Диссертация (Геометрия сферических многообразий и многогранники Ньютона-Окунькова), страница 2

Напом­ним две классические задачи исчислительной геометрии в XIX веке.Задача 2.1 (Шуберт). Сколько прямых в трёхмерном пространстве пересекаютчетыре данные прямые в общем положении?Можно отождествить прямые в CP3 с векторными плоскостями в C4 , тоесть прямую можно рассматривать как точку на грассманиане (2, 4).

Усло­вие, что прямая ∈ (2, 4) пересекает фиксированную прямую 1 определяетгиперповерхность 1 ⊂ (2, 4). Следовательно, задача сводится к вычислениючисла точек пересечения четырёх гиперповерхностей в (2, 4). Несложно про­верить, что гиперповерхность 1 совпадает с гиперплоским сечением грассма­ниана при вложении Плюккера (2, 4) ˓→ P(Λ2 C4 ) ≃ CP5 . Образ грассманианабудет квадрикой в CP5 . Число точек пересечения квадрики в CP5 с четырьмягиперплоскостями в общем положении равно 2 по теореме Безу. Следовательно,ответ в задаче Шуберта 2.Задача 2.2 (Штейнер).

Сколько гладких коник касается пяти данных коник?По аналогии с задачей Шуберта мы можем отождествить коники с точкамив CP5 , а именно: коника, заданная уравнением 2 ++ 2 +++ 2 = 0соответствует точке ( : : : : : ) ∈ CP5 . Гладкие коники образуютподмножество ⊂ CP5 (дополнение CP5 ∖ — это множество нулей дискрими­нанта). Условие, что коника касается данной коники, задаёт гиперповерхностьв CP5 степени 6. Используя теорему Безу, можно предположить (как сам ЯкобШтейнер и сделал), что ответ в задаче Штейнера 65 .

Однако правильный ответгораздо меньше. Это похоже на разницу между теоремами Безу и Кушнирен­ко: первая даёт лишние решения, которые не имеют исчислительного смысла.8Правильный ответ нашёл Мишель Шаль, использовав (в современной термино­логии)чудесную компактификацию пространства , а именно, пространствополных коник.Герман Шуберт развил мощный общий метод (исчисление условий) для ре­шения задач исчислительной геометрии, таких как задачи 2.1, 2.2. В каком-тосмысле его метод основан на неформальной версии теории пересечений.

15-аяпроблема Гильберта состояла в строгом обосновании исчисления Шуберта1 . Впервой половине XX столетия такие обоснования были развиты как в тополо­гической (кольца когомологий), так и в алгебраической (кольца Чжоу) ситуа­ции. Однако версия Шуберта теории пересечений была формализована тольков 1980-ые в работах Коррадо Де Кончини и Клаудио Прочези [CP85].Пусть — связная редуктивная группа, а —сферическая алгебраиче­ская подгруппа, то есть борелевская подгруппа ⊂ действует на / соткрытой плотной орбитой.

Для сферического однородного пространства /(не обязательно компактного), Де Кончини и Прочези построиликольцо усло­вий, которое отвечает одновременно за все задачи исчислительной геометриина / . Легко проверить, что комплексный тор (C* ) , грассманиан (2, 4) ипространство гладких коник, рассмотренные выше, все являются сфериче­скими однородными пространствами относительно редуктивных групп (C* ) ,4 (C) и 3 (C), соответственно. В частности, их кольца условий корректноопределены.

Элементы кольца условий это классы эквивалентности многообра­зий в / относительно естественной численной эквивалентности. Более точно,два подмногообразия одной размерности эквивалентны, если равны их индексыпересечения с любым подмногообразием дополнительной размерности. Транзи­тивное действие группы используется, чтобы преодолеть обычные сложностис пересечением не трансверсальных подмногообразий. Произведение в кольце1Das Problem besteht darin, diejenigen geometrischen Anzahlen strenge und unter genauer Feststellung derGrenzen ihrer Gültigkeit zu beweisen, die insbesondere Schubert auf Grund des sogenannten Princips der speciellenLage mittelst des von ihm ausgebildeten Abzählungskalküls bestimmt hat (Гильберт).9условий соответствует пересечению подмногообразий.В частности, многие задачи исчислительной геометрии (включая задачи2.1, 2.2) сводятся к вычислению индекса самопересечения гиперповерхности в/ .

В торическом случае теорема Кушниренко даёт явную формулу для ин­декса самопересечения гиперповерхности { = 0}, где — общий многочленЛорана с данным многогранником Ньютона. В сферическом случае, явные фор­мулы были получены Борисом Казарновским (случай ( × )/diag ) и Мише­лем Брионом (общий случай) [Kaz, Br89]. Хотя формула Бриона–Казарновскогоизначально была выписана в других терминах, её можно переформулироватьчерез многогранники Ньютона–Окунькова [KaKh2].Пример2.3. Сейчас мы поместим пример 1.4 в контекст исчислительной гео­метрии и сферических однородных пространств. Пусть = {( 1 ⊂ 2 ⊂C3 ) | dim = } — многообразие полных флагов в C3 .

Это однородное про­странство относительно действия группы 3 (C), а именно, = 3 (C)/ ,где борелевская подгруппа — это подгруппа верхнетреугольных матриц. Лег­ко проверить, что действует на с открытой всюду плотной орбитой − / ≃ − , в частности, является сферическим.Скажем, что два флага 1 ⊂ 2 и 1 ⊂ 2 в C3 находятся не в общемположении, если либо 1 ⊂ 2 , либо 1 ⊂ 2 . Сколько флагов в C3 находятсяне в общем положении с тремя данными флагами? С одной стороны, легко пока­зать, что ответ 6, используя школьную планиметрию. С другой стороны, тот жеответ можно найти, используя простейшее проективное вложение пространства:Сегре : ˓→ P(C3 )×P(Λ2 C3 ) ˓→ P(End(C3 )); : ( 1 , 2 ) ↦→ 1 × 2 ↦→ 1 ⊗Λ2 2и вычислив число точек пересечения образа () с тремя общими гиперплос­костями в CP8 (то есть,степень многообразия ()). Ограничив отображение на открытую плотную -орбиту − ⊂ , мы сведём последнее вычисле­ние к задаче из примера 1.4.

В частности, мы можем показать, что включение10 (1, 1) ⊂ Δ ( ) на самом деле равенство. Действительно, по теореме 1.6объём выпуклого тела Δ ( ) умножить на 3! равен степени (), то есть 6.Следовательно, объём тела Δ ( ) равен 1. Поскольку объём многогранника (1, 1) тоже равен 1, включение (1, 1) ⊂ Δ ( ) влечёт точное ра­венство.3. Результаты и публикацииЭтот раздел содержит краткий обзор результатов докторской диссертации.Основная цель — поместить эти результаты в общий контекст (не слишкомвдаваясь в подробности) и дать ссылки на более новые продвижения. Точныеформулировки и все необходимые определения можно найти в публикациях[1]–[10] (см.

список публикаций в конце этого раздела).3.1. Эйлерова характеристика полных пересечений в редуктивныхгруппахВ торическом случае почти все инварианты полного пересечения ={1 = 0} ∩ . . . ∩ { = 0} ⊂ (C* ) можно вычислить через многогранникиНьютона Δ1 ,. . . , Δ . В редуктивном случае (для ( × )/diag ), формулаБриона–Казарновского для = (то есть для нульмерного ) довольно долгобыла единственной явной формулой.

Заметим, что её можно интерпретироватькак формулу для (топологической) эйлеровой характеристики ( ). Главныйрезультат работ [1,2] — явная формула для ( ) при всех ≤ . Формула по­лучена в два этапа. Во первых, определены и изучены (некомпактные версии)классов Черна редуктивных групп как элементы кольца условий [1].

Во-вторых,использован алгоритм Де Кончини–Прочези [CP83], чтобы вычислить индексыпересечения этих классов Черна с полными пересечениями и применить фор­мулу присоединения [2].В [2] доказано, что алгоритм Де Кончини–Прочези работает для классов11Черна, которые как правило не лежат в подкольце условий, порождённом пол­ными пересечениями. Также показано, как конвертировать этот алгоритм в яв­ную формулу, используя весовой многогранник представления, связанного с .В частности, это даёт альтернативное доказательство формулы Бриона–Казар­новского. Хотя формулы из [1,2] прямо не используют многогранники Нью­тона–Окунькова, они имеют похожую выпукло геометрическую природу (см.точную формулу в случае = 1 в разделе 4.1).

Недавно больше инвариантов (вчастности, арифметический род) полных пересечений в сферических однород­ных пространствах были найдены через многогранники Ньютона–Окунькова(см. [KaKh3], гда также приводится история вопроса).3.2. Выпукло-геометрические модели для исчисления ШубертаКольцо условий комплексного тора порождено классами гиперповерхно­стей.

Это же верно для полных многообразий флагов / , но необязательноверно для более общих сферических однородных пространств. Таким образом,полные многообразия флагов — первые кандидаты для применения выпуклогеометрических методов к вычислению произведений в кольце условий. Заме­тим, что поскольку / компактно, его кольцо условий совпадает с кольцомЧжоу, а последнее обладает естественным базисом из циклов Шуберта, кото­рые соответствуют замыканиям -орбит.

В [3,5,8] мы строим выпукло геомет­рические модели для исчисления Шуберта и находим выпукло геометрическиереализации циклов Шуберта.В [3] формула Пьери–Шевалле для / в типе проинтерпретированачерез многогранники ГЦ. В [5] (совместная работа с Евгением Смирновым иВладленом Тимориным), мы развиваем необходимую теорию для реализациициклов Шуберта линейными комбинациями граней многогранника так, чтобыпересечение граней соответствовало произведению (в кольце Чжоу) циклов Шу­берта.

В типе мы получили явные реализации для каждого цикла Шуберта,что позволило нам представить произведение любых двух циклов Шуберта неот­12рицательной линейной комбинацией граней многогранника ГЦ. Этот результатбыл мотивирован кандидатской диссертацией Михаила Когана, который пер­вым связал грани многогранников ГЦ с многообразиями Шуберта [Ko]. Мытакже получили формулы для характеров Демазюра многообразий Шубертачерез экспоненциальные суммы по целым точкам в гранях Когана многогран­ника ГЦ.В [8] разработан геометрический алгоритм для реализации циклов Шубер­та гранями многогранников в произвольном типе. В типе этот алгоритм сво­дится к митозу Кнутсона–Миллера на пайп дримах.

В типах и , он сводитсяк новому комбинаторному алгоритму, который может дать явные реализациициклов Шуберта в симплектических и ортогональных многообразиях флаговгранями симплектических многогранников ГЦ (см. подробности в разделе 4.2).В [7] (совместная работа с Павлом Гусевым и Владленом Тимориным), мыизучаем комбинаторику многогранников ГЦ, соответствующих разным частич­ным многообразиям флагов (или в комбинаторной терминологии разбиениям11 22 . . . ).

Заметим, что все многогранники ГЦ для данного разбиения име­ют один и тот же комбинаторный тип. Мы определяем рекуррентное соотно­шение на число вершин (11 22 . . . ) и уравнений в частных производных наэкспоненциальную производящую функцию для чисел (11 22 . . . ). Недавнорекуррентное соотношение обобщили на -векторы многогранников ГЦ в рабо­те [ACK].3.3. Реинкарнации операторов разделённых разностей (ОРР)ОРР и операторы Демазюра — важные инструменты в исчислении Шубер­та и теории представлений. Они использовались в [BGG] и [D], чтобы выразитьпо индукции циклы Шуберта на полных многообразиях флагов как многочле­ны от первых классов Черна линейных расслоений (как в когомологиях, таки в -теории).