lectures (Лекции PDF)

Ñîäåðæàíèå1. Ââåäåíèå.1.1. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ìíîæåñòâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç êîìáèíàòîðèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Àêñèîìàòèêà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è å¼ ïðîñòåéøèå ïðèìåíåíèÿ.2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.Àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. . . . . . . . . . . . . . . .Âåðîÿòíîñòü â äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ýëåìåíòàðíûõÏðèìåðû çàäàíèÿ âåðîÿòíîñòè. . . . . .

. . . . . . . . .Óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñõåìà Áåðíóëëè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.Îäíîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ. .Ìíîãîìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. . .

. . . . . . . . . .Ôóíêöèè îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. . . . . . . . . . . . . . .×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. . . . . .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. . . . . . . . . .4. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.4.1.4.2.4.3.4.4.Âûáîðêè è èõ ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè.Òî÷å÷íûå è èíòåðâàëüíûå îöåíêè. . . . .Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ïðîâåðêà ãèïîòåç. .

. . .Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. . . . . . ...................................... . . . . .èñõîäîâ.. . . . . .. . . . . .. . . . . ...........................................................................................................................................2235567781010121416202222232425c Himera, Àëåêñàíäð Ìèòÿåâ, 2003.Âîïðîñû è êîììåíòàðèè ìîæíî îòïðàâëÿòü ïî e-mail himer2001@mail.ru èëè áðîñàòü âICQ 257457884.11.1.1.Ââåäåíèå.Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ìíîæåñòâ.Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî àêñèîìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå, êîòîðîå ìîæåò áûòü èíòåðïðå-òèðîâàíî êàê íåêîòîðûé íàáîð ýëåìåíòîâ; ïóñòîå ìíîæåñòâî ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùååýëåìåíòîâ.

x ∈ A îáîçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A.Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî B íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì À(A ⊆ B ), åñëè ∀ x ∈ B x ∈A; î÷åâèäíî, ÷òî ∀ A ∅ ⊆ A. Ìíîæåñòâà À è  ðàâíû, åñëè A ⊆ B è B ⊆ A.Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè:SW1) ÎáúåäèíåíèåAB={x|x∈Ax ∈ B} (ýëåìåíò x ïðèíàäëåæèò õîòÿ áû îäíîìóSèç ìíîæåñòâ);Aα - ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ âñåõ Aα (α ∈ A).α∈ATT2) Ïåðåñå÷åíèå A B = {x | x ∈ A, x ∈ B};Aα = {x | x ∈ Aα ∀ α ∈ A}.3)4)α∈A A\B = {x | x ∈ A, x 6∈ B}.Äîïîëíåíèå åñëè A ⊆ Ω, òî A = {x | x ∈ Ω, x 6∈ A} = Ω\A.Çàìå÷àíèå: â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ÷åðòà íàä áóêâîé, îáîçíà÷àþùåé ìíîæåñòâî,îáû÷íî ñèìâîëèçèðóåò çàìûêàíèå A (òî åñòü îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâà ñî ñâîåé ãðàíèöåé);òåì íå ìåíåå, â òåîðèè âåðîÿòíîñòåéSýòèì çíàêîìîáîçíà÷àþòTTSäîïîëíåíèå A.Aα =Aα ;Aα =AαÒåîðåìà 1 (çàêîíû Ìîðãàíà):α∈Aα∈Aα∈Aα∈ASTST4∀x∈Aα x 6∈ Aα ∀ α ∈ A ⇒ ∀ α ∈ A x ∈ Aα ⇒ x ∈Aα ⇒Aα ⊆Aα .

∀ x ∈α∈Aα∈Aα∈Aα∈ATSSTAα x ∈ Aα ∀ α ∈ A ⇒ ∀ α ∈ A x 6∈ Aα ⇒ x 6∈Aα ⇒ x ∈Aα ⇒Aα ⊆α∈Aα∈Aα∈Aα∈ASSTAα . Òàêèì îáðàçîì,Aα =Aα . Âòîðîå ðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. α∈AÐàçíîñòüα∈Aα∈AÎïðåäåëåíèå: îòîáðàæåíèåì f ìíîæåñòâà A íà B íàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâëåíèå êàæäîìó ýëåìåíòó a ∈ A îäíîãî ýëåìåíòà b ∈ B , íàçûâàåìîãî îáðàçîì a : f (a) = b.

Âñÿêèé ýëåìåíò a ∈ A : f (a) = b íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàçîì b â A. Åñëè C ⊆ A, òî f (C) = {f (a), a ∈ C}íàçûâàåòñÿ îáðàçîì C â B ; åñëè D ⊆ B , òî f −1 (D) = {a ∈ A : f (a) ∈ D} íàçûâàåòñÿïîëíûì ïðîîáðàçîì D â A.Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâà A è B ýêâèâàëåíòíû (ðàâíîìîùíû), åñëè ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A íà B (òî åñòü êàæäîìó a ∈ A ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîåb ∈ B : b = f (a) è ∀ b ∃! a = f −1 (b)).

Òàêèì îáðàçîì, âñå ìíîæåñòâà ìîãóò ðàçáèòû íàêëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè (òî åñòü êëàññû îäèíàêîâîé ìîùíîñòè).Îïðåäåëåíèå: ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì, åñëè îíî ýêâèâàëåíòíî êàêîìóëèáî ñâîåìó íåòðèâèàëüíîìó (òî åñòü íå ñîâïàäàþùåìó ñ A) ïîäìíîæåñòâó è êîíå÷íûìâ ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ìîùíîñòü (A) ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, õàðàêòåðèçóþùèì òîò èëè èíîéêëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè; äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ìîùíîñòü ðàâíà ÷èñëó ýëåìåíòîâ. Äëÿáåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ìîùíîñòü õàðàêòåðèçóåò òèï ìíîæåñòâà; íàïðèìåð, âñå ìíîæåñòâà,ýêâèâàëåíòíûå N, íàçûâàþò ñ÷¼òíûìè, à ìíîæåñòâà, ýêâèâàëåíòíûå [0,1] - êîíòèíóàëüíûìè.

Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü (ñì. ìàò. àíàëèç, 1.1.2), ÷òî êîíå÷íîå èëè ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèåñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî, à R êîíòèíóàëüíî.Îïðåäåëåíèå: ìîùíîñòè ìíîæåñòâ A è B ñîâïàäàþò(A = B), åñëè À è  ýêâèâàëåíòíûè A < B , åñëè A ýêâèâàëåíòíî êàêîìó-ëèáî íåòðèâèàëüíîìó ïîäìíîæåñòâó B .Îïðåäåëåíèå: 2A = {C | C ⊆ A} íàçûâàåòñÿ áóëåàíîì (ìíîæåñòâîì âñåõ ïîäìíî-æåñòâ) A. Åñëè A êîíå÷íî (A = n ∈ N), òî 2A = 2n (÷èñëî ïîäìíîæåñòâ A îïðåäåëÿåòñÿêàê ÷èñëî äâîè÷íûõ âåêòîðîâ äëèíû n, â êîòîðûõ 1 ñîîòâåòñòâóåò íàëè÷èþ ýëåìåíòà âïîäìíîæåñòâå, à 0 åãî îòñóòñòâèþ, ñì. 1.2).2Îïðåäåëåíèå: Ω ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî; F íàáîð ïîäìíîæåñòâ Ω Síàçûâàåòñÿ àëãåáðîé, åñëè ∀ A, B ∈ SF A ∈ F, A B ∈ F. F íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, åñëè∀ A1 , .

. . An , . . . ∈ F Ai ∈ F ∀ i ∈ N,An ∈ F .n∈NÇàìå÷àíèå: èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò ðÿä ñâîéñòâ àëãåáð è σ -àëãåáð; åñëè F - àëãåáðà,SSTTòî ∀ A, B ∈ F A B = A B ∈ F, Ω = A A ∈ F, ∅ = A A ∈ F. Åñëè F - σ -àëãåáðà,T T TSTSAn ∈ F. Ïîýòîìó ∅ = A1 A1 A1 . . . ∈ F ⇒ A B =òî, ïî òåîðåìå 1,An =n∈Nn∈NS S SSA B ∅ . . . ∈ F ⇒ Ω = A A ∈ F.1.2.Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç êîìáèíàòîðèêè.- ðàçäåë ìàòåìàòèêè, çàíèìàþùèéñÿ ïîäñ÷¼òîì ÷èñëà êîìáèíàöèé ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, ñîñòàâëåííûõ ïðè îïðåäåë¼ííûõ óñëîâèÿõ.Îïðåäåëåíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ îáú¼ìà n íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî E = {a1 , .

. . an }; âûáîðêîé èõ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáú¼ìà r íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíûé íàáîð ýëåìåíòîâ E : A = {ai1 , . . . air }.Òåîðåìà 1 (ïðàâèëî óìíîæåíèÿ): åñëè ñóùåñòâóåò N1 ñïîñîáîâ âûïîëíèòü äåéñòâèå 1,à çàòåì N2 ñïîñîáîâ âûïîëíèòü äåéñòâèå 2, òî ñóùåñòâóåò N1 N2 ñïîñîáîâ âûïîëíèòü 1 è 2ïîñëåäîâàòåëüíî.Òåîðåìà 2 (ïðàâèëî ñëîæåíèÿ): åñëè ñóùåñòâóåò N1 ñïîñîáîâ âûïîëíèòü äåéñòâèå 1è N2 ñïîñîáîâ âûïîëíèòü äåéñòâèå 2, òî ñóùåñòâóåò N1 + N2 ñïîñîáîâ âûïîëíèòü îäíî èçäåéñòâèé - 1 èëè 2.4 Äàííûå óòâåðæäåíèÿ âïîëíå î÷åâèäíû, ïîýòîìó èõ äîêàçàòåëüñòâà íå ïðèâîäÿòñÿ.Îïðåäåëåíèå: âûáîðêà íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîé, åñëè èìååò çíà÷åíèå ïîðÿäîê å¼ýëåìåíòîâ, è íåóïîðÿäî÷åííîé â îáðàòíîì ñëó÷àå. Âûáîðêà ïðîâîäèòñÿ áåç âîçâðàùåíèÿ,åñëè êàæäûé ýëåìåíò ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè âõîäèò â íå¼ íå áîëåå îäíîãî ðàçà, è ñâîçâðàùåíèåì â îáðàòíîì ñëó÷àå.Îïðåäåëåíèå: äâîè÷íûé âåêòîð äëèíû n - âåêòîð äëèíû n, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãîÿâëÿþòñÿ íóëè è åäèíèöû.ÊîìáèíàòîðèêàÏîäñ÷¼ò ÷èñëà âûáîðîê (N ) îáú¼ìà r èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáú¼ìà n:ÂûáîðêèÓïîðÿäî÷åííûå Íåóïîðÿäî÷åííûårÑ âîçâðàùåíèåìnrCn+r−1Áåç âîçâðàùåíèÿArnCnr1) Óïîðÿäî÷åííûå ñ âîçâðàùåíèåì : â âûáîðêå íà êàæäîì ìåñòå ìîæåò íàõîäèòüñÿ îäèíèç n ýëåìåíòîâ, ïîýòîìó, ïî ïðàâèëà óìíîæåíèÿ, N = n · .

. . · n = nr .  ÷àñòíîñòè, èìååòñÿ2n äâîè÷íûõ âåêòîðîâ äëèíû n.2) Óïîðÿäî÷åííûå áåç âîçâðàùåíèÿ : íà ïåðâîì ìåñòå âûáîðêè ìîæåò íàõîäèòüñÿ îäèí èçn ýëåìåíòîâ, íà âòîðîì îäèí èç n−1 ýëåìåíòîâ, è òàê äàëåå. N = n(n−1)·. . .·(n−r +1) =n!= Arn ÷èñëî ðàçìåùåíèé.(n − r)!3) Íåóïîðÿäî÷åííûå áåç âîçâðàùåíèÿ : êîíêðåòíîå ðàçìåùåíèå èç n ïî r ìîãóò ðåàëèçîâûâàòüñÿ (â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà ýëåìåíòîâ) r! ñïîñîáàìè (íà ïåðâîì ìåñòå ëþáîé èç r ýëåìåíòîâ, íà âòîðîì ëþáîé èç r − 1 ýëåìåíòîâ è òàê äàëåå), ïîýòîìórn!= Cnr ÷èñëî ñî÷åòàíèé.N = Ar!n = r!·(n−r)!4) Íåóïîðÿäî÷åííûå ñ âîçâðàùåíèåì : ñîïîñòàâèì êàæäîé âûáîðêå äâîè÷íûé âåêòîð, âêîòîðûé âõîäÿò åäèíèöû ïî ÷èñëó ðàç, êîòîðîå ýëåìåíò äàííîãî òèïà âõîäèò â âûáîðêó,è íóëè, ðàçäåëÿþùèå ýëåìåíòû (íàïðèìåð, åñëè E = {a1 , a2 , a3 } è A = {a1 , a2 , a1 , a1 }, òîâåêòîð èìååò âèä (111010)).

Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷èì äâîè÷íûé âåêòîð äëèíû n + r − 1,rñîäåðæàùèé r åäèíèö; âñåãî ñóùåñòâóåò N = Cn+r−1òàêèõ âåêòîðîâ.3Ïîäñ÷¼ò ÷èñëà (N ) ðàçìåùåíèé n ÷àñòèö ïî r ÿ÷åéêàì:×àñòèöûÐàçëè÷èìûå Íåðàçëè÷èìûån!r−1Ñ çàïðåòîìCn−1n1 ! · . . . · nr !Áåç çàïðåòàrn1) Ðàçëè÷èìûå ÷àñòèöûÿ÷ååê, ïîýòîìó N = rn .r−1Cn+r−1áåç çàïðåòà: êàæäàÿ ÷àñòèöà ìîæåò ïîïàñòü â ëþáóþ èç r2) Ðàçëè÷èìûå ÷àñòèöû, ñ çàïðåòîì (â i-óþ ÿ÷åéêó ïîïàäàåò ni ýëåìåíòîâ,rPni = n):i=1â ïåðâóþ ÿ÷åéêó ìîãóò ïîïàñòü n1 èç n ýëåìåíòîâ, âî âòîðóþ n2 èç n − n1 ýëåìåíòîâ, èn!(n − n1 )!n2nr=· . . . · Cn−nòàê äàëåå. Ïîýòîìó N = Cnn1 Cn−n··...·1 −...−nr−11(n − n1 )!n1 ! (n − n1 − n2 )!n2 !n!(n − n1 − .

. . − nr−1 )!=.0!nr !n1 ! · . . . · nr !3) Íåðàçëè÷èìûå ÷àñòèöû, áåç çàïðåòà : ñîïîñòàâèì êàæäîìó ðàçìåùåùíèþ äâîè÷íûéâåêòîð, ñîäåðæàùèé åäèíèöû ïî ÷èñëó ÷àñòèö â òîé èëè èíîé ÿ÷åéêå è íóëè êàê "ðàçäåëèòåëè" ìåæäó ÿ÷åéêàìè. Òàê ïîëó÷èòñÿ äâîè÷íûé âåêòîð äëèíû n + r − 1, ñîäåðæàùèér−1n= Cn+r−1.n åäèíèö, òî åñòü N = Cn+r−14) Íåðàçëè÷èìûå ÷àñòèöû, ñ çàïðåòîì (íè îäíà ÿ÷åéêà íå îñòà¼òñÿ ïóñòîé): ñíèìåìçàïðåò, çàðàíåå ïîìåñòèâ ïî îäíîé ÷àñòèöå â êàæäóþ ÿ÷åéêó; òîãäà, ñîãëàñíî ï. 3,r−1r−1N = Cn−r+r−1= Cn−1.42.Àêñèîìàòèêà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è å¼ ïðîñòåéøèåïðèìåíåíèÿ.2.1.Àêñèîìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

ñîáûòèå, êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè ñ ðàçëè÷íûìè, âçàèìíî èñêëþ÷àþùèìè èñõîäàìè; â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî òåñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíà ïîâòîðÿåìîñòü (âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíîãîïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà â îäíèõ è òåõ æå óñëîâèÿõ), à òàêæå íàáëþäàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ÷àñòîò (÷àñòîòà îòíîøåíèå ÷èñëà âûïàäåíèé òîãî èëè èíîãî èñõîäàê îáùåìó ÷èñëó èñïûòàíèé). Ïîäîáíûå ñîáûòèÿ íàçûâàþò ñòîõàñòè÷åñêèìè.Îïðåäåëåíèå: ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ÿâëÿåòñÿ àêñèîìàòè÷åñêèì ïîíÿòèåì è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïóñòîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî ñèìâîëèçèðóþò òîòèëè èíîé èñõîä ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà. Ýëåìåíòû Ω íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè (ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè ), à ïîäìíîæåñòâà Ω ñîáûòèÿìè.

Ãîâîðÿò, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî, åñëè ðåàëèçîâàëñÿ õîòÿ áû îäèí èç âõîäÿùèõ â íåãî ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ.Îïðåäåëåíèå: A, B ñîáûòèÿ; ñóììîé ñîáûòèé (A + B ) íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî îäíî èç ñîáûòèé A èëè B ïðîèçîøëî. Ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé (AB )íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëè îáà ñîáûòèÿ è A, è B . Ðàçíîñòüþñîáûòèé (A\B ) íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî A ïðîèçîøëî, à B íåò.

Ñîáûòèåì, îáðàòíûì ê SA (A) íàçûâàåòñÿT ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî A íå ïðîèçîøëî.Î÷åâèäíî, A + B = A B, AB = A B .Îïðåäåëåíèå: F σ -àëãåáðà ñîáûòèé. P :F −→ R íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé(èëè ïðîñòî âåðîÿòíîñòüþ ), åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì (àêñèîìû âåðîÿòíîñòè): ∀ Ai ∈ F (i ∈ N)1) P (Ai ) ≥ 0,2) P (Ω) = 1,∞∞PPP3) Åñëè Ai Aj = ∅ ∀ i, j ∈ N (i 6= j), òî PAn =P (Ai ) (çäåñüïîíèìàåòñÿ êàêÎïðåäåëåíèå:ñëó÷àéíîå ñîáûòèå÷èñëîâîé ðÿä, ñõîÿäùèéñÿ àáñîëþòíî).Îïðåäåëåíèå:n=1n=1âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîìíàçûâàåòñÿ íàáîð (Ω, F, P ), îïèñûâà-þùèé äàííîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå.Çàìå÷àíèå: òðåòüÿ àêñèîìà âåðîÿòíîñòè (àêñèîìà σ -àääèòèâíîñòè) ìîæåò áûòü çàìåíåíà íà äâå àêñèîìû êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè : ∀ A, B ∈ FQ: AB = ∅P (A + B) = P (A) + P (B); ∀ A1 , .

. . An , . . . ∈ F: A1 ⊇ A2 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . . ,An = ∅n∈Nlim P (An ) = 0.n→∞∞∞PQAn = ∅. An =Ak Ak+1 + Ak ; òîãäà, ïî àêñèîn∈Nk=n ∞ k=n∞∞PPQAk =P Ak Ak+1 → 0, n → ∞ìå σ -àääèòèâíîñòè, P (An ) =P Ak Ak+1 + P4 ⇒. Ïóñòü A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . . ,k=n∞P(êàê îñòàòîê ñõîÿäùåãîñÿ ðÿäàQk=nk=nP Ak Ak+1 = P (A1 )).k=1⇐. Ïóñòü A1 , . . . An , . . . ∈ F; Ai Aj = ∅ ∀ i, j ∈ N (i 6= j); A =∞Pn=1An , Bn =∞PAk ⇒k=nBn+1 ⊆ Bn . Åñëè íàñòóïèëî Bòî íàñòóïèëîòîëüêî îäíî èç Ak (k ≥ n) − Am , òî åñòün , ∞nPQ∀ l > m Al íå íàñòóïèëî ⇒ P= 0 ⇒ P (Bn ) → 0, n → ∞; íî P (A) =Ak + Bn+1 ,k=m+1k=1∞∞PPïîýòîìó, â ïðåäåëå ïðè n → ∞, P (A) = P=P (Ak ). k=15k=1Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè): ∀ A, B ∈ F1) B ⊆ A ⇒ P (B) ≤ P (A), P (A\B) = P (A) − P (B);2) 0 ≤ P (A) ≤ 1;3) P (A) = 1 − P (A);4) P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB).4 1) A = AB + B, (AB)B = ∅ ⇒ P (A) = P (A\B) + P (B) ⇒ P (A) ≥ P (B), P (A\B) == P (A) − P (B).2) ∀ A ∈ F A ⊆ Ω ⇒ P (A) ≤ P (Ω) = 1.3) A + A = Ω ⇒ P (A) + P (A) = P (Ω) = 1 ⇒ P (A) = 1 − P (A).4) A + B = AB + BA + AB ⇒ P (A + B) = P (A) − P (AB) + P (B) − P (AB) + P (AB) == P (A) + P (B) − P (AB).