Диссертация (Геометрия сферических многообразий и многогранники Ньютона-Окунькова), страница 4

В случае = (C)для этой цели мы использовали комбинаторный митоз Кнутсона–Миллера, од­нако для других групп никаких подходящих алгоритмов не было. В работах[8,9] мною разработаны такие алгоритмы для произвольной (в частности,для = (C) получается митоз Кнутсона–Миллера).Зафиксируем приведённое разложение самого длинного элемента 0 ∈ на простые отражения: 0 = 1 . . . (то есть, = dim / ).

Выпуклогеомет­рические операторы Демазюра , построенные в [9] элементарными методами,18сопоставляют каждому простому отражению операцию на многогранникахв R , повышающую размерность на один. В частности, по разложению 0 идоминантному весу можно индуктивно получить многогранник (возможно,виртуальный), который кодирует характер Вейля. Для этого вначале определя­ется линейный оператор : R → R , сопоставляющий целым точкам в R весагруппы (напомним, что через обозначается ранг группы ).Теорема 4.2.

[9,Theorem 3.6] Для каждого доминантного веса в решёткекорней группы , и каждой точки ∈ Z такой, что () = 0, выпуклаяцепь := 1 2 . . . ( )даёт характер Вейля () неприводимого -модуля , то есть,( ) =∑︁() .∈ ∩ZНесложно проверить, что для произвольного элемента ∈ найдётсяприведённое разложение = 1 .

. . ℓ , которое является подсловом в разложе­нии 0 . В [9] по каждому простому отражению строится операция (геометри­ческий митоз) на гранях многогранника . В частности, при дополнительныхпредположениях можно индукцией по ℓ получить набор граней, кодирующийхарактер Демазюра () многообразия Шуберта , соответствующий веcу:Теорема 4.3. [8, Corollary 3.6] Пусть ⊂ R — допустимый -сбалансированныйпарамногогранник, и S ⊂ множество всех граней, которые получаютсяиз 0 ∈ последовательным применением операций ,.

.. , . Предполо­жим, что для всех 1 < ≤ ℓ, набор граней . . . (0) удовлетворяетусловиям (3) и (4) [8, Theorem 3.4]. Тогдаℓ0 () = 0 ∑︁∈S ∩Z() .1ℓ19Например, для = 4 (C) и разложения 0 = 2 1 2 1 получается много­гранник ⊂ R4 , который оказывается многогранником Ньютона–Окуньковамногообразия флагов = 4 / и линейного расслоения для нормирова­ния, связанного с флагом 2 1 2 1 id ⊂ 2 1 2 1 ⊂ 2 1 2 1 ⊂ 2 1 2 1 ⊂ сдвинутых многообразий Шуберта [8, Proposition 4.1].

Здесь 1 и 2 обознача­ют простые отражения, связанные с коротким и длинным простыми корнями,соответственно. Этот многогранник определяется 8-ю неравенствами, причёмможно выбрать координаты (1 , 2 , 3 , 4 ) в R4 так, что ровно 4 неравенстваоказываются однородными: 0 ≤ 1 , 0 ≤ 24 ≤ 3 ≤ 22 [9, Example 3.4], [8,Example 2.9].

Однако, комбинаторно не эквивалентен ни струнным много­гранникам, ни ВЛФФ-многограннику [10, Section 3.4]. Грани многогранника , содержащие 0, можно закодировать следующими диаграммами:+ ⇐⇒ 0 = 4+ ⇐⇒ 0 = 1 + ⇐⇒ 4 =, например {1 = 0, 3 = 22 } кодируется +32+ ⇐⇒ 3 = 22.+Геометрический митоз переводится в простое комбинаторное правило, по ко­торому циклы Шуберта на 4 / можно представить следующими наборамиграней многогранника .++Sid = {0} = + + , S1 =+++ , S2 = + + ,++∪ +S1 2 =++, S2 1 =+ , S1 2 1 =∪ +, S2 1 2 1 = =+,+S2 1 2 =+ ∪+.204.3.

Многогранники Ньютона–Окунькова многообразий флаговЗафиксируем разложение 0 = (1 )(2 1 )(3 2 1 ) . . . (−1 . . . 1 ) самого длин­ного элемента 0 ∈ . Здесь := ( + 1) обозначает -тую элементарнуютранспозицию (простое отражение в случае группы Вейля ). Обозначим че­рез :=(︀)︀2длину элемента 0 .Зафиксируем полный флаг подпространств ∙ := ( 1 ⊂ 2 ⊂ . .

. ⊂ −1 ⊂ C ) (иными словами, зафиксируем борелевскую подгруппу ⊂ ),а также базис 1 ,. . . , в C , совместимый с ∙ (или максимальный тор в ),то есть, = ⟨1 , . . . , ⟩. Ниже ℓ для ℓ = 1,. . . , обозначает подслово 0 ,которое получается вычёркиванием ℓ простых отражений в 0 , а ℓ обознача­ет соответствующий элемент в . Рассмотрим флаг сдвинутых многообразийШуберта:−1−10 id ⊂ 0 −1−1 ⊂ 0 −2−2 ⊂ .

. . ⊂ 0 1−1 1 ⊂ /,(*)где многообразия Шуберта определяются по флагу ∙ , то есть, = / .Напомним, что открытая клетка Шуберта (относительно ∙ ) определяетсякак множество всех флагов ∙ , которые находятся в общем положении со стан­дартным флагом ∙ , то есть, все пересечения ∩ трансверсальны. Пусть1 , . . . , — координаты на совместимые с (*), то есть, 0 ℓ−1 ℓ ∩ = {1 =. . . = ℓ = 0}.Например, можно отождествить открытую клетку Шуберта с аффин­ным пространством C , выбрав для каждого флага ∙ базис 1 ,. .

. , в Cвида:11 = + −11 −1 + . . . + 1 1 ,12 = −1 + −22 −2 + . . . + 2 1 ,..., −1 = 2 + 1−1 1 , = ,так чтобы = ⟨1 , . . . , ⟩. Такой базис единственен, поэтому коэффициенты( )+< являются координатами на открытой клетке. Несложно проверить,что координаты (1 , . . . , ) := (1−1 ; 1−2 , 2−2 ; .

. . ; 11 , 21 , . . . , −11 ) совмести­21мы с (*). Иными словами, каждый флаг ∙ ∈ отождествляется с треуголь­ной матрицей:⎛1112...⎜⎜ 2⎜ 1 22 . . .⎜⎜ ....⎜ ..⎜⎜ −1⎜11 ...⎝101−1100⎞1⎟⎟0⎟⎟⎟0⎟ ,⎟⎟0⎟⎠0а мы упорядочиваем коэффициенты ( )+< этой матрицы, начиная с (−1)-гостолбца, двигаясь сверху вниз в каждом столбце и справо налево по столбцам.В [10, Section 2.2] приводится другой пример координат, совместимых с (*),более естественный с точки зрения геометрии многообразий Ботта–Самельсона,связанных с разложением 0 .Зафиксируем лексикографический порядок на мономах в координатах 1 ,.

. . , относительно упорядочивания 1 ≻ 2 ≻ . . . ≻ . Пусть обозначаетнормирование младшим мономом на C(0 ) = C( /), связанное с этимикоординатами и порядком. Пусть — линейное расслоение на / , соответ­ствующее доминантному весу := (1 , . . . , ) ∈ Z группы . Обозначимчерез Δ ( /, ) ⊂ R многогранник Ньютона-Окунькова, соответствую­щий / , и .Теорема 4.4. [10, Theorem 2.1] Многогранник Ньютона–Окунькова Δ (/, )совпадает с ВЛФФ-многогранником ().Напомним определение (). Обозначим координаты в R , соответ­−21ствующие (1 , .

. . , ) через (1−1 ; 2−2 , 1−2 ; . . . ; −11 , 1 , . . . , 1 ). Организуем22координаты в таблицу:211131221...1−1...2−2.........−21( )−22−11Многогранник () определяется неравенствами ≥ 0 и∑︁(,)∈ ≤ − для всех путей Дика из в в таблице ( ), где 1 ≤ < ≤ .Например, вычисление многогранника Δ ( /, ) при = 3 и =(1, 0, −1) проиллюстрировано в примерах 1.4, 1.7, 2.3.23Список литературыB. H. An, Yu.

Cho, J. S. Kim, On the -vectors of Gelfand–Cetlinpolytopes, European J. of Comb., 67 (2018), 61–77B75. Д. Н. Бернштейн, Число корней системы уравнений, Функц. анализ иACK.его прил.,9 (1975), №3, 1–4И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И. Гельфанд, Клетки Шу­берта и когомологии пространств / , Успехи математических наук, 28BGG.(1973), №3(171), 3–26.BE.P.

Bressler, S. Evens, Schubert calculus in complex cobordism,Trans.331 (1992), no. 2, 799–813Br89. M. Brion, Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietesspheriques, Duke Math J. 58 (1989), no.2, 397–424BJ. M. Brion, R. Joshua, Equivariant Chow ring and Chern classes of wonderfulsymmetric varieties of minimal rank, Transform. Groups 13 (2008), no. 3-4,Amer. Math. Soc.,471–493CP83.C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties I, Lect.Notes in Math.996, Springer, 1983C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties IIIntersection theory, Advanced Studies in Pure Mathematics 6 (1985), AlgebraicCP85.groups and related topics, 481–513B.

Calmès, K. Zainoulline, C. Zhong, Equivariant oriented cohomologyof flag varieties, Documenta Math. Extra Volume: Alexander S. Merkurjev’sCZZ.Sixtieth Birthday (2015), 113–144D.M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées,Collection of articles dedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70th7 (1974), 53–88FaFL. X. Fang, Gh.

Fourier, P. Littelmann, Essential bases and toricdegenerations arising from generating sequences, Adv. in Math. 312 (2017),birthday, I. Ann. Sci. École Norm. Sup. 424107–149FN.N. Fujita and S. Naito, Newton-Okounkov convex bodies of Schubertvarieties and polyhedral realizations of crystal bases, Math. Z. 285 (2017),325–352K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Newton convex bodies, semigroups ofintegral points, graded algebras and intersection theory, Ann. of Math.(2) 176KaKh.(2012), no.2, 925–978K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Convex bodies associated to actions ofreductive groups, Moscow Math. J.

12 (2012), no. 2, 369–396KaKh3. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Complete intersections in sphericalvarieties, Selecta Math. 22 (2016), no. 4, 2099–2141Kaz. Б. Я. Казарновский, Многогранники Ньютона и формула Безу дляматричных функций конечномерных представлений, Функц. анализ и егоKaKh2.21 (1987), №4, 73–74Kh78. А. Г.

Хованский, Многогранники Ньютона и род полных пересечений,Функц. анализ и его прил., 12 (1978), №1, 51–61Ko. M. Kogan, Schubert geometry of flag varieties and Gelfand–Cetlin theory,прил.,Ph.D. thesis, Massachusetts Institute of Technology, Boston 2000Kou.A.G. Kouchnirenko, Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Invent.Math.LM.32 (1976), no.1, 1–31R. Lazarsfeld, M.

Mustata, Convex Bodies Associated to Linear Series,42 (2009), no. 5, 783–835O97. А. Ю. Окуньков, Замечание о полиноме Гильберта сферического мно­гообразия, Функц. анализ и его прил., 31 (1997), №2, 82–85O98. A. Okounkov, Multiplicities and Newton polytopes, Kirillov’s seminar onrepresentation theory, Amer. Math.