒÓÔÍ-12необходим дополнительный поворот, который преобразует ситуацию к случаю s = r + 1. Этот0, . . . , zs0 , приповорот сводится к замене переменных zr+1 , . . ., zs новыми переменными zr+1которойssX−1/2X000zr+1 =di zi , di = γdi , i = r+1, s, γ =(di0 )2,(7.11)rXÔÍ-12ÌÃÒÓ80ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАÌÃÒÓ7.4. ПримерыОписанный выше процесс упрощения уравнения поверхности второго порядка в Rn реализуется и для кривых второго порядка на плоскости, и для поверхностей второго порядка впространстве.

Рассмотрим этот процесс на конкретных примерах.Пример 7.2. Приведем к каноническому виду уравнение кривой второго порядка14x21 + 24x1 x2 + 21x22 − 4x1 + 18x2 − 139 = 0,(7.14)выпишем все использованные преобразования и построим эту кривую в исходной системе координат.Квадратичная форма кривой имеет видÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ81ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАA=14 1212 21!.Чтобы найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму кривой кканоническому виду, выпишем характеристическое уравнение матрицы Aλ2 − 35λ + 150 = 0ÔÍ-12ÌÃÒÓкоторый в двумерном случае проще найти из условия ортогональности вектору e1 , т.е. путемперестановки координат вектора e1 и изменения знака у одной из координат.Из найденных координат собственных векторов составляем матрицу ортогонального преобразования43−1 3 −455U==,4335 41e2 =5−4,35которое является поворотом, так как det U = 1.

Этому ортогональному преобразованию соответствует линейная замена переменных43x1 = y1 − y2 ,55(7.15)x2 = 4 y1 + 3 y2 .5ÌÃÒÓÔÍ-125ÔÍ-12ÔÍ-125ÌÃÒÓа λ2 = 5 — единичный собственный векторÔÍ-12и найдем его корни: λ1 = 30, λ2 = 5.Ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений (A − λE)x = 0при λ = λ1,2 равен единице, и мы можем в системе оставить только одно уравнение — первое:(14 − λ)x1 + 12x2 = 0. Собственному значению λ1 = 30 соответствует единичный собственныйвектор 1 3e1 =,5 4ÌÃÒÓÌÃÒÓа матрицей этой квадратичной формы являетсяÔÍ-12ÔÍ-1214x21 + 24x1 x2 + 21x22 ,ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ5ÌÃÒÓÔÍ-12приводит к уравнению 30z12 + 5z22 = 150, которое легко преобразуется к каноническому уравнению эллипса делением на 150:z12 z22+= 1.530Чтобы построить эллипс, заданный в исходной системе координат уравнением (7.14), можнопоступить следующим образом.

Изобразим исходную систему координат Ox1 x2 , а в ней векторыe1 , e2 , которые являются собственными для матрицы квадратичной формы поверхности. Этивекторы откладываем от начала O системы координат,x2они задают координатные оси новой системы коордиy2y1нат Oy1 y2 . В этой системе координат строим точкуz1z2O1 (−1/5; −7/5), которая должна быть началом следующей канонической системы координат O1 z1 z2 . Оси этой1системы координат параллельны осям Oy1 и Oy2 .Ox1Определив положение канонической системы коор–1O1динат O1 z1 z2 относительно исходной Ox1 x2 , строим вней эллипс, руководствуясь величинами его большойи малой полуосей.

В результате получаем расположение эллипса относительно исходной системы координат.Расположение осей трех систем координат и эллипса вРис. 7.1данной задаче показано на рис. 7.1.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Свободный член в процессе преобразования поворота не изменится. Таким образом, приходимк тому же уравнению (7.16).По каждому из переменных выделяем полный квадрат:1 27 230 y1 ++ 5 y2 += 150.55Теперь параллельный перенос системы координат, определяемый соотношениями1z1 = y1 + ,5(7.17)z = y + 7 ,22ÌÃÒÓÌÃÒÓСледует отметить, что мы сразу можем записать канонический вид квадратичной формыткривой по известным собственным числам: 30y12 +5y22 . Линейные слагаемые −4x1 +18x2 = 2b x,представляющие собой удвоенное скалярное произведение вектора с координатами b на векторттс координатами x, в новых переменных будет иметь вид 2(U b) y = 2b U y, или 1y13 −4y1т= (−4 18)2b U y = (−4 18) U= 12y1 + 14y2 .y243y25ÌÃÒÓÔÍ-12= 30y12 + 5y22 + 12y1 + 14y2 − 139.

(7.16)ÔÍ-12ÌÃÒÓЧтобы получить уравнение кривой с квадратичной формой канонического вида, нужно подставить выражения (7.15) для переменных x1 и x2 в (7.14):34 214x21 + 24x1 x2 + 21x22 − 4x1 + 18x2 − 139 = 14 y1 − y2 +553342443434 3 + 24 y1 − y2y1 + y2 + 21 y1 + y2 − 4 y1 − y2 + 18 y1 + y2 − 139 =555555555591216 224724= 14 ·+ 24 ·+ 21 ·y1 + −14 ·− 24 ·+ 21 ·y1 y2 +252525252525 43129 2 4316− 24 ·+ 21 ·y2 + −4 · + 18 ·y1 + 4 · + 18 ·y2 − 139 =14 ·2525255555ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ82ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАÌÃÒÓСоставим характеристическое уравнение det(A − λE) = 0, или 32 − λ26 = λ2 − 25λ − 900 = 0, 26−7 − λ откуда находим собственные значения λ1 = 45, λ2 = −20.