Диссертация (Динамика физических систем, нормальные формы и цепи Маркова), страница 2

Глуцюки Л. Рыбников показывают8 показывают, что уравнение Джозефсона и его воз�мущения гармониками уникальны – в каком-то смысле, эффект квантованиячисла вращения происходит только для них. А именно, в работе Глуцюка-Рыб�никова доказывается, что при рассмотрении векторного поля на торе с коорди�натами (x, t) вида ẋ = v(x) + a + bf (t) и для фиксированной аналитическойфункции v(x), отличной от v(x) = ↵ sin(mx) + cos(mx) + , m 2 Z существуетаналитическая функция f (t) такая, что соответствующее семейство уравненийобладает языками Арнольда для всех рациональных чисел вращения.2. Во второй главе диссертации предлагается новый взгляд на классиче�скую задачу об асимптотическом поведении конца вращающейся цепи из N8Glutsyuk A., Rybnikov L.

On families of differential equations on two-torus with all Arnold tongues9Рис. 2. Проблема Лагранжа – задача нахождения асимптотической угловой скорости концавращающейся цепи отрезков. На рисунке изображена вращающаяся цепь из трех отрезковс длинами l1 , l2 , l3 . Угловые скорости отрезков относительно конца предыдущего отрезка вцепи (или начала координат для первого отрезка) равны !1 , . .

. , !N.отрезков, поставленную ещё Жозеф Луи Лагранжем9 в контексте изучения дви�жения планет.Напомним постановку этой задачи, которую мы будем в дальнейшем на�зывать задачей Лагранжа, см.Рис.3. При фиксированных l1 , . . . , lN 2 R (соот�ветствующих длинам отрезков цепи) и при фиксированных !1 , . . . , !N (соответ�ствующих относительным угловым скоростям отрезков) изучается поведениесуммыz(t) =NXlj exp(i!j t) exp(i j0 ),j=1где0j,j= 1, .

. . , N соответствуют исходным положениям отрезков систе�мы. Лагранжа интересовало корректное определение и вопрос существованияпределаz(t),t!1 tlim(2)который разумно называть асимптотической угловой скоростью конца вра�9Lagrange J.L. Théorie des variations séqulaires des éléments des planétes, I, II, (1781)10щающейся цепи.Лагранж решил эту задачу в простейшем случае, когда длина lj одногоиз отрезков превосходит сумму длин оставшихся отрезков. Тогда асимптотиче�ская угловая скорость конца системы ! (предел, заданный в (2)) существуети совпадает с соответствующей угловой скоростью самого длинного отрезка,! = !j .В общем случае задача Лагранжа была решена в цикле работ П.Боля,П.Хартмана, Е.Р.

Ван Кампена, А.Винтнера, Г.Вейля, Б.Джессена и Х.Торнхейва10 .Идея доказательства состоит в явном подсчете угловой скорости с приме�нением эргодической теоремы в случае, когда угловые скорости !j являютсярационально независимыми. Случай рационально зависимых !j является бо�лее сложным, и был полностью разобран Джессеном и Торнхейвом для про�извольного числа отрезков N . Помимо теоретико-числовых свойств вектора(!1 , . . . , !N ), сложность представляют конфигурации, в которых цепь прохо�дит через начало координат и в которых аргумент конца системы не определен.Г.Вейль преодолел эти сложности в своей работе о среднем движении 1938 года.В данной диссертации нас будет интересовать случай N = 3. В этом случаезадача Лагранжа имеет красивый ответТеорема 1.

Рассмотрим динамику вращающейся цепи на плосоксти, состо�ящей из отрезков с длинами l1 , l2 , l3 2 R+ , вращающимися с относительнымиугловыми скоростями !j как показано на Рис.2.Предположим, что числа lj таковы, что из отрезков соответствующихдлин можно составить треугольник. Обозначим (положительные) углы это�го треугольника как ↵1 , ↵2 , ↵3 . Угол ↵j противолежит стороне lj соответ�ственно.109 Bohl P. Über ein in der Theorie der säkularen Storungen vorkommendes Problem (1909); HartmanP.,Van Kampen E. R., Wintner A. Mean Motions and Distribution Functions (1937); Weyl H.

Mean Motion(1938), Jessen B. and Tornehave H. Mean motions and zeros of almost periodic functions(1945)11Предположим, что угловые скорости !j являются рационально незави�Pсимыми (не существует соотношения j tj !j = 0, tj 2 Z).Тогда предел (2) существует и асимптотическая угловая скорость концатакой системы равна!=↵1↵2↵3!1 + !2 + !3 .⇡⇡⇡В данной диссертации данная теорема передоказывается новыми геомет�рическими методами.

Затем эти методы обобщаются и применяются на случайвращающейся системы не на евклидовой плоскости, а на произвольной полнойориентируемой римановой поверхности.Стоит отметить, что задача Лагранжа была рассмотрена в намного болееобщем контексте почти периодических функций в работах Борге Джессена11 .Также задача Лагранжа связана с рядом интересных топологических вопросов,связанных с множеством положений цепи, в которых конец системы фиксиро�ван.

Эти вопросы изучались, среди прочих, Жаном-Клодом Османом12 .3. Третья глава диссертации посвящена эргодической теории для дей�ствий свободной группы преобразованиями, сохраняющими меру на множестве(X, µ). В этой главе продолжается начатый фон Нейманном и Биркxофом путьизучения временных средних функций вдоль орбит преобразований. Классиче�ская эргодическая теорема утверждает, что для обратимого сохраняющего мерупреобразования T : X ! X пространства с конечной мерой, µ(X) < 1 и дляинтегрируемой функции ' 2 L1 (X, µ), для почти всех x 2 X существует пределвременных среднихnX1lim'(T k x).n!1 2n + 1k= nЭту теорему можно рассматривать как теорему о сходимости шаровыхсредних для действия абелевой группы Z.11Jessen B. Some Aspects of the theory of almost periodic functions (1954)12Haussmann J.-C.

Sur la topologie des bras articulés (1989), Contrôle des bras articulés et transformationsde Möbius, (2005)12В данной диссертации изучаются аналогичные вопросы сходимости длядействий свободной группы Fr с r образующими на пространстве с мерой (X, µ),µ(X) < 1.На свободной группе с r образующими Fr =< a1 , . . . , ar > задается стан�дартная норма || · ||, соответствующая длине кратчайшего представителя эле�мента g 2 Fr как слова в алфавите {a1 , .

. . , ar , a1 1 , . . . , ar 1 }. Таким образомможно определить сферу радиуса n в свободной группе как множество элемен�тов нормы n, количество элементов в сфере равно |S(n)| = (2r)(2r1)n 1 .Действие свободной группы задается гомоморфизмом T : Fr ! Aut(X, µ).Тогда определен оператор Sn сферических средних: для функции ' 2 L1 (X, µ)Sn ' :=1(2r)(2r 1)n1X' T (g).g:||g||=nИзучение сходимости сферических средних для действий свободной груп�пы было начато В.И. Арнольдом и А.Л.

Крыловым13 : ими был доказан аналогтеоремы Вейля о равномерной распределенности орбит иррационального пово�рота на сфере. А именно, ими было доказано, что в случае действия свободнойгруппы из двух образующих F2 =< a, b > поворотами сферы Ta , Tb 2 SO(3),плотные орбиты F2 x точки x 2 S2 равномерно распределены, а именно для лю�бого измеримого подмножества сферы P ⇢ S2 относительная доля элементовсферы S(n) в группе, отправляющая x в множество P , стремится к относитель�ной мере P , n ! 1:|S(n)x \ P |mesP!.n!1|S(n)|mesS2limОбобщая результат Арнольд-Крылова на произвольное унитарное действиегруппы F2 , Гиварш доказал14 теорему о сходимости сферических средних в нор�ме L2 : для сохраняющего меру действия F2 y (X, µ) и для произвольной функ�13Арнольд В.И.,Крылов А. Л.

Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодическиесвойства решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области (1963)14Guivarc’h Y. Généralisation d’un théorème de von Neumann, (1969)13ции ' 2 L2 (X, µ) сферические средние S2n ' сходятся в норме L2 . Заметим,что нет надежды ожидать сходимости Sn ', если функция ' является собствен�ной функцией операторов Ta , Tb с собственным значением1.

Позднее Невои Стейн15 , используя спектральные методы, обобщили результат Гиварша насходимость в Lp , p 2 (1, 1) для функций ' 2 Lp соответственно.Таким образом, многое понято для сходимости сферических средних длядействия T : Fr ! Aut(X, µ) свободной группы Fr на пространстве с мерой(X, µ). Нас интересует обобщение определения равновесных сферических сред�них на марковские сферические средние: разные элементы g 2 S(n) сферыS(n) ⇢ Fr будут выбираться с разными весами в соответствии с вероятностями,заданными марковской цепью.Эта цепь задается конечным ориентированным графом= (V, E) с мно�жеством вершин V и ребер E. Вершины V кодируются элементами группыпосредством инъективного отображения L : V ! Fr .

Пространство состоя�ний марковской цепи - вершины V графа . Вероятности перехода определяют�ся стохастической матрицей (⇧v,w ), строки и столбцы которой пронумерованыэлементами алфавита V (то есть, все элементы матрицы ⇧ неотрицательны иPw ⇧v,w = 18v 2 V ). Также мы предполагаем, что эта матрица имеет стаци�онарное распределение ⌫ = (⌫(v))v2V : ⇧T ⌫ = ⌫, у которого все координатыположительны ⌫(v) > 0 8v 2 V .Множество ребер графа определяется какE = {(w, v)|⇧v,w > 0} .Ориентированным путём длины n в графеназывается такая последова�тельность n вершин s = (s1 , . .

. , sn ), что (si , si+1 ) 2 E. Каждому из таких путейсопоставляется соответствующий автоморфизм X:Ts = TL(s1 ) . . . TL(sn )15Nevo A., Stein E. M. A generalization of Birkho?’s pointwise ergodic theorem (1994)14и вероятность этого пути в графе :⇧s = ⇧sn sn 1 . . . ⇧s2 s1 .Определение 1. Марковские сферические средние для действия свободной груп�пы Fr на пространстве (X, µ), заданные стохастической матрицей ⇧ – этооператоры Sn : L1 (X, µ) ! L1 (X, µ), определяемые как средние по всем путямдлины nSn '(x) :=X⌫(sn )⇧s '(Ts x).(s1 ,...,sn )В данной диссертации нас интересует сходимость в среднем марковскихсферических средних при максимально слабых условиях на матрицу ⇧, задаю�щую марковскую цепь.

Эта работа основана на совместной статье с ЛьюисомБоуэном и Александром Буфетовым.Мы используем метод марковских операторов, предложенный для дока�зательства эргодических теорем для действий свободных групп и полугруппР.И.Григорчуком16 , а также Ж.-П. Тувено (в устной беседе). Этот метод былприменен А.И. Буфетовым17 для доказательства сходимости марковских сфе�рических средних при достаточно жестких ограничениях на матрицу ⇧. Нашейцелью было расширить применимость теоремы Буфетова на открытое множе�ство в пространстве матриц ⇧, задающих марковскую цепь (при фиксирован�ном множестве вершин V ).Интерес изучения марковских сферических средних для свободной груп�пы состоит в том, что марковские средние для свободной группы могут сов�падать с равновесными сферическими средними для других конечно-породжен�ных групп, если матрица ⇧ подобрана подходящим образом.